Plan à trois dans un champ
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Plan à trois dans un champ
Exploiter un mouvement dans un champ uniforme
Établir et exploiter les équations
horaires du mouvement.
Établir l’équation de la
trajectoire.
Montrer que le mouvement dans un champ uniforme est
plan.
Le champ électrique qui règne entre deux
plaques parallèles, ou le champ de pesanteur sur une
zone restreinte, sont des champs uniformes : le
vecteur associé est le même en tout point.
L’étude du mouvement d’un objet de
masse m dans le
champ de pesanteur, ou le mouvement d’une particule
chargée dans un champ électrique, se fait
à l’aide de la deuxième loi de Newton.
Le référentiel d’étude est le
référentiel terrestre supposé
galiléen.
L’application de la deuxième loi de Newton
permet d’obtenir les équations horaires du
mouvement, qui correspondent aux expressions des
coordonnées du vecteur position en fonction du
temps.
Un projectile est lancé à une altitude
nulle avec une vitesse faisant un angle θ avec
l’horizontale : sa trajectoire est une parabole
et est incluse dans un plan vertical. Ce mouvement est un
mouvement plan.
Une particule chargée est plongée dans un
champ électrostatique uniforme : sa trajectoire
est une parabole et est incluse dans un plan. C’est
aussi un mouvement plan.
La deuxième loi de Newton
Dérivée, primitive
1. Le mouvement dans un champ de pesanteur
Le projectile n’est soumis qu’à son
poids .
Dans le repère choisi, la
somme des forces extérieures qui
s’exercent sur lui s’écrit
donc .
2. Établir des équations du mouvement
L’accélération est la dérivée de la
vitesse par rapport au temps : .
Pour trouver les constantes C x , C y , C z ,
on écrit que ,
ainsi :
La vitesse est la dérivée du vecteur
position par rapport au temps : .
Les équations paramétriques trouvées
pour et sont
les équations horaires du mouvement.
Remarque
Une équation paramétrique est
l’expression d’une grandeur en fonction
d’un paramètre qui est une variable. Si
cette variable est le temps, on parle
d’équation horaire.
3. L'évolution d'une particule chargée
dans un champ électrostatique
Remarques
La masse m ne se simplifie pas comme
pour le mouvement dans le champ de pesanteur.
Tant que les vitesses atteintes restent
négligeables devant la
célérité de la lumière dans
le vide, la deuxième loi de Newton est
applicable. Sinon, il faut faire intervenir la
théorie de la relativité .
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Exploiter un mouvement dans un champ uniforme
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Exploiter un mouvement dans un champ uniforme
On étudie le mouvement d’un projectile de
masse m
dans le référentiel terrestre,
considéré comme galiléen. Ce
système se déplace dans un champ de
pesanteur uniforme , ce qui signifie que ce vecteur
est le même en tout point.
On définit un repère à trois
dimensions dans ce référentiel, dont :
Le projectile est lancé depuis une altitude nulle
(le vecteur position initial est nul) avec une vitesse qui fait un angle θ avec
l’horizontale, dans le plan O xz . Le sol est
supposé parfaitement horizontal et plat.
Position initiale :
On applique la deuxième loi de Newton au centre de
masse du projectile, auquel on affecte la
masse m du projectile et sur
lequel s’appliquent toutes les forces.
Le vecteur accélération est constant :
le mouvement est uniformément varié.
La vitesse est donc une primitive de
l’accélération :
Le vecteur position est donc une primitive de la
vitesse :
Pour trouver les constantes C x , C y , C z ,
on écrit que ,
ainsi :
On constate que la coordonnée y du vecteur position est
nulle : le projectile évolue donc dans le
plan O xy .
Il s’agit donc d’un mouvement plan ,
c’est-à-dire que le mouvement est
réalisé dans un seul plan de
l’espace.
On détermine la trajectoire dans ce plan, en
combinant x ( t ) et z ( t ), puis en
extrayant t de x ( t ) et en le remplaçant
dans z ( t ).
On obtient l’équation d’une
parabole .
Dans le référentiel du laboratoire ,
supposé galiléen , une particule de
masse m ,
de charge électrique q > 0 et de vitesse
initiale selon une direction x est plongée dans un
champ électrostatique uniforme dirigé
selon y .
Le poids de la particule est négligeable devant la
force électrique ,
d’où :
soit .
En calculant les primitives, on obtient les expressions
de et :
Il s’agit également d’un mouvement
plan, car la particule évolue exclusivement dans
le plan Oxy .
On combine les équations
paramétriques et pour obtenir l’équation de la
trajectoire .
On obtient :
La trajectoire est une parabole dont le sommet est
O .
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la somme des forces
extérieures appliquées sur le
projectile
m la
masse du projectile, en kg
le vecteur
accélération du centre
d’inertie du projectile
a x , a y , a z
les composantes du vecteur
accélération, en m · s – 2
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