Парадокс Паррондо
Возможно выиграть, играя в две заведомо проигрышные игры.
Парадокс Паррондо — парадокс в теории игр, который обычно характеризуют как комбинацию проигрышных стратегий, которая выигрывает.
Игры Паррондо были разработаны испанским физиком Хуаном М. Р. Паррондо в 1996 году и были представлены в неопубликованном виде на семинаре в Турине, Италия.
Из математики мы знаем, что отрицание отрицательного числа даёт положительное. В шахматной игре можно пожертвовать фигурами, чтобы выиграть партию. Но можно ли настроить две проигрышные стратегии так, чтобы получился выигрышный сценарий? Ответ - ДА.
Итак, представим себе серию игр, где используем 3 колеса рулетки с общим количеством позиций 114.
Игра А работает так: это азартная игра, в которой шансы на победу немного ниже, чем шансы на проигрыш.
Например, в американской рулетке 38 ячеек - 18 красных, 18 чёрных и 2 зелёных нуля.
Если мы можем делать ставки только на красное или чёрное, шансы на победу составляют 18/38, т.е. 47,36%. Вероятность проигрыша - 53,6%. Преимущество казино составляет около 5%. Из-за этого, каждый раз, ставя 1 доллар, мы теряем в среднем около 5 центов.
1$ ×.05=0.05$
Если начинаем со 100$ и продолжаем играть, то будем полностью разорены примерно после 2000 вращений. В конечном счёте, играя в эту игру, мы гарантированно проигрываем.
Игра В состоит из двух азартных игр. Мы по-прежнему ставим 1$. Но колесо, на котором мы играем, зависит от того, сколько денег у нас осталось.
Пусть есть два колеса - В1 и В2. Если общая сумма наших денег кратна М = 3, то играем на колесе В1 (если денег у нас 99, 81, 66 и т.д). В противном случае используем колесо В2.
На В1 разрешено делать только "угловые ставки" - выбирать пересечение четырех чисел.
Таким образом мы выиграем 1$, если шарик приземлился на любое из этих четырёх полей. К примеру, мы делаем угловую ставку на 25, 26, 28, 29. Это означает, что наши шансы на выигрыш составляют всего 4 из 38 (~10%). Таким образом, играя в колесо В1, мы проигрываем в 90% случаев.
Игра на В2 намного выгоднее. Мы можем выбрать комбинацию выигрышных клеток - красное или чёрное, чëтное или нечётное. Если мы выберем красное и чëтное, то будем выигрывать каждый раз, когда мяч приземлится на красное или на чëтное поле, даже если это будет чёрная чётная клетка. Две зелёные зоны также являются выигрышными. Коэффициент колеса В2 позволяет значительно изменить игру в нашу пользу: 18 красных, 9 чёрных чётных +2 зелёных дают 29 шансов на победу из 38, а это ~76%.
Хорошая новость заключается в том, что, поскольку количество чисел, кратных 3 меньше, мы будем играть на В2 чаще, чем на почти невозможном В1.
Но значит ли это, что в большинстве случаев в игре В, мы будем выигрывать? Нет.
Вот в чём дело: В1 - это проигрыш в 90% случаев. А так как, играя в игру В2, мы будем проигрывать примерно один раз из четырёх, в целом мы также гарантированно проигрываем.
Игра В, на самом деле, представляет собой цепь Маркова - случайный процесс, который берёт ситуацию, подобную нашей, - разные состояния с различной вероятностью, и генерирует убытки из-за непропорционального вклада В1.
Анализ этой цепи показывает, что вероятность сыграть в плохую игру В1 близка к 40%. И преимущество, которое даёт нам хорошая игра В2, недостаточно, чтобы скомпенсировать влияние ужасной В1.
Однако, возможны и иные сценарии.
В статье 2000 года под названием "Парадоксальные игры Паррондо и дискретный броуновский храповик", Дерек Эббот, Паррондо и другие описали процесс, известный как "мигающий броуновский храповик", в качестве иллюстраци того, как работает парадокс.
Направленное движение достигается чередованием плоского и пилообразного потенциала.
Игру А мы можем представить как плоский процесс, потому что шансы на победу близки к 50/50, с небольшим уклоном в сторону проигрыша. Игру В же представляем в качестве пилообразного процесса, потому что шансы выиграть в В2 намного выше, чем в В1.
Немного упростим правила и допустим, что играя в игру А мы теряем 1$ с каждой ставки. А в игре В пусть действуют два исхода: если сумма денег, которая у нас остаётся, является чётным числом, например, 82$, мы выигрываем 3$. Если нечётным, скажем 71$, мы теряем 5$.
И игра А, и игра В сами по себе явно проигрышные. Но если мы скомбинируем их вместе, то может получиться выигрышная стратегия!
Допустим, мы играем в игру А, и у нас остаётся 99$. Это нечётное число. Чтобы не терять 5$, ещё раз сыграем в игру А и потеряем ещё 1$. Теперь, когда у нас 98$, мы переключаемся на игру В1, выигрываем 3$ и внезапно наш баланс вырастает до 101$. Проиграем в игру А ещё раз, чтобы иметь 100$ и, выигрывая в В1, имеем уже 103$. Повторяем цикл до достижения бесконечного богатства! И это несмотря на то, что мы играем в 2 игры, которые по отдельности нас гарантированно разорят.
Парадоксальная ситуация состоит в том, что мы можем поочерёдно играть в 2 проигрышные партии случайным образом и все равно получать прибыль.