Параметры. Часть 1. Графики

Параметры. Часть 1. Графики

Кирилл

Содержание статьи

I. Графики элементарных функций

1) Линейная функция

2) Парабола

3) Гипербола

4) Корень

5) Показательная функция

6) Логарифм

7) Синус и косинус

8) Тангенс и котангенс

9) Эллипс

II. Сжатия, растяжения, отражения и переносы

1) Сжатия и растяжения

2) Отражения

3) Переносы

III. Примеры из ЕГЭ


I. Графики элементарных функций

При решении задач на параметры, первое, что необходимо научиться делать - это уметь представлять себе графики функций, иногда заданных неявно (например, x² + y² = 1). Кроме того, нужно хорошо понимать как повлияет на вид графика изменение того или иного параметра функции. Начать строить графики функций проще всего с элементарных функций - они как кирпичики лего, из которых можно выстраивать более сложные функции.


1) Линейная функция

Функция

Общий вид

Коэффициент k отвечает за тангенс угла наклона касательной. Если по-простому, это то, насколько поднимется функция за один шаг вправо. При этом если k < 0, то функция, наоборот, спустится. Если же k = 0, то функция не поднимется и не спустится, она будет идти параллельно оси x. На рисунке k = 2, поэтому можно наблюдать, как после каждого изменения x на один вправо, функция каждый раз поднимается на 2 значения по y. Коэффициент b отвечает за пересечение графика с осью y. На данном рисунке b = 1. И график также пересекает ось y в точке y = 1.

Изменение k

При изменении k изменяется угол наклона функции. Видно, что при отрицательных значениях k, функция начинает идти вниз. При этом, можно также заметить, что точка пересечения графика с осью y не изменяется.

Изменение b

При изменении b график передвигается вверх и вниз. При этом угол наглона прямой не изменяется.


2) Парабола

Функция

Общий вид

Коэффициент a отвечает за то, насколько функция меняется по y при изменении x от вершины на 1. При этом, если изменять x на 2 или 3, то y будет меняться на 4a и 9a соответственно. Коэффициент b можно определить по абсциссе вершины параболы. Коэффициент c показывает пересечение параболы с осью y.

Изменение a

Коэффициент a задаёт форму параболы, которая не меняется при изменении коэффициентов b и c. Обратите внимание на на значение функций в точках x = 1. Эти значения совпадают со значением коэффициента a.

Изменение b

При изменении коэффициента b парабола не просто двигается влево-вправо или вверх-вниз, она "скользит" по вспомогательной параболе вида y = -ax² + с.

Изменение c

При изменении коэффициента c парабола скользит вверх-вниз. При этом точка пересечения графика с осью y соответствует коэффициенту c. Таким образом, с помощью изменения коэффициента a можно задать форму параболы, а изменяя коэффициенты b и c можно пододвинуть параболу в нужное место.

Функция параболы через координаты вершины

Преобразуем квадратичную функцию:

Сделаем замену:

Координаты вершины параболы. Нужно запомнить, что x₀ = -b/2a

Получим функцию параболы в новом виде:

В таком виде параболу очень легко изобразить. Это парабола вида y = ax², которую перенесли вправо на x₀ и подняли вверх на y₀:

Пример функции y = 0.5x² - 3x + 6.5, представленной в виде y = 0.5(x - 3)² + 2. График такой функции легко строится из функции y = 0.5x² переносом его вправо на 3 и вверх на 2.

Подробнее о переносах будет рассказано в части II. Сжатия, растяжения и переносы данной статьи.

Смысл дискримината

Как известно, корни уравнения ax²+bx + c = 0 имеют вид:

Заметим, что если числитель почленно поделить на знаменатель, то в обоих корнях можно выделить x₀ = -b/2a - абсциссу вершины параболы:

В таком виде заметно, что


это то, насколько корни отходят от абсциссы вершины параболы:

На этом же изображении видно, что вертикальная прямая, проходящая через точку x₀ = -b/2a является осью симметрии параболы

То есть дискриминат показывает насколько корни находятся далеко друг от друга. В таком случае, можно сделать вывод, что при уменьшении дискримината, корни будут сближаться до тех пор, пока дискриминат не обнулится. В этот момент корни "схолпнутся" в одну точку касания с осью x. Если дискриминат продолжать уменьшать, то корни вовсе пропадут. Отсюда, в том числе, можно заключить известный факт:

D > 0 - уравнение имеет 2 корня

D = 0 - уравнение имеет 1 корень

D < 0 - уравнение не имеет корней


3) Гипербола

Функция

Общий вид

При изучении гиперболы может возникнуть резонный вопрос, существую ли принципиальные различия между гиперболой и параболой? Или же, если "повернуть" параболу и подобрать нужную форму, она станет гиперболой? Ответ на этот вопрос: да, гипербола принципиально отличается от параболы, её главное отличие - наличие асимптот, то есть таких прямых, к которым график гиперболы бесконечно приближается, но никогда их не касается. В приведённом примере асимптотами выступают оси x и y.

