Понятие уравнения с одной переменной
Понятие уравнения с одной переменнойСкачать файл - Понятие уравнения с одной переменной
Равенство с переменной называется уравнением с одной переменной Всякое значение переменной, при котором выражения: Решите, уравнение — это значит найти его корни; или доказать, что их нет. Уравнение имеет единственный корень 4, так как при этом и только при этом значении переменной верное равенство. Уравнение имеет два корня: Уравнение не имеет действительных корней. Заметим, что можно говорить и о мнимых корнях уравнений. Так, уравнение имеет два мнимых корня: Всюду ниже речь идет только о действительных корнях уравнений. Уравнения, имеющие одни и те же кории, называются равносильными. Равносильными считаются и уравнения, каждое из которых не имеет корней. Например, уравнения равносильны, так как каждое из них имеет единственный корень — число 3. Равносильны и уравнения ни одно из них не имеет корней. Уравнения неравносильны, так как первое имеет только один корень тогда как второе имеет два корня: В процессе решения уравнения его стараются заменить более простым, но равносильным данному. Поэтому важно знать, при каких преобразованиях данное уравнение переходит в равносильное ему уравнение. Если в уравнении какое-нибудь слагаемое перенести из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному. Например, уравнение равносильно уравнению Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то нее отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному. Например, уравнение равносильно уравнению обе части первого уравнения мы умножили на 3. Линейным уравнением с одной переменной называют уравнение вида где а и b — действительные числа; а называют коэффициентом при переменной, b — свободным членом. Для линейного уравнения могут представиться три случая: Многие уравнения в результате преобразований сводятся к линейным. Если разделить обе части этого уравнения на коэффициент при , то по теореме 5. Это уравнение сводится к линейному уравнению. Умножив обе части уравнения на 12 наименьшее общее кратное знаменателей , получим: Уравнение вида где а, b, с — действительные числа, причем , называют квадратным уравнением. Числа а, b, с носят следующие названия: Корни уравнения находят по формуле Выражение называют дискриминантом квадратного уравнения 1. Если то уравнение 1 не имеет действительных корней; если , то уравнение имеет один действительный корень; если 0, то уравнение имеет два действительных корня. В случае, когда иногда говорят, что квадратное уравнение имеет два одинаковых корня. Используя обозначение можно переписать формулу 2 в виде Если то формула 2 принимает вид: Итак, Формула 3 особенно удобна в тех случаях, когда - целое число, т. Здесь Имеем Так как то уравнение имеет два корня, которые мы найдем по формуле 2: Итак, - корни заданного уравнения. Здесь По формуле 3 находим корень уравнения. Здесь Находим дискриминант Так как то уравнение не имеет действительных корней. Если в квадратном уравнении второй коэффициент b или свободный член с равен нулю, то квадратное уравнение называют неполным. Неполные уравнения выделяют потому, что для отыскания их корней можно не пользоваться формулой корней квадратного уравнения — проще решить уравнение методом разложения его левой части на множители. Разделив обе части уравнения на 3, получим т. Значит, либо откуда откуда Итак, уравнение имеет два корня: Поскольку при любых то уравнение не имеет корней. Если приведенное квадратное уравнение имеет действительные корни, то их сумма равна а произведение равно т. Воспользовавшись формулами 1 , получим: Рассмотрим сумму кубах корней. Воспользовавшись формулами 1 и 2 , получим: Справедлива теорема, обратная теореме Виета. Если числа таковы, что то корни квадратного уравнения Эта теорема позволяет в ряде случаев находить корни квадратного уравнения без использования формулы корней. Попробуем найти два числа такие, что Такими числами являются 2 и 7. Попробуем найти такие два числа чтобы выполнялись равенства Нетрудно заметить, что такими числами будут — 7 и 4. Они и являются корнями заданного уравнения. Системы и совокупности уравнении. Рассмотрим уравнение Ясно, что а сумма двух неотрицательных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждое слагаемое равно нулю. Поэтому сначала надо решить уравнения а затем найти их общие корил. Корнями уравнения служат числа а корнями уравнения числа Общим является число корень исходного уравнения. В случае, когда нужно найти значения переменной, удовлетворяющие обоим заданным уравнениям, говорят, что задана система уравнений. Для обозначения системы используется фигурная скобка: Рассмотрим теперь уравнение Произведение двух чисел равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы одно из чисел равно нулю. Поэтому сначала надо решить уравнения , а затем объединить их корни. Корнями первого уравнения являются числа 1 и корнями второго — числа. Значит, 1, —1, 2, —2 — корни