Производные. Вся теория за один урок

Cодержание статьи

I. Что такое производные, кому и для чего они нужны?

1) Для кого данная статья может быть полезна?

2) Что такое производные и для чего они нужны?

3) Применение в физике (математикам можно пропустить)

II. Геометрический смысл производной

1) Производная на графике функции

2) Понятие экстремума

III. Как вычислять производные?

1) Производные элементарных функций

2) Производная суммы, разности, произведения и частного двух функций

3) Производная сложной функции (и алгоритм рассчета производной сложной функции)

IV. Выжимка статьи

I. Что такое производные, кому и для чего они нужны?

Для кого данная статья может быть полезна?

Умение использовать производные полезно для олимпиадников по физике, начиная с 9-го класса, а также необходимо для ЕГЭ-шников по математике. Более подробно с производными знакомятся на первых курсах технических вузов.

Данная статья будет полезна как для олимпиадников, ЕГЭ-шников, первокурсников, репетиторов, так и для всех, кто хочет узнать что-то новое. Статья написана простым языком и использует множество подробно разобранных примеров, поэтому, при должном усилии, каждый сможет разобраться в этой нелёгкой теме.

Что такое производные?

В строгом определении, производная функции - это предел:

Рассмотрим на примере функции f(x) = -0,16x² + 1,92x - 0,76 суть данного определения.

Возьмём точку x = 1, f(x) = 1. Пусть Δx = 5. Тогда, оступив от точки (1, 1) на 5 вправо, мы придём в точку (6, 5). Δf при этом будет равно 4. Соотношение Δf/Δx = 4/5. Заметим, что соотношение Δf/Δx на графике имеет смысл tg(α).

Если мы начнём уменьшать Δx, то есть устремлять его к нулю, то угол будет все возрастать и возрастать, пока прямая, образованная этим углом, не станет касательной к параболе:

То есть производная функции имеет смысл тангенса угла наклона касательной к графику функции.

Обозначения

Производная функции f(x) обозначается через апостроф f'(x) или через дифференциалы:

В физике производную по времени принято обозначать через точку, а вторую производную по времени - через две точки над функцией, например:

Обратите внимание, что в данном случае x является функцией, а не аргументом.

Для чего нужны производные?

Производные позволяют высчитывать точки минимумов, максимумов, а также промежутки возрастания и убывания функций. По-простому, производная функции - это скорость роста этой функции в той или иной точке. Благодаря чему, сразу можно догадаться, что если производная больше нуля, то функция растёт, если производная меньше нуля - функция убывает, наконец, если производная равна нулю - функция стоит на месте, то есть находится в минимуме или максимуме.

Применение в физике (математикам можно пропустить)

Помимо поиска максимумов и минимумов, дифференцирование (процесс взятия производных) также помогает вычислять скорость, ускорение, мощность и многие другие величины, являющиеся изменением каких-либо других величин (как скорость - изменение координаты, ускорение - изменение скорости, мощность - изменение энергии). Некоторые примеры:

1) Производная координаты (угла) по времени - это скорость (угловая скорость)

2) Производная скорости (угловой скорости) по времени - это ускорение (угловое ускорение)

3) Производная импульса (момента импульса) по времени - это сила (момент силы)

4) Производная энергии/заряда по времени - это мощность/сила тока

6) Производная магнитного потока по времени с минусом - это ЭДС самоиндукции

II. Геометрический смысл прозводной

Производная на графике функции

Как мы выяснили ранее, геометрически производная функции в произвольной точке x₀ - это тангенс угла наклона касательной, проведенной к данной функции в точке x₀.

Рассмотрим на примере функции f(x) = -x² + 4x - 2. Производная этой функции равна f'(x) = -2x + 4 (как считать производную, будет написано дальше).

В точке x₀ = 1, производная будет равна f'(1) = -2*1 + 4 = 2. На графике функции и её касательной в точке x₀ = 1 также можно наблюдать, что тангенс угла наклона касательной равен 2:

В точке x₁ = 3, производная будет равна f'(3) = -2*3 + 4 = -2. На графике функции и её касательной в точке x₁ = 3 можно наблюдать, что тангенс угла наклона касательной равен -2:

Наконец, в точке x₂ = 2, производная будет равна f'(2) = -2*2 + 4 = 0. На графике функции и её касательной в точке x₂ = 0 можно наблюдать, что тангенс угла наклона касательной равен 0:

Промежутки возрастания и убывания функции

На этом простом примере можно заметить закономерность, которую необходимо запомнить:

а) Если производная функция в точке больше нуля, то функция в этой точке возрастает

б) Если производная функции в точке равна нулю, то функция в этой точке останавливается

в) Если производная функции в точке меньше нуля, то функция в этой точке убывает

Экстремум функции

Более детально стоит рассмотреть случаи, когда производная функции обнуляется. На примере выше нетрудно заметить, что в точке x = 2, когда производная равна нулю, функция проходит свой максимум. Точки минимумов и максимумов называются точками экстремумов.