Видоизменения функции

Изменения общего вида функции более подробно разбираются в части II. Сжатия, растяжения и переносы данной статьи.


4) Корень

Функция

Общий вид

Корень - это "лежачая парабола". А точнее - одна из ветвей этой параболы.

Видоизменения функции

Изменения общего вида функции более подробно разбираются в части II. Сжатия, растяжения и переносы данной статьи.


5) Показательная функция

Функция

Коэффициент a называется основанием степени, аргумент x - показателем степени.

Общий вид

Экспонента - показательная функция, в которой a = e ≈ 2.71. Экспонента является самой частоизучаемой показательной функцией. Это связано с тем, что число e = 2.71... имеет некоторые полезные свойства, например, производная по экспоненциальной функции - это экспоненциальная функция.

Изменение a

Показательная функция является самой быстрорастущей функцией. Она существует только при a > 0. На графике показано как ведёт себя показательная функция при увеличении a от 0.5 до 2. При значениях a меньше единицы, график уходит вверх слева, а справа стремится к нулю. При увеличении a график становится всё более пологим и "ложится" на прямую y = 1, в которую вырождается при значении a = 1. При дальнейшем увеличении a график начинает уходит вверх справа, а слева стремится к нулю. При этом увеличение a делает функцию всё более крутой. Общей для всех графиков показательной функции является точка (0; 1), через которую проходят все покаазательные функции. Также для любой показательной функции ось x является асимптотой.


6) Логарифм

Функция

Коэффициент a называют основанием логарифма. Для аргумента x логарифма нет специального названия, его называют просто аргументом логарифма.

Общий вид

Натуральный логарифм - это логарифм, в котором основание a = e = 2.71...

Изменение a

На графике заметно, что если 0 < a < 1, функция при x > 1 проходит под осью x, а при x < 1 - над осью x. При увеличении a функция всё дальше отходит от оси x. Если a > 1 график при x > 1 лежит над осью x, а при x < 1 проходит под осью x. При этом увеличение a, наоборот, всё больше и больше "прижимает" график к оси x. Общим для всех графиков является точка (1; 0). Также общей для графика при любом a является асимптота - ось y.


7) Синус, косинус

Функции

Общий вид

Синус и косинус являются периодическими функциями. Это означает, что каждые 2π ≈ 6.28 график повторяется. Графики синуса и косинуса "выходят" из оси x под углом 45 градусов и "заходят" в ось x под тем же углом.


8) Тангенс, котангенс

Функции

Общий вид

Тангенс и котангенс также являются периодическими функциями с периодом π. Пунктирные линии являются асимптотами этих функций. У тангенса и котангнеса бесконечное количество асимптот. При этом после на этих асимптотах графики разрываются. Например, график тангенса, уходя в бесконечность, разрывается в точке x = π/2. А после этой точки он оказывается в минус бесконечности и снова начинает расти. Графики этих функций "заходят" и "выходят" из под оси x под углом 45 градусов.


9) Эллипс

Функция

Общий вид

Функция, указанная выше, задаёт эллипс, который простирается от -a до a по оси x и от -b до b по оси y.

Окружность

Если a = b, то эллипс будет растянут одинаково как в сторону x, так и в сторону y, то есть получится окружность. Домножим изначальную функцию на a² и получим известную функцию окружности, где a является её радиусом:

Эллипс, у которого a = b = 2

Фокус эллипса

У эллипса есть две особые точки, которые называется фокусами. Они расположены на расстоянии

от начала координат. Свойство фокусов состоит в том, что для любой точки эллипса сумма расстояний от фокусов до неё постоянна и равна 2a:

В данном случае k + m = l + n = 10. Данное равенство будет справедливо также для любой другой точки эллипса.