исходного уравнения. Несколько уравнений с одной переменной образуют совокупность уравнений, если ставится задача найти все такие значения переменной, каждое из которых является корнем хотя бы одного из данных уравнений. Для обозначения совокупности иногда используется квадратная скобка: Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля. Модуль числа а определяется следующим образом см. Если то либо либо. Это значит, что заданное уравнение равносильно совокупности двух уравнений: Из уравнения находим из уравнения находим Ответ: Если , то и данное уравнение примет вид Это можно записать так: Однако при этом значении переменной неравенство не выполняется, значит, найденное значение не может быть корнем данного уравнения. Неравенство верно, значит, - корень данного уравнения. Уравнение вида можно решать и геометрически см. Пусть даны два уравнения Если каждый корень уравнения 1 является одновременно и корнем уравнения 2 , то уравнение 2 называется следствием уравнения 1. Заметим, что равносильность уравнений означает, что каждое из уравнений является следствием другого. В процессе решения уравнения часто приходится применять такие преобразования, которые приводят к уравнению, являющемуся следствием исходного. Уравнению-следствию удовлетворяют все корни исходного уравнения, но, кроме них, уравнение-следствие может иметь и такие решения, которые не являются корнями исходного уравнения, это так называемые посторонние корни. Чтобы выявить и отсеять посторонние корни, обычно поступают так: Если при решении уравнения мы заменили его уравнением-следствием, то указанная выше проверка является неотъемлемой частью решения уравнения. Поэтому важно знать, при каких преобразованиях данное уравнение переходит в следствие. Рассмотрим уравнение и умножим обе его части на одно и то же выражение имеющее смысл при всех значениях Получим уравнение корнями которого служат как корни уравнения 3 , так и корни уравнения Значит, уравнение 4 есть следствие уравнения 3. Итак, если обе части уравнения умножить на выражение имеющее смысл при любых значениях получится уравнение, являющееся следствием исходного. Полученное уравнение будет равносильно исходному, если уравнение не имеет корней. Заметим, что обратное преобразование, т. Деление же обеих частей уравнения на приводит к уравнению имеющему только один корень 4, т. Снова возьмем уравнение 3 и возведем обе его части в квадрат. Например, уравнение имеет корень 4. Если обе части уравнения возвести в квадрат, то получится уравнение , имеющее два корня: Значит, уравнение следствие уравнения При переходе от уравнения к уравнению появился посторонний корень Итак, при возведении обеих частей уравнения в квадрат и вообще в любую четную степень получается уравнение, являющееся следствием исходного. Значит, при указанном преобразовании возможно появление посторонних корней. Заметим, что возведение обеих частей уравнения в одну и ту же нечетную степень приводит к уравнению, равносильному данному. Уравнения с переменной в знаменателе. Рассмотрим уравнение вида Решение уравнения вида 1 основано на следующем утверждении: В соответствии со сказанным решение уравнения проводится в два этапа: Если то найденный корень уравнения является и корнем уравнения 1 ; если то полученный корень уравнения не является корнем уравнения 1. Таким образом, уравнение является следствием см. Отсеять их можно с помощью условия с помощью непосредственной подстановки каждого корня уравнения в уравнение. Из уравнения находим Так как при знаменатель обращается в нуль, то заданное уравнение не нмеет корней. Областью определения уравнения называют множество всех тех значений переменной при которых и выражение и выражение имеют смысл. Найти область определения уравнения: Решение, а Выражения определены при всех X. Значит, область определения уравнения — вся числовая прямая. Значит, одновременно должны выполняться условия: Все эти неравенства справедливы при область определения уравнения. Значит, должны одновременно выполняться два неравенства: Итак, 3; 5 — область определения уравнения. Ясно, что корни уравнения должны принадлежать его области определения. Но иногда бывает так, что в процессе преобразований уравнения его область определения меняется чаще всего она расширяется и из найденных в итоге всех преобразований значений переменной одни значения принадлежат области определения уравнения а другие не принадлежат. Тогда первые являются корнями уравнения, а вторые нет это посторонние корни. Так, при решении уравнения область определения которого задается условием мы перешли к уравнению областью определения которого является вся числовая прямая область определения расширилась. Уравнение имеет корень который не принадлежит области определения исходного уравнения и, следовательно, является посторонним корнем. Поэтому все найденные значения переменной надо проверить подстановкой в исходное уравнение или с помощью области определения исходного