Положительные и ограниченные полукольца. Дипломная (ВКР). Математика.

👉🏻👉🏻👉🏻 ВСЯ ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻

Вы можете узнать стоимость помощи в написании студенческой работы.


Помощь в написании работы, которую точно примут!

Похожие работы на - Положительные и ограниченные полукольца

Скачать Скачать документ
Информация о работе Информация о работе


Скачать Скачать документ
Информация о работе Информация о работе


Скачать Скачать документ
Информация о работе Информация о работе


Скачать Скачать документ
Информация о работе Информация о работе


Скачать Скачать документ
Информация о работе Информация о работе


Скачать Скачать документ
Информация о работе Информация о работе

Нужна качественная работа без плагиата?

Не нашел материал для своей работы?


Поможем написать качественную работу Без плагиата!

Положительные и ограниченные
полукольца





Введение........................................................................................................... 3


Глава 1. Основные понятия теории
полуколец .............................................. 4


1.1. Определение
полукольца. Примеры..................................................... 4


1.2.
Дистрибутивные решетки..................................................................... 5


1.3. Идеалы
полуколец................................................................................. 6


Глава 2 Положительные и ограниченные
полукольца..................................... 7


2.1. Определение
и примеры положительных и ограниченных полуколец 7


2.2. Основные
свойства положительных и ограниченных полуколец....... 7


Библиографический список........................................................................... 16









Теория полуколец –
это раздел современной алгебры, обобщающий как кольца, так и дистрибутивные
решетки. Понятие полукольца возникло в 30-х годах прошлого столетия. Как
самостоятельная теория полукольца начали изучаться в 50-е годы. Особенно интенсивно
теория полуколец развивается последние 20 лет, что вызвано не только
теоретическим интересом, но и многочисленными ее приложениями.


Целью данной
работы является изучение классов положительных и ограниченных полуколец,
рассмотрение основных свойств данных алгебраических объектов, часть из которых
доказывается автором работы самостоятельно; приведены примеры полуколец.


Работа состоит из
2 глав. В первую главу вошли основные определения и факты, на которые опирается
эта работа. Вторая – основная часть всей работы, в ней рассмотрены определения
и свойства положительных и ограниченных полуколец, приведены примеры, доказаны
некоторые теоремы.





Глава I . «Основные понятия теории полуколец»




1.1.
Определение
полукольца. Примеры




Определение полукольца :
Непустое множество S с бинарными операциями
+ и · называется полукольцом , если выполняются следующие аксиомы:


1. ( S ,+) – коммутативная полугруппа с
нейтральным элементом 0;


· 
Существование
нейтрального элемента: .


3. Умножение дистрибутивно относительно
сложения:


· 
левая
дистрибутивность: а(в+с)=ав+ас ;


· 
правая дистрибутивность:
 (а+в)с=ас+вс .


Эта аксиоматика
появилась в 1934 году и ее автором является Вандовер.


Полукольцо S называется коммутативным , если операция
 в нем
коммутативна: .


Полукольцо S называется полукольцом с единицей , если
в нем существует нейтральный элемент по умножению, который называется единицей
(1) :


1. < N ,+,·>, где N – множество неотрицательных целых
чисел с обычными операциями + и ·;


2. <{0},+,·> - тривиальное полукольцо;


3. Двухэлементные
полукольца:< Z 2 ,+,·>, <В,+,·> (в В
1+1=1);


4. Множество матриц с элементами из полукольца N и операциями + и ;


5. Множества N, Z, Q + , Q, R + , R и введенных на них различных комбинаций операций: обычные сложение и
умножение, максимум и
минимум двух
чисел, НОД и НОК, когда они определены.


Полукольцо с импликацией  называется мультипликативно
(аддитивно) сократимым .


Полукольцо, в котором выполняется
равенство , называется мультипликативно
(аддитивно) идемпотентным.




Пусть L – произвольное множество. Введем на
L отношение положив,


Отношением
порядка называется
рефлексивное, транзитивное, антисимметричное бинарное отношение на множестве L , при этом множество L назовем частично упорядоченным
множеством.


Отношение на множестве L является отношением порядка.   


Пусть M – непустое подмножество частично
упорядоченного множества L . Нижней гранью
множества M называется такой
элемент , что  для любого . Нижняя грань m множества M называется точной нижней гранью, если , где n – произвольная нижняя грань множества
M . Двойственным образом
определяется точная верхняя грань.


