Параллельные прямые в курсе основной школы - Педагогика курсовая работа

Главная

Педагогика
Параллельные прямые в курсе основной школы

Исследование истории развития теории о параллельных прямых, геометрии Евклида, Ламберта, Римана, Лежандра и Лобачевского. Анализ методики знакомства учащихся со свойствами углов равностороннего треугольника, геометрическими фигурами в основной школе.


посмотреть текст работы


скачать работу можно здесь


полная информация о работе


весь список подобных работ


Нужна помощь с учёбой? Наши эксперты готовы помочь!
Нажимая на кнопку, вы соглашаетесь с
политикой обработки персональных данных

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Глава 1. Параллельные прямые в курсе основной школы
1.2 Попытки доказательства V постулата Евклида
Глава 2. Методика преподавания темы «Параллельные прямые»
2.4 Признаки не параллельности прямых
2.5 Углы с взаимно параллельными сторонами, углы с взаимно перпендикулярными сторонами
Геометрия - это одна из древнейших наук. Исследовать различные пространственные формы издавна побуждало людей их практическая деятельность. Древнегреческий ученый Эвдем Родосский в IV веке до нашей эры писал: «Геометрия была открыта египтянами, и возникла при измерении земли. Это измерение было им необходимо вследствие разлития реки Нил, постоянно смывавшей границы. Нет ничего удивительного, что эта наука, как и другие, возникла из потребности человека».
Многие первоначальные геометрические сведения получили также шумеро-вавилонские, китайские и другие ученые древнейших времен. Устанавливались они сначала только опытным путем, без логических доказательств.
Как наука, геометрия впервые сформировалась в Древней Греции, когда геометрические закономерности и зависимости, найденные ранее опытным путем, были приведены в надлежащую систему и доказаны.
В III веке до нашей эры греческий ученый Евклид привел в систему известные ему геометрические сведения в большом сочинении «Начала». Эта книга более двух тысяч лет служила учебником геометрии во всем мире. Но кроме геометрии, которую изучают в школе (геометрия Евклида или употребительная геометрия), существует еще одна геометрия, геометрия Лобачевского.
Эта геометрия существенно отличается от евклидовой, например, в ней утверждается, что через данную точку можно провести бесконечно много прямых, параллельных данной прямой, что сумма углов треугольника меньше 180?. В геометрии Лобачевского не существует прямоугольников, подобных треугольников и т.д.
Неевклидова геометрия, появилась вследствие долгих попыток доказать V постулат Евклида - аксиому параллельных прямых. Эта геометрия во многом удивительна, необычна и соответствует нашим обычным представлениям о реальном мире. Но в логическом отношении данная геометрия не уступает геометрии Евклида.
Учащиеся, приступая к систематическому изучению курсу геометрии, уже владеют некоторым запасом геометрических знаний. Знания эти по преимуществу почерпнуты или непосредственно из опыта или восприняты ими интуитивно, путем сопоставления ряда аналогичных или уже знакомых им геометрических фактов.
надлежащим образом использовать накопленные учащимися знания для развертывания перед ними школьного логического курса геометрии, в котором логическое доказательство выдвигается на первое место, где интуиция играет роль разведки, а опыт отходит на задний план;
приучить учащихся находить новые геометрические факты;
подкреплять при рассмотрении отдельных вопросов теоретические выводы иллюстрацией их практической ценности и тем самым находить тесную связку теории с практикой;
использовать явления окружающей действительности, опыт и интуицию как стимул для постановки вопроса, отнюдь не заменяя логическое доказательство опытом;
приучать учащихся усматривать взаимозависимость между отдельными геометрическими фактами;
развивать у учащихся наблюдательность, строгость и последовательность в суждениях, любовь к исследованию;
научить учащихся пользоваться учебником, вести четкую конспективную запись, выполнять опрятно и точно чертежи и быть всегда готовым к ответу - вот ответственная и сложная задача преподавателя, начиная с первых же занятий по геометрии.