уравнения. Если то в силу монотонности логарифмической функции например, то и а именно Значит, от заданного уравнения можно перейти к уравнению откуда находим Но при переходе от уравнения к уравнению 2 область определения расширилась: Поэтому найденное значение являющееся корнем уравнения 2 , может оказаться посторонним корнем для уравнения X. В данном случае именно это и происходит, поскольку не принадлежит области определения уравнения 1 не удовлет воряет неравенству Итак, посторонний корень, т. Уравнение называется рациональным, если рациональные выражения. При этом если целые выражения, то уравнение называется целым; если же хотя бы одно из выражений является дробным, то рациональное уравнение называется дробным. Например, целыми являются линейные квадратные уравнения. Чтобы решить рациональное уравнение, нужно: Общим знаменателем имеющихся дробей является Найдя дополнительные множители для каждой дроби, освободимся от знаменателей. Из уравнения находим п. Осталось проверить, обращают ли найденные корни в нуль выражение т. Значит, единственный корень уравнения. Суть этого метода состоит в следующем. Пусть нужно решить уравнение где многочлен степени. Предположим, что нам удалось разложить многочлен на множители: Тогда уравнение принимает вид Если — корень уравнения то а потому хотя бы одно из чисел равно нулю. Значит, а — корень хотя бы одного та уравнений Верно и обратное: Все найденные корни этих уравнений, и только они, будут корнями уравнения. Разложим на множители левую часть уравнения. Имеем откуда Значит, либо либо Из первого уравнения находим второе уравнение не имеет корней. Метод разложения на множители применйм к любым уравнениям вида где необязательно многочлен; пусть во среди выражений есть выражения более сложного вида, чем многочлены например, иррациональные, логарифмические и т. Среди корней уравнений могут быть посторонние для уравнения Пример 2. Имеем значит, либо либо На уравнения находим из уравнения находим Но не удовлетворяет исходному уравнению, так как при этом значении не определено выражение Это посторонний корень. Итак, уравнение имеет два корня: Решение уравнений методом введения новой переменной. Суть этого метода поясним на примерах. Положив получим уравнение откуда находим Тетерь задача сводится к решению совокупности уравнений Первое квадратное уравнение не имеет действительных корней, так как его дискриминант отрицателен. Из второго квадратного уравнения находим Это действительные корни заданного уравнения. Положим тогда и уравнение примет вид Решив это уравнение см. Но Значит, нам остается решить уравнения или Из первого уравнения находим второго уравнения получаем Тем самым найдены четыре корня заданного уравнения. Биквадратным называется уравнение вида где Биквадратное уравнение решается методом введения новой переменной: Положив получим квадратное уравнение откуда находим Теперь задача сводится к решению уравнений Первое уравнение не имеет действительных корней, из второго находим которые являются корнями заданного биквадратного уравнения. Решение задач с помощыо составления уравнений. С помощью уравнений решаются многочисленные задачи, к которым приводят самые разнообразные вопросы физики, механики, экономики и многих других прикладных наук. Прежде всего напомним общий порядок решения задач с помощью уравнений. Для перевозки 60 т груза из одного места в другое затребовали некоторое количество машин. Ввиду неисправности дороги на каждую машину пришлось грузить на 0,5 т меньше, чем предполагалось, поэтому дополнительно потребовались 4 машины. Какое количество машин было затребовано первоначально? Обозначим через х количество машин, затребованных первоначально. Тогда на самом деле было вызвано машин. Так как надо было перевезти 60 т груза, то предполагалось, что на одну машину будут грузить — тонн груза, а на самом деле грузило тонн груза, что на меньше, чем предполагалось. В результате мы приходим к уравнению Это уравнение имеет два корня: Ясно, что по смыслу задачи — 24 не подходит. Таким образом, первоначально было затребовано 20 машин. Расстояние между пунктами равно 60 км. Найти скорость течения реки. Пусть километров в час — скорость течения реки. Время, затраченное на путь по течению, составит а время, затраченное на обратный путь, составит часов. Так как на путь туда и обратно затрачено мин, т. Ясно, что значение не подходит по смыслу задачи. Найти двузначное число, зная, что цифра его единиц на 2 больше цифры десятков и что произведение искомого числа на сумму его цифр равно Напомним, что любое двузначное число может быть записано в виде где цифра десятков, а у — цифра единиц. Согласно условию если цифра десятков, то цифра единиц равна , и мы получаем Решив это уравнение, иаходим Второй корень не подходит по смыслу задачи. Итак, цифра десятков равна 2, цифра единиц равна 4; значит, искомое число равно Двое рабочих, работая вместе, выполнили некоторую работу за Первый из них, работая