Парадокс дней рождения

Представьте, что вы и еще 22 человека находитесь в одной комнате. Какова вероятность, что хотя бы у двух человек из комнаты дни рождения приходятся на один и тот же день?

Интуиция подсказывает, что вероятность небольшая – но, увы, наша интуиция часто ошибается. Поэтому, чтобы не гадать, давайте по-честному посчитаем эту вероятность)

Упростим себе задачу: посчитаем вероятность того, что у всех людей из группы разные дни рождения, а после вычтем её из единички. Вероятность того, что у двух людей разные дни рождения равна 1 - 1/365, где 1/365 - это вероятность того, что у двух людей день рождения будет совпадать (считаем без учета високосных лет).

Теперь найдём вероятность того, что у всех n людей дни рождения различаются: для первого человека нам подходят все 365 дней, для второго только 364, для третьего 363 и т. д. Перемножаем эти события как независимые и получаем формулу:

P = (365/365) * (364/365) * (363/365) * ... * ((365 - n + 1)/365)

Посчитаем при n = 23. Калькулятор говорит, что результат будет ~0.4927…

Наконец, чтобы найти вероятность того, что хотя бы у двух из 23-х людей будут совпадающие дни рождения, вычтем результат из единички. Получим вероятность большую, чем 50% – получается, интуиция нас обманула, и вероятность не такая уж маленькая. Кстати, вероятность совпадения дней рождения в группе из 50 человек составляет целых 97% (!) 🙂