При этом производная в точке экстремумов всегда равна нулю. А вот если производная равна нулю, это еще не означает, что точка является точкой экстремума. Контр-примером является функция f(x) = x³. Её производная f'(x) = 3x² равна нулю при x = 0. Однако, как можно увидеть из графика, хотя функция f(x) = x³ и останавливается в точке x = 0, эта точка не является ни максимумом ни минимумом данной функции, то есть не является точкой экстремума.

Чтобы наверняка определить является ли точка, в которой производная равна нулю, минимумом, максимумом или вовсе не является точкой экстремума, необходимо посмотреть как изменяется производная слева и справа от данной точки.

Если производная в точке равна нулю, слева от точки больше нуля, а справа от точки меньше нуля, то данная точка является точкой максимума.

Если производная в точке равна нулю, слева от точки меньше нуля, а справа от точки больше нуля, то данная точка является точкой минимума.

В противном случае точка не является точкой экстремума.

Данное правило становится понятным, если представить себе функцию. Очевидно, что если функция сначала росла (f'(x) > 0), затем остановилась (f'(x) = 0), а после начала падать (f'(x)<0), то точка, в которой функция остановилась, будет точкой максимума. Аналогично можно представить себе и правило для определения точки минимума.

III. Как вычислять производные?

В общем случае, вычисление производных складывается из понимания трёх базовых приёмов: знания производных элементарных функций, умения вычислять производную суммы/разности/произведения и частного функций, а также умения вычислять производную сложной функции.

Производные элементарных функций

1) Степенная функция

Пример:

Пример:

Пример:

2) Экспонента

3) Показательная функция

4) Натуральный логарифм

5) Логарифм

6) Синус

7) Косинус

8) Тангенс

9) Котангенс

2. Производная суммы, разности, произведения и частного двух функций

1) Производная суммы и разности двух функций

Производная суммы/разности двух функций f(x) и g(x), домноженных на числа a и b соответственно, считается по следующему правилу:

Пример:

Пример:

Пример:

Пример (производная константы):

Пример (производная не натурального логарифма):

2) Производная произведения двух функций

Производная произведения двух функций f(x) и g(x) считается по следующему правилу:

Пример:

Пример:

Пример:

3) Производная частного двух функций

Производная частного двух функций f(x) и g(x) считается по правилу:

Пример:

Пример:

Пример:

3. Производная сложной функции

Сложная функция - это функция от функции, например:

Что в данной функции происходит с аргументом x? Во-первых, этот аргумент возводится в степень экспоненты, после чего считается косинус полученного числа. Еще пример:

В данной функции сначала считается натуральный логарифм от аргумента, а затем полученное число возводится в квадрат. При взятии производной сложной функции очень важно понимать последовательность счёта, какая функция сначала преобразует аргумент, а какая преобразует полученное значение. В общем случае сложную функцию можно записать в виде f(g(x)). Производная сложной функции считается по правилу:

Алгоритм рассчета производной сложной функции:

а) Определить, какая функция "действует" на аргумент в первую очередь ("внутренняя фунция"), и какая функция затем "действует" на первую ("внешняя функция").

б) Сделать замену: "внутреннюю" функцию поменять на g(x), внешнюю поменять на f(g).

в) Посчитать производные функций f(g) и g(x) как производные простых функций от аргументов g и x соответственно.

г) Перемножить полученные производные.

д) Выполнить обратную замену.

Пример:

Пример:

Пример (со звёздочкой):

Пример (производная степенной функции):

IV. Summary

1) Геометрический смысл

Производная - тангенс угла наклона касательной к графику

2) Условия возрастания и убывания

f'(x)>0 ⇔ f(x) возрастает

f'(x)=0 ⇔ f(x) стоит на месте

f'(x)<0 ⇔ f(x) убывает

3) Экстремумы

Экстремумы - точки минимумов и максимумов функций. Если точка является экстремумом, тогда производная функции в этой точке равна нулю.

Если производная функции в точке равна нулю, это не означает, что данная точка будет экстремумом, контр-пример - функция f(x) = x³.

Правило для определения точек экстремума:

Если f'(слева от x) > 0, f'(x) = 0, f'(справа от х) < 0, то x - точка максимума.

Если f'(слева от x) < 0, f'(x) = 0, f'(справа от х) > 0, то x - точка минимума.

В противном случае x не является точкой экстремума.

4) Производные элементарных функций

5) Производная суммы, разности, произведения и частного

6) Производная сложной функции

Алгоритм рассчета производной сложной функции:

1) Определить внутреннюю и внешнюю функцию

2) Сделать замену f(g) - внешняя функция, g(x) - внутреняя

3) Посчитать производные f(g) и g(x)

4) Воспользоваться правилом раскрытия производной сложной функции

5) Сделать обратную замену

Если вы хотите более уверенно освоить тему производных, записывайтесь на обучение в онлайн-школу Чернушка! Школа от студентов МФТИ для подготовки к олимпиадам и экзаменам на высокие баллы.