отдельно, может выполнить всю работу на скорее, чем второй рабочий, если последний будет работать отдельно. За сколько часов каждый из них, работая отдельно, может выполнить всю работу? Поэтому если обозначить через часов время, необходимое для выполнения всей работы первому рабочему, а через часов — второму, то часть работы, выполняемая первым рабочим за равна а часть работы, выполняемая вторым за равна Согласно условию они, работая вместе, выполнили всю работу за 6 ч. Часть работы, выполненная за первым рабочим, есть а часть работы, выполненная за вторым рабочим, есть Поскольку вместе они выполнили всю работу, т. Из сосуда емкостью наполненного кислотой, вылили несколько литров и долили сосуд водой, потом опять вылили столько же литров смеси. Тогда в оставшейся в сосуде смеси оказалось чистой кислоты. Сколько кислоты вылили в первый раз? Пусть в первый раз было вылито литров кислоты. Тогда в сосуде осталось литров кислоты. Долив сосуд водой, получили смеси, в которой растворилось 54 литров кислоты. Значит, в смеси содержится литров кислоты концентрация раствора. Во второй раз из сосуда вылили литров смеси, в этом количестве смеси содержалось литров кислоты. Таким образом, в первый раз было вылито литров кислоты, во второй литров кислоты, а всего за два раза вылито литров кислоты. В результате приходим к уравнению Решив это уравнение, найдем два корня: Ясно, что значение 90 не удовлетворяет условию задачи. Итак, в первый раз было вылито кислоты. Пусть масса добавленного олова составляет килограммов. Значит, в новом сплаве имеется килограммов меди. Так как масса меди и в имевшемся, и в новом сплаве одна и та же, то приходим к уравнению Решив это уравнение, получим Таким образом, к исходному сплаву надо добавить 1,5 кг олова. Сколько стали того и другого сорта надо взять, чтобы после переплавки получить т стали с содержанием никеля Решение. Пусть масса стали первого сорта равна тонн, тогда стали второго сорта надо взять тоан. Содержание никеля в стали первого сорта составляет значит, в X тоннах стали первого сорта содержится 0,05 тонн никеля. Содержание никеля в стали второго сорта составляет значит, в тоннах стали второго сорта содержится 0,4 x тонн никеля. По условию после соединения взятых двух сортов должно получиться т стали с -ным содержанием никеля, т. Но это количество никеля складывается из тонн, содержащихся в стали первого сорта, и из тонн, содержащихся в стали второго сорта. Таким образом, приходим к уравнению из которого находим. Иррациональным называют уравнение, в котором переменная содержится под знаком радикала или под знаком возведения в дробную степень. Так, иррациональными являются уравнения Рассмотрим два метода решения иррациональных уравнений: Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень состоит в следующем: Эта проверка чаще всего осуществляется с помощью подстановки найденных значений переменной в исходное уравнение. Возведем обе части уравнения в шестую степень, получим откуда Проверка. Подставив 67 вместо в данное уравнение, получим верное равенство. Преобразуем уравнение к виду и возведем обе части его в квадрат. Таким образом, является корнем заданного уравнения. Таким образом, посторонний корень. Применим метод введения новой переменной. Возведя обе части уравнения в пятую степень, получим откуда Уравнение не имеет корней, поскольку под знаком возведения в дробную степень может содержаться только неотрицательное число, а любая степень неотрицательного числа неотрицательна. Показательное уравнение вида где равносильно уравнению Имеются два основных метода решения показательных уравнений: Данное уравнение равносильно уравнению откуда находим Решив это квадратное уравнение, получим Пример 2. Приведем все степени к одному основанию Получим уравнение которое преобразуем к виду Полученное уравнение равносильно уравнению откуда находим Пример 3. Так как то данное уравнение можно переписать в виде Введем новую переменную, положив Получим квадратное уравнение с корнями Теперь задача сводится к решению совокупности уравнений Из первого уравнения находим, что Второе уравнение не имеет корней, так как при любых значениях Ответ: Простейшее логарифмическое уравнение имеет вид: Чтобы решить уравнение нужно: Имеются два основных метода решения логарифмических уравнений: Перейдем от заданного уравнения к уравнению и решим его. Имеем откуда Проверку найденных значений выполним с помощью неравенств. Число —3 этим неравенствам удовлетворяет, а число 4 нет. Значит, 4 — посторонний корень. Воспользовавшись тем, что сумма логарифмов равна логарифму произведения см. Ее можно выполнить с помощью системы неравенств Подставив поочередно найденные значения в эти неравенства, убеждаемся, что —1 удовлетворяет всем неравенствам, нет, — например, при этом значении не выполняется первое неравенство. Так как то заданное уравнение можно переписать следующим образом: Введем новую переменную, положив. Подучим далее Но поэтому из уравнения