Папирус Ахмеса

Вот и подошел черед предпоследней статьи, посвященной математике в Древнем Египте. Сегодня подробно рассмотрим самый объемный и, пожалуй, самый значимый документ древнеегипетской цивилизации, связанный с математикой: папирус Ахмеса, он же папирус Ринда (Райнда).

История этого документа начинается в 1858 году с того, что  шотландский коллекционер Генри Райнд приобрел древнеегипетский папирус, подписанный именем "Ахмес". Это свиток папируса шириной 33 см и общей длиной всех фрагментов более 5 метров. Название его звучало ни много ни мало: «Точные методы счисления для решения задач и знание всех вещей, всех тайн, всех секретов». Папирус был написан в  16-17 веке до н.э., при этом он является переписанной копией более раннего документа. 

Вот цитата из оглавления: «Эта книга была скопирована в 33-й год царствования, 4-й месяц Ахета , под властью царя Верхнего и Нижнего Египта, Авсерра, получившая жизнь с древней копии, сделанной во времена царя Верхнего и Нижнего Египта Нимаатре. Писец Яхмос(Ахмес) пишет эту копию».

Из этой же цитаты мы можем сделать вывод, что сам Ахмес не являлся автором задач и решений, а просто выполнил канцелярскую функцию по копированию документа, но благодаря папирусу свое место в истории Ахмес занял.

Папирус сейчас состоит из нескольких фрагментов, правда распался он не из-за времени, а из-за особенностей археологии 18-19 веков, которой занимались в те времена вовсе не ученые, а банальные расхитители гробниц. На данный момент даже неизвестно, где именно папирус был найден. В результате фрагменты этого ценнейшего документа оказались разбросаны по миру: основная часть хранится в Британском музее, несколько фрагментов находятся в Бруклинском музее Нью-Йорка. И самая большая утрата – это фрагмент длиной 18 см из центральной части папируса, который, к большому сожалению, считается утерянным. Хотя у исследователей есть небольшая надежда, что фрагмент цел и хранится в частной коллекции.

Чем же ценен папирус? Перед нами полноценный задачник: этот древний документ представляет собой справочные таблицы, предназначенные для помощи в вычислениях и решении более 80 математических задач, встававших перед египтянами в повседневной жизни.

Ученые, занимавшиеся расшифровкой и исследованием разделили документ на три основные части:

Первая часть: Арифметика и алгебра. Состоит из справочных таблиц, здесь же собраны 21 арифметическая и 20 алгебраических задач.

Задачи идут по номерам с номера 1 и до номера 40. Важно, что некоторые задачи имеют литерную букву, так как исследователи не смогли определить их как отдельные задачи, например, из-за очень похожих условий (У всех перед глазами возник учебник по математике с пунктами а, б,..?). И в этом же разделе есть задача 7Б, которая попала в общее количество, но никак не отражена в номерной части.

В задачах 1–6 происходит деление определенного количества буханок хлеба на 10 человек, результат записывается в долях единиц.

В задачах 7–20 показано, как умножать выражения 1 + 1/2 + 1/4 = 7/4 и 1 + 2/3 + 1/3 = 2 на разные дроби.

Задачи 21–23 в современных обозначениях представляют собой довольно простые задачи на вычитание.

Задачи 24–34: линейные уравнения.

Задача 32, например, соответствует (в современных обозначениях) решению уравнения x + x/3 + x/4 = 2 относительно x.

Задачи 35–38 связаны с разделением объема.

В задачах 39 и 40 вычисляется результат деления хлеба, используются арифметические прогрессии.

И для примера давайте обратимся к переводу задачи №6:

Нужно разделить 9 хлебов поровну на 10 человек. Дается решение: 9/10=2/3+1/5+1/30. То есть, нужно разделить 7 хлебов на 3 части, и дать каждому по две. Затем разделить оставшиеся 2 хлеба на пять частей каждый и дать каждому по одной. И последним действием нужно разделить оставшуюся треть на 10 частей и дать каждому по одной.

Вторая часть папируса: Геометрия. В этой части содержатся задачи под номерами 41–59, 59B и 60, состоит эта часть из геометрических задач.

Задачи 41–46 показывают, как найти объем цилиндрических зернохранилищ или хранилищ в форме прямоугольных параллелепипедов.

Вот, например, задача №44:

«Пример вычисления объёма квадратного хлебного амбара. Его длина 10, ширина 10 и высота 10. Сколько вместится зерна? Умножьте 10 на 10. Это 100. Умножьте 100 на 10. Это 1000. Возьмите половину от 1000, то есть 500. Это 1500. Вы получили количество в мешках. Умножьте 1/20 на 1500. Вы получите 75. Переведите это количество зерна в хекаты (то есть умножьте на 100) и вы получите ответ — 7500 хекат зерна».

В задачах 48–55 показаны примеры вычисления площадей.

Задача 48 примечательна тем, что в ней кратко вычисляется площадь круга с помощью числа 3.16 – напомню, что древнеегипетское приближение числа π.

В других задачах вычисляются площади многоугольников, углы наклона пирамид: то есть, задачи носят чисто прикладной характер.

Третья часть: Разное. Третья часть папируса Райнда состоит из оставшихся задач, а именно с 61-й по 84, а еще трех задач, которые не являются математическими по своей природе. Этот последний раздел содержит более сложные методы решений, несколько задач, которые содержат элементарные алгебраические преобразование, касающиеся приготовления пищи и расчета количества еды для домашних животных, и даже забавную задачу (79), которая предполагает знание геометрических прогрессий. В задаче 79 дано условие:

«Семь домов, 49 кошек, 343 мыши, 2401 колосьев спельты(сорт пшеницы), 16807 хекатов (мера веса)». И дается решение, которое гласит, что в семи домах содержится по семь кошек, все они едят по семь мышей, каждая из которых съела бы семь колосьев, каждый из которых произвел бы семь мер зерна. 

В папирусе есть целый ряд свидетельств того, что математика в Древнем Египте переросла исключительно практическую стадию, приобретя теоретический характер. Египетские математики умели вычислять корень и возводить в степень, были знакомы с арифметической и геометрической прогрессией. Множество задач, сводящихся к решению уравнений (в том числе квадратных) с одним неизвестным, связаны употреблением специального иероглифа «куча» (аналога латинского x, традиционно употребляемого в современной алгебре) для обозначения неизвестного, что указывает на оформление зачатков алгебры.