В своей работе преподаватель всегда должен помнить, что учащиеся должны научиться доказывать, но отнюдь не заучивать непонятное доказательство. Необходимо вести работу так, чтобы учащиеся умели четко отличать при разборе теоремы, то, что дано, и то, что требуется доказать. Всякое доказательство требует от учащихся сосредоточенности внимания и напряжения мысли, поэтому нельзя перегружать урок разбором и доказательством более чем двух-трех теорем.
Юнг в своей книге «Как преподавать геометрию» писал: «если геометрию изучать так, чтобы учащийся сам делал открытия, то он почувствует ее жизнь».
Актуальность данной темы заключается в том, что при изучении темы «Параллельные прямые» не обращаются к теории вопроса, что является главным для изучения всей геометрии. У ребят возникает больший интерес к предмету и изучению тем, если они знают немного из истории, они стремятся к познанию все новых и новых сведений, они развиваются всесторонне.
Объект: обучения геометрическим фигурам (параллельным прямым) в основной школе.
Предмет: изучение и формирование понятия параллельные прямые.
Цель: изучение истории, теории вопроса и методики изучения понятия параллельные прямые.
1. Изучение литературы по истории вопроса.
3 Изучение различных подходов (систем) к понятию.
4 Изучение методической литературы по формированию понятия параллельные прямые.
5 Применение теоретических знаний в практике.
Библиографический -- изучение литературы.
Эмпирический -- изучение литературы, изучение и обобщение педагогического опыта.
Глава 1. Параллельные прямые в курсе основной школы
Геометрия, как и другие науки, возникла из потребностей практики. Само слово «геометрия» греческое, в переводе означает «землемерие».
Люди очень рано столкнулись с необходимостью измерять земельные участки. Это требовало определенного запаса геометрических и арифметических знаний. Постепенно люди начали измерять и изучать свойства более сложных геометрических фигур.
Геометрия стала наукой только после того, как в ней начали систематически применять логические доказательства, начали выводить геометрические предложения не только путем непосредственных измерений, но и путем умозаключений, путем вывода одного положения из другого, и устанавливать их в общем виде. Обычно этот переворот в геометрии связывают с именем ученого и философа VI века до нашей эры Пифагора Самосского.
Однако все новые проблемы и созданные в связи с ними теории привели к тому, что совершенствовались сами способы математических доказательств, возрастала потребность создания стройной логической системы в геометрии.
Не позднее IV века до нашей эры греческие математики при построении геометрии выбирали некоторые предложения, которые принимались без доказательства, а все остальные предложения выводили из них строго логически. Предложения, принятые без доказательства, назывались аксиомами и постулатами.
Наиболее совершенным образцом такой теории на протяжении более 2 тысяч лет служили «Начала» Евклида, написанные около 300 года до нашей эры.
О жизни Евклида (около 365 г. до нашей эры -- 300 г. до нашей эры) почти ничего не известно. До нас дошли только отдельные легенды о нем. Первый комментатор «Начал» Прокл (V век нашей эры) не мог указать, где и когда родился и умер Евклид. По Проклу, «этот ученый муж» жил в эпоху царствования Птолемея I. Некоторые биографические данные сохранились на страницах арабской рукописи XII века: «Евклид, сын Наукрата, известный под именем «Геометра», ученый старого времени, по своему происхождению грек, по местожительству сириец, родом из Тира».
Одна из легенд рассказывает, что царь Птолемей решил изучить геометрию. Но оказалось, что сделать это не так-то просто. Тогда он призвал Евклида и попросил указать ему легкий путь к математике. «К геометрии нет царской дороги», -- ответил ему ученый. Так в виде легенды дошло до нас это, ставшее крылатым, выражение.
Царь Птолемей I, чтобы возвеличить свое государство, привлекал в страну ученых и поэтов, создав для них храм муз -- Мусейон. Здесь были залы для занятий, ботанический и зоологический сады, астрономический кабинет, астрономическая башня, комнаты для уединенной работы и главное -- великолепная библиотека. В числе приглашенных ученых оказался и Евклид, который основал в Александрии -- столице Египта -- математическую школу и написал для ее учеников свой фундаментальный труд.