Частично
упорядоченное множество L
называется решеткой , если любые два элемента имеют точную верхнюю и точную нижнюю грани; решетка называется дистрибутивной ,
если в ней выполняются дистрибутивные законы :


Кроме этого
определения существует еще одно определение дистрибутивной решетки. Алгебраическая
система L с двумя бинарными операциями сложения
+ и умножения ∙ называется решеткой , если ( L , +) и ( L ,∙) являются идемпотентными
коммутативными полугруппами и операции связаны законами поглощения


Решетка
называется дистрибутивной , если для любых , ограниченной , если
она имеет 0 и 1.




Непустое
подмножество I полукольца S называется левым (правым) идеалом полукольца
S , если для любых элементов a , b I , s S элементы a + b и sa ( as ) принадлежат I .


Непустое подмножество,
являющееся одновременно левым и правым идеалом, называется двусторонним
идеалом или просто идеалом полукольца. Идеал, отличный от полукольца
S называется собственным .
Наименьший из всех (левых) идеалов, содержащий элемент a S , называется главным (главным
левым) идеалом , порожденным элементом a . Обозначается ( a ) или SaS , односторонние Sa и aS – левый и правый соответственно.
Множество всех элементов принадлежащих главному идеалу можно записать так .


Собственный идеал
M полукольца S называется максимальным (максимальным
правым) идеалом , если влечет M = A или A = S для каждого идеала A .


Примерами идеалов
могут служить следующие подмножества:


2.   S – идеал, совпадающий со всем
полукольцом;


4.   Главный
идеал ограниченной дистрибутивной решетки L , порожденный элементом a : .









Глава II «Положительные и ограниченные полукольца»





2.1. Определение, примеры и основные
свойства




Полукольцо S с 1 называется положительным ,
если для любого элемента а S элемент а+1 обратим в S , т.е. .


Примерами
положительных полуколец служат следующие алгебраические системы:


1.
ограниченные
дистрибутивные решетки;


2.
полукольца
непрерывных R + - значных функций;


3.
множество
всех идеалов полукольца, с операциями сложения и умножения.


Полукольцо S называется ограниченым , если
для любого выполняется
.
Ограниченное полукольцо – частный случай положительного полукольца.
1. 
ограниченные
дистрибутивные решетки;


2. 
множество
всех идеалов полукольца, с операциями сложения и умножения.




2.1.Основные
свойства положительных и ограниченных полуколец:


I .                Для
полукольца S следующие условия равносильны:


2. для любого
максимального одностороннего идеала M в S и любых a и b S


( a + b M ) ( a M & b M ).






1 2. Пусть для произвольных и максимального правого
идеала M . Предположим, что , тогда и для некоторых и . Имеем:


В левой части
последнего равенства – элемент из M , тогда как в правой части обратимый справа элемент; противоречие.


2 1. Пусть выполнено 2 и с
– произвольный элемент из S .
Элемент 1+с не лежит ни в одном максимальном одностороннем идеале
полукольца S (т.к. в противном
случае в силу условия 2 в идеале должен лежать элемент 1 , противоречие),
значит, 1+с обратим.


II . В положительном полукольце S справедливы импликации:


Доказательство . Пусть . Поскольку S положительно, то для x +1 найдется некоторый , такой что . Тогда


Таким образом мы
доказали, если положительное полукольцо мультипликативно идемпотентно, то оно
ограниченно,


Теперь, пусть , тогда ,т.е. такое полукольцо еще
и аддитивно идемпотентно.


Поскольку выполняется для , то для x =1, также выполняется. Обратно, 1+1=1 ,
помножим обе части на x и получим необходимое
равенство.


III . Полукольцо S положительно тогда и только тогда,
когда для любого элемента и любого обратимого элемента элемент обратим.






 Полукольцо положительно,
следовательно, элемент -
обратим. Умножим обратимый элемент на обратимый, получим обратимый.


В левой части обратимый элемент,
значит и в правой элемент тоже обратим.


   и – обратимы, тогда их произведение также
обратимо ,
значит обратим.


IV . Для коммутативного
положительного полукольца S равносильны следующие условия:


Эти условия
наряду с ассоциативностью, коммутативностью и идемпотентными законами
определяют дистрибутивную решетку.


V . В ограниченном полукольце единица 1
– единственный обратимый элемент.




Пусть есть некоторый обратимый
элемент u ,


VI . Пусть a – фиксированный элемент полукольца S , тогда каждое из утверждений влечет
следующее утверждение:


. Докажем методом математической индукции по
числу n .


I. 
 База. к=1 . (выполняется по условию).


II. Индуктивное предположение. Пусть для к< n условие выполняется, т.е.


Можно выбрать из
всего количества N , некоторое число, для которого тоже
данное выражение будет верно.


