Паритет опционов PUT и CALL

Итак, для простоты рассматриваем европейские опционы CALL и PUT на акцию, по которой не будут выплачены дивиденды в течение срока обращения опциона

Исходные данные:

S – текущая цена акции

X –страйк опциона

Обратите внимание: мы здесь не рассматриваем опционы ATM.

Опционы могут быть любые: OTM, ITM, ATM.

Далее:

Pc – цена опциона CALL

Pp – цена опциона PUT

Котировка акции в момент экспирации будет обозначена, как S(T). То есть, S(T) – это неизвестная еще цена акции в будущем, в момент времени T, в день экспирации. Как всегда, R – это безрисковая процентная ставка.

P&L по КУПЛЕННОМУ опциону CALL можно описать так:

Откуда здесь берется множитель в виде экспоненты в степени минус RT? – это просто дисконтирование будущих потоков денег, если они будут выплачены, конечно. А вот уплата премии идет без этого множителя, потому что она выплачивается держателем здесь и сейчас (разумеется, это справедливо не для маржируемых опционов, а для классических).

Видно, что выплаты различаются в зависимости от того, где истечет опцион: в деньгах или без денег, но в любом случае, премия Pc уже уплачена.

P&L по ПРОДАННОМУ опциону PUT выглядит так:

Вновь экспонента появляется там, где деньги будут выплачены в будущем. Заметьте, что для нас здесь модель ценообразования опциона CALL и опциона PUT совершенно не существенна. Значения цен мы можем брать хоть с рынка, хоть из модели Блэка - Шоулза, хоть из любой другой. Это не важно.

Наконец, рассмотрим P&L по акции, проданной в шорт по текущей цене S, которую нужно откупить через срок T по цене S(T):

Считается, что сейчас за акцию мы получили деньги в размере S, а в будущем должны будем ее откупить по неизвестной пока цене S(T). Поэтому будущие расходы на откуп также дисконтированы экспонентой. Теперь последовательно сложим эти позиции и посмотрим, что получится.

Прибыль-убыток по купленному опциону CALL и проданному опциону PUT будет выглядеть так, как показано в формуле:

или

Если мы на эту формулу внимательно посмотрим, то увидим, что результат не зависит от того истечет ли опцион CALL в деньгах или нет. Точно также нет зависимости от того, где истечет опцион PUT. Более того, этот результат не зависит от текущей цены базисного актива S.

Таким образом, мы имеем, что P&L комбинации CALL-PUT не зависит от текущей цены Б.А., а зависит только от будущей цены в момент экспирации.

Закроем теперь эту комбинацию купленного опциона CALL и проданного опциона PUT проданной акцией. Результирующий P&L будет выглядеть так:

P&L комбинации CALL-PUT+SHORT не зависит от будущей цены базисного актива S(T), а только от текущей цены S.

Это замечательный факт, позволяет нам построить сделку, результат которой абсолютно не зависит от того, куда пойдет рынок. Эта сделка называется «сделка коробка» или BOX trade.