Именно в Александрии Евклид основывает математическую школу и пишет большой труд по геометрии, объединенных под общим названием «Начала» -- главный труд своей жизни. Полагают, что он был написан около 325 года до нашей эры.
Предшественники Евклида -- Фалес, Пифагор, Аристотель и другие много сделали для развития геометрии. Но все это были отдельные фрагменты, а не единая логическая схема.
Как современников, так и последователей Евклида привлекала систематичность и логичность изложенных сведений. «Начала» состоят из 13 книг, построенных по единой логической схеме.
Каждая из книг начинается определением понятий (точка, линия, плоскость, фигура и т. д.), которые в ней используются, а затем на основе небольшого числа основных положений принимаемых без доказательства, строится вся система геометрии.
Первые четыре книги "Начал" посвящены геометрии на плоскости, и в них изучаются основные свойства прямолинейных фигур и окружностей. Книге I предпосланы определения понятий, используемых в дальнейшем. Они носят интуитивный характер, поскольку определены в терминах физической реальности: "Точка есть то, что не имеет частей". "Линия же - длина без ширины". "Прямая линия есть та, которая равно расположена по отношению точкам на ней". "Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину" и т.д.
В качестве постулатов Евклид выбрал такие предложения, в которых утверждалось то, что можно проверить простейшими построениями с помощью циркуля и линейки. Евклид принял также некоторые общие предложения-аксиомы. На основе таких постулатов и аксиом Евклид строго и систематично развил всю планиметрию.
Учение о параллельных и знаменитый пятый постулат («Если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы меньшие двух прямых, то продолженные неограниченно эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых») определяют свойства Евклидова пространства и его геометрию, отличную от неевклидовых геометрий.
За определениями следуют пять постулатов: "Допустим:
1) что от всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию;
2) и что ограниченную прямую можно непрерывно продолжить по прямой;
3) и что из всякого центра и всяким раствором может быть описан круг;
4) и что все прямые углы равны между собой;
5) и если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньше двух прямых, то продолженные неограниченно эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых."
Три первых постулата обеспечивают существование прямой и окружности. Пятый, так называемый постулат о параллельных - самый знаменитый. Он всегда интриговал математиков, которые пытались вывести его из четырех предыдущих или вообще отбросить, до тех пор, когда в XIX в. обнаружилось, что можно построить другие, неевклидовы геометрии и что пятый постулат имеет право на существование.
Иногда IV и V постулаты относят к числу аксиом. Поэтому пятый постулат иногда называют XI аксиомой. По какому принципу одни утверждения относятся к постулатам, а другие к аксиомам, неизвестно.
Никто не сомневался в истинности постулатов Евклида, что касается и V постулата. Между тем уже с древности именно постулат о параллельных привлек к себе особое внимание ряда геометров, считавших неестественным помещение его среди постулатов. Вероятно, это было связано с относительно меньшей очевидностью и наглядностью V постулата: в неявном виде он предполагает достижимость любых, как угодно далеких частей плоскости, выражая свойство, которое обнаруживается только при бесконечном продолжении прямых.
Возможно, что уже сам Евклид пытался доказать постулат о параллельных. В пользу этого говорит то обстоятельство, что первые 28 предложений «Начал» не опираются на V постулат. Евклид как бы старался отодвинуть применение этого постулата до тех пор, пока использование его не станет настоятельно необходимым.
Затем Евклид сформулировал аксиомы, которые в противоположность постулатам, справедливым только для геометрии, применимы вообще ко всем наукам.
I. Равные порознь третьему равны между собой.
II. И если к ним прибавим равные, то получим равные.
III. И если от равных отнимем равные, то получим равные.
IV. И если к неравным прибавим равные, то получим неравные.
V. И если удвоим равные, то получим равные.
VI. И половины равных равны между собой.
IX. И две прямые не могут заключать пространства.
Книги I--IV охватывали геометрию, их содержание восходило к трудам пифагорейской школы. В книге V разрабатывалось учение о пропорциях, которое примыкало к Евдоксу Книдскому. В книгах VII--IX содержалось учение о числах, представляющее разработки пифагорейских первоисточников. В книгах X--XII содержатся определения площадей в плоскости и пространстве (стереометрия), теория иррациональности (особенно в X книге); в XIII книге помещены исследования правильных тел, восходящие к Теэтету.
