Почему это не решение

В Телеграм-канале Общий знаменатель приведено решение уравнения

Почему данное «решение» на самом деле решением не является?

Краткий ответ: не доказана единственность найденного корня.

Достаточным условием того, что уравнение
f(x) = C имеет не более одного корня, служит монотонность функции f(x).

Функция, стоящая в левой части данного уравнения, в действительности является монотонной, но это отнюдь не очевидно!

Для лучшего понимания нетривиальности этого факта рассмотрим уравнение на вид даже более простое:

Если следовать логике автора предыдущего «решения», то следует заключить, что ответом к этому уравнению служит x = ¼. Однако легко убедиться, что
x = ½ также является его корнем:

У нас уже два корня! А может быть есть ещё?

Для того чтобы доказать, что других корней нет, нужно исследовать функцию на монотонность. Это можно сделать с помощью производной.

Теперь легко показать, что функция имеет единственную точку минимума
xₒ = 1/e, а потому убывает на отрезке [0; 1/e] и возрастает на луче [1/e; +∞). Таким образом, более двух корней иметь не может.

Вернёмся к функции 

Для доказательства её монотонности также можно применить дифференцирование:

Теперь действительно несложно разглядеть, что производная данной функции положительна на всей своей области определения (0; +∞) (поскольку дискриминант стоящего в скобках квадратного трёхчлена относительно ln x отрицателен). А потому функция 

является монотонно возрастающей, и, значит, утверждение о единственности корня является верным. Только без обоснования этого факта решение не может быть признано валидным!

Умеет ли кто-нибудь доказать монотонность этой функции без применения производной? Если да, было бы интересно узнать об этом из комментариев.