находим Ответ: Примеры решения показательно-логарифмических уравнений. В этой области выражения, входящие в обе части уравнения принимают только положительные значения; поэтому, прологарифмировав обе его частя по основанию получим уравнение равносильное уравнению 1. Полагая получим уравнение откуда. Остается решить совокупность уравнений Из этой совокупности получим уравнения 1. Здесь применен метод логарифмирования, заключающийся в переходе от уравнения к уравнению Пример 2. Воспользовавшись определением логарифма, преобразуем уравнение 2 к виду Полагая получим уравнение корни которого Теперь задача сводится к решению следующей совокупности уравнений: Так как , а , то первое уравнение совокупности не имеет решения. Прологарифмировав обе части второго уравнения совокупности по основанию 5, подучим: Уравнение где имеет бесконечно много корней. Например, уравнению удовлетворяют следующие значения: Общая формула, по которой находятся все корни уравнения где такова: Здесь может принимать любые целые значения, каждому из них соответствует определенный корень уравнения; в этой формуле равно как и в других формулах, по которым решаются простейшие тригонометрические уравнения называют параметром. Записывают обычно подчеркивая тем самым, что параметр может принимать любые целые значения. Решения уравнения где находят по формуле Уравнение решается по формуле а уравнение по формуле Пример 1. По формуле 1 имеем: Воспользовавшись формулой 2 , получим: Воспользовавшись формулой 3 , получим: Заметим, что в некоторых случаях удобнее пользоваться частными формулами: Во всех формулах — любое целое число. Методы решения тригонометрических уравнений. Имеются два основных метода решения тригонометрических уравнений: Перенесем 1 в левую часть и, выполнив преобразования левой части, разложим ее на множители. Применим к формулу для суммы синусов и воспользуемся тем, что Тогда уравнение примет вид и далее Теперь задача свелась к решению совокупности уравнений: Из уравнения находим Из уравнения находим и далее так как Таким образом, решение заданного уравнения таково: Так как то уравнение можно переписать следующим образом: Метод введения новой переменной полезен при решении так называемых однородных уравнений, т. Разделим обе части первого уравнения на , а обе часта второго уравнения на. В результате получим следующие уравнения, алгебраические относительно , а потому решаемые подстановкой При однородному уравнению не удовлетворяют те значения при которых. Поэтому деление на обеих частей однородного уравнения в случае не приводит к потере Кореей. Разделив обе часта уравнения почленно на , получим. Далее имеем откуда Пример 4. Разделив обе части этого однородного уравнения второй степени на получим. Далее положим тогда приходим к квадратному уравнению откуда. Решив совокупность уравнений получим Пример 5. В полученном уравнении отсутствует член вида. Здесь делить обе части уравнения на нельзя, так как те значения X, при которых удовлетворяют уравнению 1 , а потому деление на приведет к потере корней. Универсальная подстановка для тригонометрических уравнений. Если , то справедливы следующие тождества: В самом деле, имеем: Итак, рационально выражаются через поэтому подстановка и называется универсальной. Она может быть использована в уравнении вида где рациональное выражение относительно Поскольку использование универсальной подстановки возможно лишь при то нужно проверять, не являются ли числа вида решениями заданного уравнения. Выражая через по формулам 1 и полагая придем к рациональному уравнению Решив это уравнение, получим Из уравнения находим: Проверкой убеждаемся, что значения не удовлетворяют заданному уравнению. Выражая через и полагая получим рациональное уравнение откуда Из уравнения находим Однако нужно еще проверить, не удовлетворяют ли заданному уравнению те значения при которых , т. Проверка показывает, что значения являются решениями уравнения. Итак, заданное уравнение имеет следующие решения: Метод введения вспомогательного аргумента для тригонометрических уравнений. Иногда при решении тригонометрических уравнений оказывается полезным заменить выражение а на где см. В этом случае называют вспомогательным аргументом. Разделив обе части уравнения на получим: Так как , то окончательно получаем следующие решения заданного уравнения: На практике довольно часто оказывается полезным графический метод решения уравнений. Он заключается в следующем: Так, для решения уравнения достаточно построить график квадратичной функции и найти абсциссы точек пересечения этого графика с осью х. Например, график функции пересекает ось в точках 1; 0 и 5; 0 , значит, уравнение имеет два корня: Часто уравнение заменяют равносильным затем строят графики функций это проще, чем построение графика функции и находят абсциссы точек пересечения построенных графиков. Так, для решения уравнения можно преобразовать уравнение к виду затем построить графики функций и найти абсциссы