«Начала» Евклида представляют собой изложение той геометрии, которая известна и поныне под названием Евклидовой геометрии.
Обычно о «Началах» говорят, что после Библии это самый популярный написанный памятник древности. Книга имеет свою, весьма примечательную историю. До двадцатого века книга считалась основным учебником по геометрии не только для школ, но и для университетов.
«Начала» пользовались исключительной популярностью, и с них было снято множество копий трудолюбивыми писцами в разных городах и странах. Позднее «Начала» с папируса перешли на пергамент, а затем на бумагу. На протяжении четырех столетий «Начала» публиковались 2500 раз: в среднем выходило ежегодно 6-7 изданий . С 1482г. "Начала" Евклида выдержали более 500 изд. на всех языках мира «Начала» Евклида были основательно изучены арабами, а позднее европейскими учеными. Первые подлинники были напечатаны в 1533 году в Базеле. Любопытно, что первый перевод на английский язык, относящийся к 1570 году, был сделан Генри Биллингвеем, лондонским купцом.
Можно смело утверждать, что Евклид заложил основы не только геометрии, но и всей античной математики.
Лишь в девятнадцатом веке исследования основ геометрии поднялись на новую, более высокую ступень. Удалось выяснить, что Евклид перечислил далеко не все аксиомы, которые на самом деле нужны для построения геометрии. В действительности при доказательствах ученый ими пользовался, но не сформулировал.
Тем не менее, все выше сказанное нисколько не умаляет роли Евклида, первого показавшего, как можно и как нужно строить математическую теорию. Он создал дедуктивный метод, прочно вошедший в математику. А значит, все последующие математики в известной степени являются учениками Евклида.
1.2 Попытки доказательства V постулата Евклида
параллельный геометрия учащийся треугольник
Первые 28 предложений «Начал» не опираются на V постулат, возможно Евклид старался отодвинуть применение этого постулата до тех пор, пока использование его не станет настоятельно необходимым.
Попытки доказать пятый постулат продолжались с тех пор в течение 2000 лет. Их предпринимало множество ученых. Вот неполный перечень:
греки Птолемей (2 в. н. э., тот самый Птолемей, "которого система") и Прокл (5 в.),
перс (или таджик) Омар Хайям (11 в. - начало 12 в., тот самый Хайям, который известен как великий поэт),
немец Клавий-Шлюссель (1514; здесь и дальше дата работы),
итальянцы Катальди (1603), Борелли (1658) и Витале (1680),
французы Бертран (1778) и Лежандр (1794, 1823),
Все их попытки сводились к тому, что пятый постулат выводился из какого-нибудь другого положения. При этом многие не замечали этого, считая, что доказательство им удалось. Другие, более проникновенные и критичные, явно формулировали то положение, из которого выводили пятый постулат, как это сделал, например, Омар Хайям.
Одни математики старались доказать постулат о параллельных, применяя только другие постулаты и те теоремы, которые можно вывести из последних, не используя сам V постулат. Все такие попытки оказались неудачными. Их общий недостаток в том, что в доказательстве неявно применялось какое-нибудь предположение, равносильное доказываемому постулату.
Другие предлагали по-новому определить параллельные прямые или же заменить V постулат каким-либо, по их мнению, более очевидным предложением. Так, например, в XI веке Омар Хайям ввел вместо V постулата «принцип», согласно которому две лежащие в одной плоскости сходящиеся прямые пересекаются и не могут расходиться в направлении схождения. С помощью этого принципа Хайям доказывает, что в четырехугольнике ABCD, в котором углы при основании А и В - прямые и стороны АС, ВD равны, углы С и D так же прямые, а из этого предложения о существовании прямоугольника выводится V постулат. Рассуждения Хайяма получили оригинальное развитие в XIII веке у Насирэдинна ат-Туси, работы которого в свою очередь стимулировали исследования Д. Валлиса. В 1663 году Валлис доказал постулат о параллельных, исходя из явного допущения, что для каждой фигуры существует подобная ей фигура произвольной величины. Это допущение он считал вытекающим из существа пространственных отношений.
