Понятие выпуклости вогнутости и точек перегиба
Понятие выпуклости вогнутости и точек перегибаВыпуклость графика функции.
=== Скачать файл ===
При исследовании функции и построении ее графика на одном из этапов мы определяем точки перегиба и интервалы выпуклости. Эти данные вместе с промежутками возрастания и убывания позволяют схематично представить график исследуемой функции. Дальнейшее изложение подразумевает, что Вы умеете находить производные функции до некоторого порядка и решать неравенства разных видов. Изучение материала начнем с необходимых определений и понятий. Далее озвучим связь между значением второй производной функции на некотором интервале и направлением ее выпуклости. После этого перейдем к условиям, которые позводляют определять точки перегиба графика функции. По тексту будем приводить характерные примеры с подробными решениями. Дифференцируемая функция называется выпуклой вниз на интервале Х , если ее график расположен не ниже касательной к нему в любой точке интервала Х. Дифференцируемая функция называется выпуклой вверх на интервале Х , если ее график расположен не выше касательной к нему в любой точке интервала Х. Другими словами, точка М называется точкой перегиба графика функции, если в этой точке существует касательная и график функции меняет направление выпуклости, проходя через нее. Если необходимо, обратитесь к разделу касательная к графику функции в точке , чтобы вспомнить условия существования невертикальной и вертикальной касательной. На рисунке ниже представлены несколько примеров точек перегиба отмечены красными точками. Заметим, что некоторые функции могут не иметь точек перегиба, а другие могут иметь одну, несколько или бесконечно много точек перегиба. Эта теорема позволяет находитьть промежутки вогнутости и выпуклости функции, нужно лишь на области определения исходной функции решить неравенства и соответственно. Выяснить промежутки, на которых график функции имеет выпуклость направленную вверх и выпуклость направленную вниз. Область определения функции - это все множество действительных чисел. Область определения второй производной совпадает с областью определения исходной функции, поэтому, чтобы выяснить интервалы вогнутости и выпуклости, достаточно решить и соответственно. Следовательно, функция выпуклая вниз на интервале и выпуклая вверх на интервале. Часть графика функции на интервале выпуклости изображена синим цветом, на интервале вогнутости — красным цветом. Сейчас рассмотрим пример, когда область определения второй производной не совпадает с областью определения функции. В этом случае, как мы уже отмечали, точки области определения, в которых не существует конечная вторая производная, следует включать в интервалы выпуклости и или вогнутости. Найти промежутки выпуклости и вогнутости графика функции. Начнем с области определения функции: Областью определения второй производной является множество. Не забывайте про эту точку, ее нужно будет включить в интервал выпуклости и или вогнутости. Теперь решаем неравенства и на области определения исходной функции. Схематично наносим эти точки на числовую прямую и выясняем знак выражения на каждом из интервалов, входящих в область определения исходной функции она показана заштрихованной областью на нижней числовой прямой. При график функции имеет выпуклость направленную вниз, при - выпуклость направленную вверх. Часть графика функции на интервале выпуклости изображена синим цветом, на интервалах вогнутости — красным цветом, черной пунктирной прямой является вертикальная асимптота. Из этого условия следует, что абсциссы точек перегиба следует искать среди тех, в которых вторая производная функции обращается в ноль. НО, это условие не является достаточным, то есть не все значения , в которых вторая производная равна нулю, являются абсциссами точек перегиба. Еще следует обратить внимание, что по определению точки перегиба требуется существование касательной прямой, можно и вертикальной. А означает это следующее: Обычно это точки, в которых знаменатель первой производной обращается в ноль. После того как найдены все , которые могут быть абсциссами точек перегиба, следует воспользоваться первым достаточным условием перегиба графика функции. Тогда, если в пределах этой окрестности слева и справа от , вторая производная имеет разные знаки, то является точкой перегиба графика функции. Как видите первое достаточное условие не требует существования второй производной в самой точке , но требует ее существование в окрестности точки. Находим все абсциссы возможных точек перегиба графика функции или и и выясняем, проходя через какие вторая производная меняет знак. Такие значения и будут абсциссами точек перегиба, а соответствующие им точки будут точками перегиба графика функции. Найти точки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости графика функции. Областью определения функции является все множество действительных чисел. Областью определения первой производной также является все множество действительных чисел, поэтому равенства и не выполняется ни для каких. Выясним при каких значениях аргумента x вторая производная обращается в ноль: Теперь осталось проверить по достаточному признаку перегиба, в каких из этих точек вторая производная меняет знак. Под каждым интервалом схематично дугами показано направление выпуклости графика функции. Им соответствуют точки графика и. Взглянув еще раз на числовую ось и знаки второй производной на ее промежутках, можно делать вывод об интервалах выпуклости и вогнутости. График функции выпуклый на интервале и вогнутый на интервалах и. Часть графика функции на интервале выпуклости изображена синим цветом, на интервалах вогнутости — красным цветом, точки перегиба показаны черными точками. Найдите абсциссы всех точек перегиба графика функции. Областью определения данной функции является все множество действительных чисел. Находим вторую производную, область ее определения и точки, в которых она обращается в ноль: Получили еще две возможные абсциссы точек перегиба. Отмечаем все три точки на числовой прямой и определяем знак второй производной на каждом из полученных интервалов. Вторая производная меняет знак, проходя через каждую из точек, следовательно, все они являются абсциссами точек перегиба. Части графика функции на интервалах выпуклости изображены синим цветом, на интервалах вогнутости — красным цветом, точки перегиба показаны черными точками. Первое достаточное условие перегиба графика функции позволяет определять точки перегиба и не требуют существования второй производной в них. Поэтому, первое достаточное условие можно считать универсальным и самым используемым. Сейчас сформулируем еще два достаточных условия перегиба, но они применимы лишь при существовании конечной производной в точке перегиба до некоторого порядка. Выяснить, является ли точка точкой перегиба графика функции. Для начала убедимся, что точка принадлежит графику функции: Функция определена для всех действительных значений аргумента. Найдем первую и вторую производные. Воспользуемся вторым достаточным условием перегиба. Поэтому, по второму достаточному условию перегиба графика функции, точка является точкой перегиба. Часть графика функции на интервале выпуклости изображена синим цветом, на интервале вогнутости — красным цветом, точка перегиба показана черной точкой. Найдите точки перегиба графика функции. Функция определена на всем множестве действительных чисел. Очевидно, что она также определена для всех действительных x , поэтому, в любой из точек ее графика существует невертикальная касательная. Определим значения х , при которых вторая производная обращается в ноль. Охраняется законом об авторском праве. Ни одну часть сайта www. Функции, исследование функций Выпуклость функции. Условия выпуклости и перегиба. Выпуклость, вогнутость функции, точка перегиба. Нахождение интервалов выпуклости функции. Необходимое и достаточные условия перегиба.
Amd radeon hd 5450 1gb характеристики
Сколько 1 мрп в казахстане 2017
Акции виктория сегодня в москве каталог продуктов