Параллельная проекция и ее свойства
Параллельная проекция и ее свойстваЭнциклопедия по машиностроению XXL
=== Скачать файл ===
В стереометрии изучаются пространственные фигуры, однако на чертеже они изображаются в виде плоских фигур. Каким же образом следует изображать пространственную фигуру на плоскости? Обычно в геометрии для этого используется параллельное проектирование. Пусть p - некоторая плоскость, l - пересекающая ее прямая рис. Через произвольную точку A , не принадлежащую прямой l , проведем прямую, параллельную прямой l. Точка пересечения этой прямой с плоскостью p называется параллельной проекцией точки A на плоскость p в направлении прямой l. Если точка A принадлежит прямой l , то параллельной проекцией A на плоскость p считается точка пересечения прямой l с плоскостью p. Это соответствие называется параллельным проектированием на плоскость p в направлении прямой l. Пусть Ф - некоторая фигура в пространстве. Примеры параллельных проекций дают, например, тени предметов под воздействием пучка параллельных солнечных лучей. Рассмотрим свойства параллельного проектирования. Если прямая параллельна или совпадает с прямой l , то ее проекцией в направлении этой прямой является точка. Если прямая не параллельна и не совпадает с прямой l , то ее проекцией является прямая. Ясно, что если прямая k параллельна или совпадает с прямой l , то ее проекцией в направлении этой прямой на плоскость p будет точка пересечения прямой l и плоскости p. Пусть k не параллельна и не совпадает с прямой l рис. Возьмем какую-нибудь точку A на прямой k и проведем через нее прямую a , параллельную l. Через прямые a и k проведем плоскость a. Проекция отрезка при параллельном проектировании есть точка или отрезок, в зависимости от того лежит он на прямой, параллельной или совпадающей с прямой l , или нет. Параллельное проектирование сохраняет отношение длин отрезков, лежащих на прямой, не параллельной и не совпадающей с прямой l. В частности, при параллельном проектировании середина отрезка переходит в середину соответствующего отрезка. Ясно, что если отрезок лежит на прямой, параллельной или совпадающей с прямой l , то его проекцией будет точка. Тогда из теоремы Фалеса планиметрии следует равенство отношений AB: Если две параллельные прямые не параллельны прямой l , то их проекции в направлении l могут быть или параллельными прямыми или одной прямой. Пусть k 1 , k 2 - параллельные прямые, не параллельные прямой l. Если плоскости a 1 и a 2 совпадают, то проекции прямых k 1 и k 2 также совпадают. В силу свойства параллельных плоскостей, линии пересечения этих плоскостей с плоскостью p параллельны. При изображении пространственных фигур на плоскости особенно важно уметь правильно изображать плоские фигуры, поскольку они входят в поверхность основных пространственных фигур. Например, плоские многоугольники являются гранями многогранников, круги - основаниями цилиндров и конусов. Из свойств параллельного проектирования следует, что параллельной проекцией многоугольника является или многоугольник с тем же числом сторон или отрезок. Причем, если в многоугольнике какие-нибудь две стороны параллельны, то их проекции также будут параллельны. Однако, поскольку при параллельном проектировании длины отрезков и углы, вообще говоря, не сохраняются, то проекцией равностороннего треугольника может быть треугольник с разной длиной сторон, проекцией прямоугольного треугольника может быть не прямоугольный треугольник. Аналогично, хотя проекцией параллелограмма является параллелограмм, проекцией прямоугольника может не быть прямоугольник, проекцией ромба не обязательно является ромб, проекцией правильного многоугольника может быть неправильный многоугольник. Простейшим многоугольником является треугольник. Параллельной проекцией треугольника, как следует из свойств параллельного проектирования, является треугольник или отрезок. При этом, если плоскость треугольника параллельна плоскости проектирования, то, как мы выяснили, его проекцией будет треугольник, равный исходному. Докажем, что в общем случае треугольник любой формы может служить параллельной проекцией равностороннего треугольника. Действительно, пусть дан произвольный треугольник ABC в плоскости p рис. Построим на одной из его сторон. Обозначим через l прямую, проходящую через точки B 1 и B. Тогда ясно, что треугольник ABC является параллельной проекцией треугольника AB 1 C на плоскость p в направлении прямой l. Рассмотрим теперь параллельную проекцию правильного шестиугольника ABCDEF с центром в точке O рис. Выберем какой-нибудь треугольник, например, AOB. Выясним, какая фигура является параллельной проекцией окружности. Если прямая l параллельна плоскости окружности или лежит в ней, то проекцией окружности является отрезок, равный диаметру окружности. Рассмотрим случай, когда прямая l пересекает плоскость окружности рис. C 1 D 1 будет равно k. Таким образом, проекция окружности получается сжатием или растяжением окружности в направлении какого-нибудь ее диаметра в одно и то же число раз. Такая фигура на плоскости называется эллипсом. Например, на рисунке 10 изображен эллипс, полученный из окружности сжатием в направлении диаметра CD в два раза. Приведем примеры изображений пространственных фигур на плоскости. Изображение параллелепипеда строится, исходя из того, что все его грани параллелограммы и, следовательно, изображаются параллелограммами рис. При изображении куба плоскость изображений обычно выбирается параллельной одной из его граней. В этом случае две грани куба, параллельные плоскости изображений передняя и задняя , изображаются равными квадратами. Остальные грани куба изображаются параллелограммами рис. Аналогичным образом изображается прямоугольный параллелепипед рис. Для того чтобы построить изображение призмы, достаточно построить многоугольник, изображающий ее основание. Затем из вершин многоугольника провести прямые, параллельные некоторой фиксированной прямой, и отложить на них равные отрезки. Соединяя концы этих отрезков, получим многоугольник, являющийся изображением второго основания призмы рис. Для того чтобы построить изображение пирамиды, достаточно построить многоугольник, изображающий ее основание. Затем выбрать какую-нибудь точку, которая будет изображать вершину пирамиды, и соединить ее с вершинами многоугольника рис. Полученные отрезки будут изображать боковые ребра пирамиды. Для изображения цилиндра достаточно изобразить его основания в виде двух эллипсов, получающихся друг из друга параллельным переносом, и нарисовать две образующие, соединяющие соответствующие точки этих оснований рис. Для изображения конуса достаточно изобразить его основание в виде эллипса, отметить вершину и провести через нее две образующие, являющиеся касательными к этому эллипсу рис. Обратим внимание на тот факт, что плоское изображение, подчиняясь определенным законам, способно передать впечатление о трехмерном предмете. Однако при этом могут возникать иллюзии. В живописи существует целое направление, которое называется импоссибилизм impossibility - невозможность - изображение невозможных фигур, парадоксов. Известный голландский художник М. Эшер — в гравюрах 'Бельведер' рис. Современный шведский архитектор О. Рутерсвард посвятил невозможным объектам серию своих художественных работ. Некоторые из них представлены на рисунке Моделирование на уроках геометрии. Проекционный чертеж и построения на нем. Чертежи пространственных фигур в курсе геометрии.
Ноглики южно сахалинск расписание поездов
Ступа буддийская сколько нужно раз обойти
Расположение аэропорта платов на карте
Книга движения учащихсяв школе образец заполнения
Скачать карту суровая россия торрент
Что нужно чтобы разменять квартиру
Характеристика операционной стороны психической деятельности примеры