С логической точки зрения результаты Хайяма или Валлиса лишь выявляли равносильность V постулата и некоторых других предложений геометрии. Так, Хайям, по существу, установил эквивалентность постулата и предложения о сумме углов треугольника, а Валлис показал, что не только из V постулата можно вывести учение о подобии, но и обратно - их евклидова учения о подобии следует V постулат.
Критика евклидовского обоснования геометрии, продолжалась на протяжении нескольких веков и ставшая особенно острой в 19 столетии, привела к попыткам нового дедуктивного построения геометрии, отвечающего современным требованиям науки.
Одним из ученых, предвосхитивших неевклидову геометрию, был итальянский монах Джироламо Саккери (1667 - 1733), преподававший грамматику в иезуитской коллегии в Милане. Здесь под влиянием Джованни Чевы (Джованни Чева (1648 - 1734) - итальянский инженер-гидравлик и экономист) Саккери заинтересовался математикой и стал серьезно заниматься ею. Впоследствии он преподавал математику в университете города Павши. На последнем году своей жизни Саккери опубликовал (на латинском языке) книгу под заглавием «Евклид, очищенный от всех пятен». В ней он поставил задачу исправить все недостатки («пятна») «Начал» Евклида, в первую очередь доказать V постулат. Саккери решительнее и дальше своих предшественников сделал попытку доказать этот постулат от противного.
Рассматривая четырехугольник (рис. 1), носящий его имя, Саккери стремиться доказать, что гипотезы тупого и острого углов приводит к логическим противоречиям и что остается лишь гипотеза прямого угла, из которого вытекает V постулат.
1. Он легко опровергает гипотезу тупого угла, он доказывает, что:
геометрическое место точек плоскости, равноотстоящих от данной прямой по одну сторону, не является прямой или окружностью, а другой линией (которую Лобачевский впоследствии назвал эквидистантой, то есть «равноотстоящей»);
2. две прямые, содержащиеся в одной плоскости (рис. 2), либо пересекаются в одной точке (такие прямые Лобачевский назвал «сходящимися»), либо не пересекаются, имея общий перпендикуляр, по обе стороны от которого они друг от друга удаляются («расходящиеся прямые» в терминологии Лобачевского), либо не пересекаются, удаляясь друг от друга в одном направлении и асимптотически приближаясь к другому (параллельные Лобачевского)
Если бы Саккери пользовался лишь логическими выводами, строгой дедукцией, то никакого противоречия он в указанных выше предложениях он не нашел бы. Однако, будучи предупрежден о невозможности того, что для евклидова постулата не имелось доказательства, Саккери для опровержения гипотезы острого угла прибег к утверждению чисто интуитивного характера: существование асимптотических прямых якобы «противоречит природе прямой линии». Заслуга Саккери состоит, разумеется, не в конечном его установлении промежуточных предложений, выведенных им на основе гипотезы острого угла, которые спустя 100 лет легли в основу новой неевклидовой геометрии Лобачевского.
Идеи Ламберта, развитые им в сочинении «теория параллельных линий» (1766г.), близко примыкают к соображениям Саккери.
Он рассматривает четырехугольник с тремя прямыми углами. Относительно четвертого угла так же возникают три гипотезы: этот угол прямой, тупой или острый. Доказав эквивалентность пятого постулата гипотезе прямого угла и сведя к противоречию гипотезу тупого угла, Ламберт, подобно Саккери, вынужден заниматься гипотезой острого угла. Она приводит Ламберта к сложной геометрической системе, в которой ему не удалось встретить логического противоречия. Ламберт нигде в своем сочинении не утверждает, что V постулат им доказан, и приходит к твердому заключению, что и все другие попытки в этом направлении не привели к цели.
