Парадокс дней рождения

Пусть в классе n человек. Давайте посчитаем вероятность того, что ни у кого из них дни рождения не совпадают. Если потом отнять из единицы эту величину, то получится как раз вероятность совпадения дней рождения хотя бы у двух людей. 

Сколько всего бывает расположений дней рождения в году у n человек таких, что ни у каких двух дни рождения не совпадают? Несложно понять, что это 

А сколько всего вариантов расположения дней рождения в году у n человек? 

То есть искомая вероятность равна 

Осталось вычесть это выражение из единицы. Итак, в итоге получим 

Чтобы ответить на интересующий нас вопрос, мы должны понять, при каком n это выражение первые становится больше 1/2. Как это делать? Можно посчитать на калькуляторе. Точный ответ на поставленный вопрос n=23. 

Почему же это утверждение называется парадоксом? Ведь ничего необычного, мы честно посчитали вероятность, никакого логического противоречия нет. "Парадокс" в данном случае заключается в несоответствии интуитивной оценки и реального числа. В теории вероятности интуиция, вообще, нередко подводит. Примеры этого вы сможете найти в следующих статьях!