Парадокс Банаха-Тарского
Речь пойдёт о теореме, доказанной в 1926 г. польскими математиками Стефаном Банахом и Альфредом Тарским. Парадоксом эту теорему называют из-за её вопиющей антиинтуитивности.
Теорема Банаха-Тарского утверждает, что шар равносоставлен двум своим копиям, т.е. допускает разбиение на конечное число множеств, передвижением которых (перенос и поворот) можно образовать два шара того же радиуса. Иными словами, яблоко можно разделить на несколько (неизмеримых) кусочков, из которых можно сложить два точно таких же яблока (но применительно к реальным яблокам это не точно)!
Конечно, эти части устроены невероятно сложным образом, неизмеримы и несвязны, но они существуют, если только мы принимаем аксиому выбора.
Аксиома выбора, или аксиома Цермело, — один из основополагающих принципов теории множеств, утверждающий, что из всякого семейства непустых множеств можно выбрать по одному элементу и составить из них новое множество.
Для понимания идеи доказательства теоремы Банаха-Тарского нужно сперва вспомнить идеи парадокса Гранд-отеля и словаря Иэна Стюарта.
Парадокс Гранд-отеля — это мысленный эксперимент, впервые сформулированный Д.Гильбертом в 1924 г., иллюстрирующий свойства бесконечных множеств. В этом отеле бесконечно счётное множество комнат, пронумерованных натуральными числами; в каждой комнате находится постоялец. В нём нет свободных мест, но это не является препятствием для подселения в него нового посетителя. Для того, чтобы его поселить, нужно освободить одну комнату. Для этого гостя из комнаты № 1 переселим в комнату № 2, из комнаты № 2 — в комнату № 3, …, из комнаты № n — в комнату № n + 1, и т.д. А нового гостя поселим в комнату № 1.
Британский математик И.Стюарт предложил интересную идею словаря, названного им Hyperwebster. В этом словаре первым словом было А, вторым АА, третьим ААА, после бесконечного букв А шло АВ, потом АВА, АВАА, и т.д. снова бесконечное количество слов, потом АС, ... Потом в какой-то момент начиналось В, ВА, ВАА, и т.д.
Этот словарь содержит бесконечное количество слов. Позволим себе выразиться более эмоционально: он содержит «бесконечно бесконечное» количество слов! Попробуем немного упростить задачу: разобьём словарь на 26 томов, каждый из которых будет отвечать за первую букву:
1 – А, 2 – В, …, 26 – Z.
Но тогда бессмысленно тратить чернила на первую букву — все и так понимают, что это за буква; её можно стереть и написать на обложке. Но что мы получили? В каждом из томов все те слова, которые первоначально были во всём словаре! И теперь их у нас целых 26 копий!
Перейдём к парадоксу Банаха-Тарского. Выберем какую-нибудь точку на поверхности шара (т.е. на сфере). Будем рассматривать перемещения этой точки по сфере на определённое расстояние, равное, например, радиусу сферы, в четырёх направлениях — вверх (U), вниз (D), влево (L) и вправо (R). Для каждой точки на сфере, в которую можно попасть при помощи таких операций будем записывать буквенный ряд. Например, слово UURD означает, что мы передвинулись из нашей начальной точки на 2 вверх, на 1 вправо и на 1 вниз. В этой точке будем хранить только последнюю операцию, т.е. D.
Проделаем так много-много раз из выбранной начальной точки. (Движения вида UD и RL мы совершать не будем, поскольку они бессмысленны.) В результате мы получим какой-то счётный набор точек на сфере, каждой из которых соответствует какая-то буква из набора U, D, R и L, а также одна начальная точка.
Но на сфере несчётное число точек. Если мы в какую-то точку не попали, то выберем её в качестве начальной точки и повторим всё то же самое. В результате каждой точке сферы мы присвоим одну из четырёх букв нашего набора (покрасим в один из четырёх цветов), за исключением начальных точек (S) и полюсов (P).
Полюса — это точки сферы, через которые проходит ось вращения, совершаемого при перемещении по сфере. Например, при движении из начальной точки, расположенной на экваторе глобуса, вправо или влево полюсами будут северный и южный полюсы. Проблема с полюсами состоит в том, что к ним могут привести более одной комбинации и потому они могут иметь более одного имени. Поэтому, как и начальным точкам, мы им присвоили особое имя (цвет).
Теперь, когда каждой точке сферы дано по одному из шести имён, мы готовы разъединить всю сферу на составляющие.
Рассмотрим все точки, обозначенные буквой L. Эта часть сферы определена как состоящая из тех точек, которые объединены последовательностью, заканчивающейся поворотом налево:
Если мы повернём эту сферу вправо, то это будет равносильно прибавлению вращения вправо R к каждой последовательности — перед каждой первой буквой L в записанном слове мы должны приписать букву R. Однако вращение влево-вправо — это отступ в изначальную позицию, и соответственно они гасят друг друга. Посмотрим на последовательность, которая получится в результате такого взаимоисключения:
Получается примерно, как со словарём: набор последовательностей стал таким же, как и набор всех точек, которые заканчиваются на L, на U и на D — приблизительно можно сказать, что мы превратили менее четверти сферы в почти три четвёртых, просто вращая её! Если сюда добавить начальную точку и правосторонние полюса, то у нас снова будет полная сфера, причём с остатком.
Для изготовления второй сферы нужно произвести вращение вниз точек нашей сферы, отмеченными буквой U. При этом аналогичным образом множество таких точек биективно перейдёт в множество, отмеченное буквами U, L и R. Правда, нам не нужен ещё один набор начальных точек, отмеченных U, но эта проблема может быть решена путём замены их на набор начальных точек S. Ещё остаются небольшие нюансы, связанные с заполнением бесконечно счётного числа дыр в местах, где находились оси вращения, но они также могут быть решены техническим образом — с помощью идеи расселения постояльцев в Гранд-отеле: через каждую такую точку можно провести окружность, лежащую на сфере; нужно выбрать шаг, несоизмеримый с длиной этой окружности, а потом, двигаясь по этой окружности в выбранном направлении на указанный шаг, забирать оттуда точку и вставлять её в образовавшуюся дыру.
Таким образом, теорема Банаха-Тарского объясняет, как точки одного шара можно отобразить в множество, состоящее из двух точно таких же шаров. Парадоксальность этого результата состоит в том, что, разделяя шар на конечное число частей, мы интуитивно ожидаем, что при сложении этих частей вместе, можно получить только сплошные фигуры, суммарный объём которых равен объёму исходного шара. Однако это справедливо только в случае, когда шар делится на части, имеющие объём. Говоря об объёме, мы всегда подразумеваем свойство аддитивности (целое можно разбить на части и склеить заново) и эквивалентности (объёмы двух конгруэнтных фигур, т.е. получающихся в результате параллельного переноса, вращения или отражения, равны). Но в трёхмерном пространстве существуют неизмеримые множества, т.е. множества, не имеющие объёма.
На плоскости (для круга) аналогичная теорема неверна. Более того, Банах показал, что на плоскости понятие площади может быть продолжено на все ограниченные множества как конечно-аддитивная мера, инвариантная относительно движений; в частности, любое множество, равносоставленное кругу, имеет ту же площадь.
Более подробное объяснение этого парадокса можно найти, например, на канале VsauseDOT.