«Доказательства евклидова постулата, - пишет Ламберт, - могут быть доведены столь далеко, что остается, по-видимому, ничтожная мелочь. Но при тщательном анализе оказывается, что в этой кажущейся мелочи и заключается вся суть вопроса; обыкновенно она содержит либо доказываемое предложение, либо равносильный ему постулат».
Более того, развивая систему гипотезы острого угла, Ламберт обнаруживает аналогию этой системы со сферической геометрией и в этом усматривает возможность ее существования.
«Я склонен даже думать, что третья гипотеза справедлива на какой-нибудь мнимой сфере. Должна же быть причина, вследствие которой она на плоскости далеко не поддается опровержению, как это легко может быть сделано со второй гипотезой».
Французский математик и педагог А. М. Лежандр является автором замечательного школьного учебника "Начала геометрии", вышедшего в свет первым изданием в 1794 году и переиздававшегося при жизни автора 14 раз. Лежандр весьма существенно менял свою книгу от издания к изданию. При этом больше всего его заботила теория параллельных. Во всех прижизненных изданиях "Начал геометрии", кроме 9, 10 и 11-го, Лежандр доказывал V постулат, меняя, однако, доказательства от издания к изданию. Объяснялось это тем, что каждый раз после выхода очередного издания Лежандр обнаруживал ошибку в опубликованном доказательстве (точнее, не ошибку, а неявное использование утверждения, эквивалентного V постулату). Безупречного доказательства V постулата Лежандр так и не получил (и, как будет ясно из сказанного ниже, не мог получить). Однако его исследования очень поучительны и, что самое главное, вскрывают глубокие связи между V постулатом и другими предложениями. Особенно важны три замечательные теоремы Лежандра о связи V постулата с теоремами о сумме углов треугольника. Рассмотрим их подробнее. Доказательства этих теорем проводятся без использования V постулата (или аксиомы о параллельных).
Теорема 1. Во всяком треугольнике сумма внутренних углов не превосходит 180°.
Доказательство. Предположим, что наша теорема неверна, т. е. что существует треугольник ABA 1 , сумма углов которого больше 180°. Продолжим сторону AA 1 этого треугольника и построим на прямой AA 1 ряд треугольников A 1 B 1 A 2 , A 2 B 2 A 3 , ..., A n - 1 B n-1 A n , A n B n A n+1 , равных треугольнику ABA 1 ; точки B и B 1 , B 1 и B 2 , ..., B n-1 и B n соединим отрезками (см. рис.); заметьте, мы не утверждаем, что отрезки BB 1 , B 1 B 2 , ..., B n-1 B n составляют прямую линию, - доказать это, не опираясь на V постулат, невозможно).
Так на рисунке L1+L2+L3>180 0, а L1+L2'+L3=180 0 , то L2'ВВ 1 (заметим, что теорема о двух треугольниках, имеющих по две равные стороны, во всех учебниках геометрии доказывается до аксиомы параллельности, следовательно не зависит от V постулата).
Но, очевидно, не только Д АВА 1 =ДА 1 А 1 В 1 А 2 =…=ДА n В n А n +1 , но и ДВА1В1=ДВ1А2В 2 =…= ДВ n -1 A n B n . Поэтому, если положить АА1-ВВ 1 =а, то получим АА n -(ВВ1+В1В2+…+В n -1 B n )= na. Выбрав теперь число n настолько большим, что na>2АВ, мы найдем, что (АВ+ВВ 1 +В 1 В 2 +…+ В n -1 B n +B n A n )-АA n =АВ+ B n A n - na<0, т.е. что отрезок АА n больше ломаной АВВ 1 … B n A n , соединяющей его концы. Но последнее невозможно (причем невозможность эта устанавливается без обращения к аксиоме параллельности). Полученное противоречие и доказывает теорему.
Теорема 2. Если у какого-либо одного треугольника сумма углов равна 180°, то она равна 180° и у любого треугольника.
Доказательство. Установим прежде всего, что если сумма углов прямоугольного треугольника ABC равна 180°, то сумма углов прямоугольного треугольника ABC1, катет BC1 которого равен 2BC (см.рис.), также равна 180°.