точек пересечения этих графиков. Решить графически уравнение Решение. Уравнение целесообразно переписать в виде Теперь решение уравнения может быть сведено к нахождению абсцисс точек пересечения графиков функций рис. На рисунке 68, в построены в одной системе координат графики функций Определяем абсциссы точек А и В пересечения зтих графиков: Таким образом, заданное уравнение имеет два корня: Построим в одной системе координат графики функций График функции изображен на рисунке 69, а. Чтобы построить график функции рассмотрим два случая: Таким образом, запись эквивалентна записи График этой функции изображен на рисунке 69, б. На рисунке 69, в оба графика изображены в одной системе координат. Они пересекаются в двух точках с абсциссами Это два корня данного уравнения. С графическим методом решения уравнения связан функциональный метод решения уравнения, основанный том, если одна на функций возрастает, а другая убывает, то уравнение либо не имеет корней рис. Решить уравнение Решение, Легко заметить, что корень уравнения. Так как функция возрастает, а функция убывает, то других корней это уравнение не имеет рис. Пусть дано равенство с переменными Если ставится задача для каждого действительного значения а решить это уравнение относительно х, то уравнение называется уравнением с переменной и параметром а. Решить уравнение с параметром — это значит для каждого значения а найти значения удовлетворяющие этому уравнению. Рассмотрим прежде всего те значения параметра, которые обращают в нуль коэффициент при X при этих значениях параметра невозможно деление обеих частей уравнения на коэффициент при х, а при остальных значениях параметра такое деление возможно. При уравнение принимает вид. Это уравнение не имеет корней. При данное уравнение принимает вид корнем его служит любое действительное число. При уравнение можно преобразовать к виду откуда находим Таким образом, если то уравнение не имеет корней; если то корием служит любое действительное число; если , то Пример 2. Выделим особо значение параметра Дело в том, что при данное уравнение не является квадратным, а при оно квадратное. Значит, решать его в каждом из этих случаев надо по своему. При уравнение принимает вид откуда находим. В случае для квадратного уравнения выделим те значения параметра, при которых дискриминант уравнения обращается в нуль. Значит, - значение параметра, на которое нам надо обратить внимание. Если то , и, следовательно, уравнение не имеет действительных корней; если то и мы получаем: Итак, если то действительных корней нет; если Пример 3. При каких значениях параметра о уравнение имеет два различных отрицательных корня? Так как уравнение должно иметь два различных действительных корня его дискриминант должен быть положительным. Значит, должно выполняться неравенство По теореме Виета имеем: Поскольку по условию и то В итоге мы приходим к системе неравенств см. Из первого неравенства системы находим см. С помощью координатной прямой рис. Разложение натурального числа на простые множители. Наибольший общий делитель нескольких натуральных чисел. Наименьшее общее кратное нескольких натуральных чисел. Употребление букв в алгебре. Приведение дробей к общему знаменателю. Арифметические действия над обыкновенными дробями. Арифметические действия над десятичными дробями. Обращение обыкновенной дроби в бесконечную десятичную периодическую дробь. Обращение бесконечной десятичной периодической дроби в обыкновенную дробь. Комплексные числа ГЛАВА II. Целые рациональные выражения Приведение многочленов к стандартному виду. Дробные рациональные выражения Глава III. Преобразования графиков ГЛАВА IV. Формулы тригонометрии и их использование для преобразования тригонометрических выражений ГЛАВА V. Системы уравнений Глава VI. Доказательство неравенств ГЛАВА VII. Первообразная и интеграл ГЛАВА I. Площади плоских фигур Перпендикулярность прямых и плоскостей Перпендикуляр и наклонная к плоскости. Площади поверхностей тел ГЛАВА IV. Уравнения фигур в пространстве ГЛАВА V. Подобие фигур ГЛАВА VI. Уравнения с одной переменной Здесь По формуле 3. Корнями уравнения служат числа а корнями уравнения числа. Общим является число корень исходного уравнения. Однако при этом значении переменной неравенство не выполняется,. Рассмотрим уравнение и умножим обе его части на одно и то же выражение имеющее смысл при всех значениях Получим уравнение. В данном случае именно это и происходит, поскольку не принадлежит области определения уравнения 1 не удовлет. Итак, первый рабочий может выполнить всю работу за а второй — за Задача 5. Сколько стали того и другого сорта надо взять, чтобы после переплавки получить т стали с содержанием никеля. Таким образом, запись эквивалентна записи. График этой функции изображен на рисунке 69, б. Пусть дано равенство с переменными Если ставится задача для каждого действительного значения а решить это уравнение относительно х, то уравнение. Основные законы алгебры ГЕОМЕТРИЯ.
