Переправы: разбор
На станции Переправы были вот такие задачи
Задача 1. Три жулика, каждый с двумя чемоданами, находятся на одном берегу реки, через которую они хотят переправиться. Есть трёхместная лодка, каждое место в ней может быть занято либо человеком, либо чемоданом. Никто из жуликов не доверит свой чемодан спутникам в своё отсутствие, но готов оставить чемоданы на безлюдном берегу. Смогут ли они переправиться?
Решение
Обозначим жуликов через А, Б, В, а их чемоданы — через А₁, А₂; Б₁, Б₂; В₁, В₂.
Идея такая: сначала перевозим чемоданы одного жулика, потом трое жуликов вместе меняют берег, и так по очереди переправляем все три пары чемоданов.
Ходы:
А переправляется вместе с чемоданами А₁ и А₂.
А возвращается один.
А, Б и В переправляются втроём.
Б и В возвращаются.
Б переправляется вместе с чемоданами Б₁ и Б₂.
А и Б возвращаются.
А, Б и В снова переправляются втроём.
В возвращается один.
В переправляется вместе с чемоданами В₁ и В₂.
Значит, переправиться можно
Задача 2. Из города Ка-бург в город Т-град, отправился состав из тепловоза ЛБ и вагонов ВБ-1, ВБ-2 и ВБ-3 с биотопливом. Возле тупика Т его нагнал пассажирский экспресс из тепловоза ЛП и вагонов ВП-1, ВП-2 и ВП-3. Тихоходный грузовой поезд хочет, чтобы быстрый экспресс его обогнал, а не плёлся сзади. В разгрузочный тупик Т влезает два вагона, или два тепловоза, или один вагон и один тепловоз. Как грузовому поезду пропустить пассажирский?
Решение
Идея манёвра такая: сначала в тупик убирают два вагона с биотопливом, потом пассажирский поезд временно вытаскивает их на главный путь, после этого в тупик убирают оставшийся вагон вместе с тепловозом ЛБ. Тогда пассажирский поезд проходит вперёд, а грузовой потом снова собирается.
Последовательность действий:
Тепловоз ЛБ отводит свой состав вперёд так, чтобы освободить стрелку.
Стрелку переводят, и ЛБ начинает сдавать назад. При этом в тупик заходят вагоны ВБ-1 и ВБ-2. Когда они целиком оказались в тупике, их отцепляют от вагона ВБ-3.
ЛБ вместе с вагоном ВБ-3 снова уходит вперёд по главному пути.
Теперь пассажирский поезд проходит вперёд так, чтобы весь его состав оказался по другую сторону стрелки.
Стрелку снова переводят, и тепловоз ЛП сдаёт назад. Вагон ВП-3 заходит в тупик и сцепляется с вагоном ВБ-2.
После этого ЛП тянет состав вперёд и вытаскивает из тупика вагоны ВБ-2 и ВБ-1. Теперь эти два вагона прицеплены к хвосту пассажирского поезда.
Пассажирский поезд отходит назад, освобождая стрелку.
Стрелку переводят ещё раз, и ЛБ сдаёт назад, загоняя в тупик вагон ВБ-3 вместе с собой. Это возможно, потому что в тупик помещаются один вагон и один тепловоз.
Теперь главный путь свободен. Пассажирский поезд идёт вперёд, проходит мимо тупика и в нужный момент отцепляет вагоны ВБ-1 и ВБ-2, оставляя их на главном пути.
Пассажирский поезд уходит дальше вперёд.
ЛБ выезжает из тупика, прицепляет вагоны ВБ-2 и ВБ-1 и продолжает путь уже позади пассажирского поезда.
Ответ: грузовой поезд может пропустить пассажирский.
Задача 3. Трое человек должны переправиться через реку. Лодка выдерживает 100 кг. Веса людей: 45 кг, 50 кг, 80 кг. Как им переправиться?
Решение
Здесь главное заметить, что человек весом 80 кг не может плыть ни с кем:
80 + 45 > 100 и 80 + 50 > 100.
Значит, он должен переправляться один, а лодку ему должны «подготовить» двое более лёгких.
Ходы:
Люди весом 45 кг и 50 кг переправляются вместе.
Человек весом 45 кг возвращается.
Человек весом 80 кг переправляется один.
Человек весом 50 кг возвращается.
Люди весом 45 кг и 50 кг снова переправляются вместе.
Все ограничения соблюдены, значит, переправа возможна.
Задача 4. Семья ночью подошла к мосту. Папа может перейти его за 1 минуту, мама – за 2, малыш – за 5, а бабушка – за 10 минут. У них есть один фонарик. Мост выдерживает только двоих. Как им перейти мост за 17 минут? (Если переходят двое, то они идут с меньшей скоростью. Двигаться по мосту без фонарика нельзя. Светить издали нельзя. Носить друг друга на руках нельзя. Кидаться фонариком тоже нельзя.)
Решение
Главная идея: самых медленных — малыша и бабушку — надо провести вместе, а папа и мама должны работать как «курьеры» фонарика. Именно это даёт минимальные 17 минут.
Ходы:
Папа и мама переходят мост — 2 минуты.
Папа возвращается с фонариком — 1 минута.
Малыш и бабушка переходят мост — 10 минут.
Мама возвращается с фонариком — 2 минуты.
Папа и мама снова переходят мост — 2 минуты.
Итого: 2 + 1 + 10 + 2 + 2 = 17 минут.