Для доказательства построим на стороне АС треугольника АСВ', равный АСВ (причем LАСВ=LВ'СА, LВСА=LСАВ'); в таком случае все углы четырехугольника АВСВ' будут прямыми( так как сумма острых углов треугольника АВС по предположению равна 90 0 ). Продолжив теперь отрезок АВ' на расстояние В'C'=АВ' и соединив С' с С 1 , получим четырехугольник В'СС 1 С', равный АВС 1 С' с четырьмя прямыми углами; диагональ АС 1 разбивает его на два прямоугольных треугольника, сумма углов каждого из которых равна 180 0 .
Далее покажем, что если в одном прямоугольном треугольнике АВС сумма углов равна 180 0 , то сумма углов и любого другого прямоугольного треугольника А 1 В 1 С 1 равна 180 0 . мы можем считать, что оба катета треугольника АВС больше соответствующих катетов треугольника А 1 В 1 С 1 ; если бы это было не так, то мы добились бы нужного нам положения вещей, последовательно удвоив несколько раз катеты треугольника АВС (ведь по доказанному выше, при удвоении одного из катетов прямоугольного треугольника с сумой углов 180 0 сумма его углов не меняется). Наложим теперь треугольник А 1 В 1 С 1 на треугольник АВС так, чтобы у них совпали прямые углы (см. рис.), и проведем отрезок АС 1 .
По теореме 1, сумма углов каждого из треугольников ABC 1 и AC 1 C не больше 180°; если хотя бы у одного из них сумма углов была бы меньше 180°, то и сумма углов прямоугольного треугольника ABC (получающаяся, если из суммы всех углов треугольников ABC 1 и ACC 1 вычесть 180°) была бы меньше 180°, что противоречит сделанному предположению. Поэтому сумма углов треугольника ABC 1 также равна 180°. Отсюда, в точности так же как выше, заключаем, что в каждом из треугольников A 1 BC 1 и A 1 AC 1 сумма углов равна 180°.
Теперь уже нетрудно доказать теорему 2. Пусть сумма углов некоторого треугольника ABC равна 180°. Опустив на его большую сторону высоту BD, разобьем его на два прямоугольных треугольника ABD и CBD (см. рис. а).
Сумма углов каждого из треугольников ABD, CBD также равна 180° (т. к. если бы сумма острых углов хотя бы одного из треугольников ABD и CBD была меньше 90°, то сумма углов треугольника ABC также была бы меньше 180°). По доказанному выше, отсюда следует, что сумма острых углов любого прямоугольного треугольника равна 90°. Но каждый треугольник A 1 B 1 C 1 можно разбить на два прямоугольных треугольника высотой, опущенной на большую сторону (см. рис.б). Так как сумма острых углов каждого из этих треугольников (A 1 B 1 D 1 и B 1 C 1 D 1 на рис. б) равна 90°, то сумма углов треугольника A 1 B 1 C 1 равна 180°, что и завершает доказательство теоремы.
Теорема 3. Если сумма углов любого треугольника равна 180°, то справедлив V постулат.
Пусть A - точка, лежащая вне прямой DD' (см. рис.) . Опустим из точки A перпендикуляр AC на прямую DD' и проведем через точку A прямую BB', перпендикулярную к AC. Ясно, что прямые BB' и DD' не пересекаются (иначе образовался бы треугольник с суммой углов, большей 180°).
Надо доказать, что любая другая прямая MN, проходящая через точку А, пересекается с прямой DD'. Из двух лучей АM, АN выберем тот, который с отрезком АС составляет острый угол; пусть это будет луч АN и пусть (рис. в низу на с.22) точка В и N лежат по одну сторону от прямой АС (в противном случае можно было бы поменять обозначения точек В и В'. Угол ВАN обозначим через а.