Примером того , что условие 3 не
влечет условие 1 является полукольцо матриц . Зафиксируем элемент , где . Для n =2


VII . Если S – полукольцо с мультипликативным
сокращением и аддитивно идемпотентно, то все утверждения предыдущего свойства
равносильны.




Имеем . Добавим к правой и левой части выражения
равные элементы :


В силу аддитивной
идемпотентности мы можем подбирать коэффициенты перед . В соответствии с биномом Ньютона,
подберем коэффициенты и получим:


Используя
мультипликативную сократимость, получим a +1=1 . Что и доказывает равносильность условий 1 – 3.


VIII . Пусть S – ограниченное полукольцо, и
существует такое ,
что для всех . Тогда:


2.        - коммутативное
ограниченное полукольцо с 1, где I – множество всех мультипликативных идемпотентов из S , а операция определяется так:


Доказательство: ММИ по числу n в .


I. База. n =1 . Из условия ограниченности


Из условий I,II получили, что данное равенство верно для , лемма доказана.


Поскольку степень
равна 2 n -1 , то в каждом из составляющих сумму
слагаемых, либо
(1 группа), либо (2
группа), и только так.


Среди слагаемых 1
группы имеется член .
Этот член в сумме с каждым слагаемым 1 группы будет давать самого себя, при
условии и лемме
1. из группы 1 останется только элемент


Аналогично с
элементами группы 2, в которой имеется элемент , который и останется. Получаем


2 .Прежде всего проверим замкнутость операций
 и + на множестве
I .


(1) Поскольку в
качестве аддитивной операции выбрано сложение, и все элементы из полукольца,
значит (I,+) – коммутативная
полугруппа с нейтральным элементом 0.


(2) Докажем, что - коммутативная полугруппа
с нейтральным элементом 1:


Элемент X состоит из таких слагаемых, которые
получены при умножении, кроме тех которые получены при произведении со всеми 1 ,
или со всеми с. Элемент имеется в качестве сомножителя в каждом
слагаемом X , т.е.


Таким образом, правые
части рассматриваемых тождеств равны, значит ассоциативность доказана.


Из 1 и 2 следует , по причине равенств
правых частей каждого, а значит следует равенство . Коммутативность доказана. - коммутативная полугруппа
с нейтральным элементом 1.


Все аксиомы
полукольца доказаны, а значит - коммутативное полукольцо и его элементы –
элементы ограниченного полукольца, значит полукольцо – ограничено.


IX . Если в положительном
полукольце S выполняется равенство


т.к. полукольцо
положительно, то в обеих частях обратимые элементы, домножим на обратный и
получим 1+1=1, умножим обе части на u, получим u+u=u, что и означает аддитивную идемпотентность.


X .       В положительном
полукольце S  справедливо следующее тождество:


1. 
Чермных,
В.В. Полукольца [Текст] / В.В. Чермных – Киров: Изд-во ВГПУ, 1997. – ст.7 – 87.


2. 
Вечтомов,
Е.М. Введение в полукольца [Текст] / Е.М. Вечтомов – Киров: Издательство ВГ ПУ,
2000. – ст.5 - 30.






Похожие работы на - Положительные и ограниченные полукольца Дипломная (ВКР). Математика.
Здание И Сооружение Реферат
Контрольная работа по теме Анализ состояния рынка информационных продуктов и услуг
Дипломная работа по теме Система личных неимущественных прав
Эссе Про Образ Рудина
Диссертация Ссср
Реферат Анализ Аграрного Хозяйства В Оренбургской Области
Дипломная работа по теме Оценка влияния несимметрии, несинусоидальности и отклонения напряжения на работу электрооборудования предприятия агропромышленного комплекса
Социальная Динамика Реферат
Контрольная работа: Страхование средств наземного транспорта
Телеведущая Юлия Барановская Сочинение 7 Класс
Курсовая работа: Управління власним капіталом банку
Сочинение На Тему Здоровье 10 Предложений
Реферат: The Beginning Of The End For The
Реферат: Формирование колониальной системы и модернизация цивилизаций Востока в XIX веке. Скачать бесплатно и без регистрации
Реферат На Тему Нестор Літописець Про Золоті Ворота
Линдгрен Собрание Сочинений Скачать
Реферат Информационные Технологии В Управлении Образовательной Организацией
Курсовая Анализ Деятельности
Контрольная Работа На Тему Женщина В Мусульманском Обществе
Вечная Тема Волнующая Мир Сочинение
Реферат: Версальско-Вашингтонская система мирного урегулирования
Похожие работы на - Психология эмоциональной сферы личности
Курсовая работа: Інфляція та шляхи її подолання в сучасних умовах