В связи с этим свойством эллипса, его иногда задают как функцию суммы расстояний до двух точек, равную постоянному числу:

Если вбить данную функцию в графический калькулятор, то он нарисует эллипс:

Почему так происходит? Видно, что для произвольной точки (x₀; y₀) первый корень является расстоянием от неё до точки (-4; 1), а второй корень - расстоянием от неё до точки (2; 1). В таком случае уравнение будет верным для тех точек, для которых сумма расстояний от точек (-4; 1) и (2; 1) в сумме будет равным 10. А такому условию как раз удовлетворяют только точки эллипса.


II. Сжатия, растяжения, отражения и переносы

1) Сжатия и растяжения

Сжатие по оси x

Если каждый x в формуле поделить на одно и то же число a, то график функции растянется в a раз вдоль оси x:

Почему это так происходит? Допустим, что ранее уравнению y = f(x) удовлетворяла точка (2; 3) и 3 = f(2). Понятно, что если каждый x в функции f(x) поделить на a, то уравнению y = f(x/a) теперь будет удовлетворять точка (2a; 3) так как 3 = f(2) = f(2a/a). Таким образом, когда функция f(x) поменялась на функцию f(x/a), каждой точке (x; y) теперь соответвтует новая точка (ax, y), именно поэтому функция и растягивается вдоль оси x. Если же каждый x в функции f(x) не поделить на a, а умножить на этот коэффициент, то функция наоборот сожмётся в a раз.

Сжатие по оси y

То же самое работает и с ординатой. Если каждый y в функции поделить на число b, то график функции вытянется в b раз вдоль оси y:

Здесь снова работает та же самая логика. Пусть точка (x, y) является решением уравнения f(x, y) = 0. В таком случае, если поменять уравнение на f(x, y/b) = 0, то его решением уже окажется точка (x, by), то есть точка, в которой при той же абсциссе ордината в b раз больше. Если же в уравнении каждый y домножить на b, то график, наоборот, сожмётся в b раз.


2) Отражения

Отражение относительно оси x

Если в функции каждый y заменить на -y, то функция отразится относительно оси x:

Пример специально подобран сложным. Как правило, таких функций на ЕГЭ не бывает. Цель данного примера лишь показать как происходят отражения относительно осей, несмотря на сложность представленной функции.

Отражение относительно оси y

Если в функции каждый x заменить на -x, то функция отразится относительно оси y:

В данном примере функции также подобраны специально сложными, чтобы продемонстрировать общую закономерность.


3) Переносы

Если из каждого x в уравнении вычесть одно и то же число a, то функция сдвинется вправо на a:

Почему так происходит? Представим, что точка (x₀, y₀) является решением уравнения f(x, y) = 0. В таком случае, если функция поменяет свой вид на f(x - a, y), то на каждое решение прошлого уравнения найдётся решение нового уравнения вида (x₀ + a, y₀). Это означает, что каждая точка "сдвинется" вправо на a.

Если из каждого y в уравнении вычесть одно и то же число b, то функция сдвинется наверх на b:

Точно также, как и в случае со сдвигом по оси x, если точка (x₀, y₀) является решением уравнения f(x, y) = 0, то точка (x₀, y₀ + b) будет являться решением уравнения f(x, y - b). Это означает, что каждому решению прошлого уравнения найдётся в соответствие точка, поднятая на b, являющаяся решенеим нового уравнения. Так как это справедливо для любой точки, а график является множеством точек решения, то весь график поднимется вверх на b. (или опустится вниз, если число b отрицательное)

Когда функция задана в явном виде y = f(x), как правило из y не вычитают число, а, наоборот, прибавляют его к правой части. Вместо y - b = f(x) пишут y = f(x) + b. Как вы можете понять, алгебраически, это две одинаковые функции. В случае явно заданной функции (в статье это все функции, кроме эллипса) "подъём" графика на b становится более очевидным:


III. Примеры из ЕГЭ


1) Прямая

В данном случае, мы можем видеть один из самых простых примеров параметрической задачи. Здесь задана прямая с тангенсом угла наклона a/2 и пересекающей ось y при y = 2a. Если увеличивать a, то функция будет становиться, с одной стороны, круче, а, с другой, все выше пересекать ось y.

Также можно заметить, что все прямые, независимо от a, проходят через точку (-4; 0). Алгебраически, это можно было бы заметить, если вынести a/2 за скобку:

В таком виде явно видно, что при x = - 4, y = 0, независимо от a.