Отложим на луче СD отрезок СР 1 =СА (рис. 2). Тогда в равнобедренном прямоугольном треугольнике АСР 1 каждый из углов LА, LР 1 =45 0 =1/2*90 0 (ведь, по предположению, сумма углов треугольника равна 180 0 ). Отложим теперь на прямой СD отрезок Р 1 Р 2 = Р 1 А. тогда в равнобедренном треугольнике АР 1 Р 2 каждый из углов LР 1 АР 2 , LР 2 , как легко подсчитать, равен 1/2*45 0 =1/4*90 0 . Затем построим точку Р 3 прямой СD (так, чтобы АР 2 = Р 2 Р 3 ) и т.д. В результате получим лучи АР 1 ,АР 2 , АР 3 …, каждый из которых пересекает прямую СD. При этом LВАР 1 =1/2*90 0 , LВАР 2 =1/4*90 0 , LВАР 3 =1/8*90 0 , …Ясно, что после конечного числа шагов получим такой луч АР n (пересекающий прямую DD'), для которого LВАР n =1/2 n *90 0 <а. этим и завершается доказательство теоремы.
Как известно из V постулата (или аксиомы параллельности) вытекает, что сумма углов любого треугольника равна 180 0.
Таким образом, теорема 3 показывает, что утверждение «сумма углов треугольника равна 180 0 эквивалентно V постулату (эта эквивалентность имеет место только при выполнении остальных аксиом геометрии Евклида).
В заключение приведем одно из доказательств V постулата, помещенных Лежандром в его книге "Начала геометрии". Для доказательства V постулата нужно лишь установить, что сумма углов треугольника не может быть меньше 180°: ведь тогда из теоремы 1 будет вытекать, что сумма углов треугольника в точности равна 180°, а потому, согласно теореме 3, будет справедлив V постулат. Доказательство проводится "от противного": пусть существует треугольник ABC, сумма углов которого меньше 180°, скажем, равна 180°- б (см. рис.).
Построим на стороне BC вне треугольника ABC треугольник BCD, равный ABC, и проведем через точку D прямую, пересекающую стороны AB и AC угла BAC в точках M и N. В таком случае сумма углов треугольника BCD также равна 180°- б, а у треугольников BDM и CDN суммы углов не превосходят 180° (теорема 1).
Поэтому сумма 12 углов четырех треугольников: ABC, BCD, BDM и CDN не превосходит 720°-2б. Но суммы трех углов при точках B, C и D равны 180°; поэтому сумма оставшихся трех углов при вершинах A, M и N не превосходит (720°-2б) - 540° = 180°- 2б. Таким образом, мы построили треугольник AMN, сумма угол которого не прево
Параллельные прямые в курсе основной школы курсовая работа. Педагогика.
Реферат: Понятие и особенности социально-психологического тренинга
Реферат: Внешнее дыхание и функции легких. Скачать бесплатно и без регистрации
Курсовая работа: Разработка тестов и дидактических материалов по предмету "Чрезвычайные ситуации природного характера". Скачать бесплатно и без регистрации
Список Литературы Для Курсовой Работы
Дипломная работа по теме Теоретические основы психологии убеждения
Практическое задание по теме Исследование факторов внутренней и внешней среды предприятия на примере ООО 'Техстрой'
Реферат: Части речи в китайском языке
Дипломная работа по теме Планирование на предприятиях туризма на примере ООО Элегант
Русский Язык 9 Класс Сочинение 15.3
Контрольная работа по теме Социальное поведение
Реферат: Gender Roles In Fool For Love Essay
Курсовая работа по теме Характеристика технологічного процесу виробництва молока
Сочинение На Тему Про Школу 6 Класс
Курсовая работа по теме Организация учета поступления основных средств
Человек Существо Политическое Эссе
Дипломная работа: Обратная сила закона. Теория и практика применения на примере преступлений против собственности. Скачать бесплатно и без регистрации
Любовь Уважение Знание Лихачев Сочинение
Контрольная работа по теме Образование Директории и ее программные положения
Отцы И Дети Темы Сочинений 2022
Реферат: Политические учения 2
Управление маркетингом на предприятиях по операциям с недвижимым имуществом - Маркетинг, реклама и торговля курсовая работа
То землиця рідна - История и исторические личности реферат
Міжнародна інформація. Міжнародні інформаційні відносини - Международные отношения и мировая экономика дипломная работа