Тема урока: 'Уравнение с одной переменной'. 9-й класс
Уравнение -- это равенство, которое имеет неизвестное число, обозначенное буквой. Неизвестное число называют переменной. Выражение, записанное в уравнении слева от знака равенства, называют левой частью уравнения, а выражение записанное справа, - правой частью уравнения. Число, которое удовлетворяет уравнение, называется корнем или решением уравнения. Уравнения могут иметь разное количество корней. Решить уравнение -- означает найти все его корни либо доказать, что их нет. Если уравнения имеет одни и те же корни, то они называются равносильными. Равносильными считаются и те уравнения, которые не имею решения. Пример 1 Решите уравнения:. Пример 2 Решите уравнение:. Корни квадратного уравнения можно найти, выделив полный квадрат двучлена с квадратного трехчлена. Что б решить такое уравнение, необходимо рассмотреть такие случаи:. Уравнение с параметром можно решать так само, как и обычные уравнения, но только до тех пор, пока каждое перевоплощение можно выполнить однозначно. Если же какое-то перевоплощение нельзя выполнить однозначно, то решение надо разбить на несколько случаев. Значит, начиная с этого момента, надо рассматривать два случая. Главная Цены и сроки Как это работает. Все предметы Математика Выражения и тождества Уравнения с одной переменной. Уравнения с одной переменной. При решении равнений используют такие свойства: Если в любой из частей уравнения раскрыть скобки или свести подобные слагаемые, то получим уравнение, равносильное данному. Если в уравнении перенести слагаемое с одной части в другую, сменив знак на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному. Если обе части уравнения умножить или поделить на одно и то самое число, отменное от нуля, то получим уравнение, равносильное данному. Возможны такие решения линейного уравнения: Что б решить такое уравнение, необходимо рассмотреть такие случаи: Узнай стоимость написания работы на заказ. Выберите тип работы Курсовая работа Контрольная работа Решение задач Реферат Дипломная работа Отчёт по практике Презентации Эссе Чертёж Сочинения Перевод Ответы на вопросы Магистерская диссертация Кандидатская диссертация Лабораторная работа Статья Доклад Рецензия Монография Бизнес-план Творческая работа Набор текста Другое Повышение уникальности текста Помощь on-line Маркетинговое исследование Вычитка и рецензирование работ Подбор темы работы Копирайтинг. Квадратные уравнения и их корни. Системы нелинейных уравнений Решение квадратных уравнений. Теорема Виета Решение уравнений с переменной в знаменателе дроби Линейные уравнения с двумя переменными и их системы Квадратное уравнение с комплексными корнями Все статьи по математике. Дипломные работы Курсовые работы Рефераты Контрольные работы. Авторы студенческих работ Работа репетитором Работа для преподавателей Заработок для студентов Заказ дипломной работы Отзывы об Автор24 Партнерская программа Популярные вопросы Примеры студенческих работ. Топ авторов Правила Статьи Помощь Контакты.
'Линейное уравнение с одной переменной'. 7-й класс
Методы решения уравнений с одной переменной
Смешанные посадки таблица совместимости
Сколько слоев лака надо наносить на авто