2) Парабола


Как правило, парабола задаётся через квадрат x, однако же, если в квадрате находится y, а x в уравнении находится в первой степени, то перед нами также парабола, правда перевёрнутая. Представьте, что вы перепутали оси x и y и нарисовали параболу не так как обычно. Ничего страшного при этом не произошло, просто парабола будет "лежачей". Так как x и y поменялись местами, выразим не y = f(x), а x = g(y):

Шаг 1. Построим параболу x = y²:

Шаг 2. Сместим эту параболу на 2a+8 влево. Понятно, что в зависимости от a, функция будет смещаться на разное расстояние. Несколько примеров показаны на рисунке:

Получились графики итоговой функции, по которым можно судить о том, как будет меняться график при изменении a.


3) Корень

При первом просмотре данной функции, можно непонять, как эта функция связана с простым корнем. Однако же, зная вышеописанные методы переноса и отражения функции, нетрудно понять, как будет выглядеть её график, преобразуя обычный корень в три шага.


Шаг 1. Построим график корня:

Заметим, что классически, корень задаётся наоборот, y = √x. Однако же, если поменять координаты местами, то произойдёт простой переворот вашего графика (представьте, что при попытке нарисовать функцию по точкам, вы случайно спутали координаты и ось абсцисс подписали y, а ось ординат - x. Понятно, что в таком случае, вы нарисуете тот же график, только перевёрнутый (если быть точным - отраженный относительно прямой y = x)).


Шаг 2. Заменим y на -y. Как мы знаем, в таком случае произойдёт отражение графика относительно оси x:

Дальше, вместо y поставим y - 9, но так как перед y стоит минус, то под корнем получится выражение 9 - y. Мы знаем, что при вычитании из ординаты числа, график поднимается вверх на это число:

На этом шаге нужно быть осторожным. Ведь можно ошибочно подумать, что к y прибавляется 9. Однако же, 9 прибавляется к -y, а если минус вынести за скобку, то в скобке останется (y - 9), то есть из y девятка именно вычитается.

Наконец, на третьем шаге, вычтем из x число 4. Это сдвигает функцию на 4 вправо:

Тремя простыми шагами, основываясь на знание о виде элементарной функции (корня) и правилах переносов и отражений мы смогли построить график, на первый взгляд, сложной и непонятной функции.


4) Гипербола

Выразим y через x:

Как построить график данной функции?

Шаг 1. Построим график гиперболы y = 1/x:

Шаг 2. Умножим x на -1, функция отразится относительно оси y:

Шаг 3. Домножим правую часть на 9. Это все равно, что вместо x поставить x/9, то есть всё равно, что поделить x на 9. Как мы знаем, при таком делении график вытягивается вдоль оси x в 9 раз:

Может показаться, что график почти не поменялся, однако, обратите внимание на масштаб

Шаг 4. Наконец, прибавим 3 (если перенести тройку налево, то это будет то же самое, что вычесть тройку из y). В таком случае график переместится вверх на 3:

Получился график изначально заданной функции.


5) Окружность

На первый взгляд, неопытный ученик, может подумать, что данная функция не имеет ничего общего с окружностью. Однако, каждый раз, когда вы видите сложение x и y во вторых степенях, неважно, какие бы рядом не были страшные члены низшего порядка, вы можете интуитивно догадываться, что перед вами окружность. И пытаться привести уравнение к порядочному виду. Раскроем скобки:

Приведём подобные члены:

Соберём полные квадраты и занесём 0.1 = 1/10 под знак корня:

Выделим полные квадраты, и, наконец, получим:

Нетрудно понять, что это - функция окружности, которую перенесли влево на 6 и вверх на 2 (в соответствии с правилами переносов, обсуждаемых выше). Радиус этой окружности a/√10:

При увеличении a, окружность становится всё больше и больше. При уменьшении, наоборот, меньше, пока a не сравняется с нулём. Если a уменьшать дальше, то окружность не пропадёт, так как a в функции находится в квадрате, из-за чего при отрицательных a, график будет выстраиваться так, будто бы вместо a стоит |a|:

Общим для всех окружностей, заданный вышеприведенной функцией, является точка центра. Она не меняется независимо от a. Далее, понимая, как вид окружности зависит от коэффициента a, можно делать выводы о поведении данной функции относительно других функций.


Научившись производить все эти действия в уме, запомнив вид графиков элементарных функций и поняв как преобразуются графики при изменении x и y, вы с легкостью сможете решать параметры и они покажутся вам не такими трудными, как были ранее.


Если вы хотите более уверенно решать параметры, записывайтесь на обучение в онлайн-школу Чернушка! Школа от студентов МФТИ для подготовки к олимпиадам и экзаменам на высокие баллы.

Report content on this page

Report Page

Please submit your DMCA takedown request to dmca@telegram.org