Отрезок на диагонали прямоугольника

Отрезок на диагонали прямоугольника


Последняя задача из Историй VK была одной из самых простых.

Из двух вершин прямоугольника были опущены перпендикуляры на диагональ. Требовалось найти часть диагонали AB:

Решение

Из прямоугольного треугольника △KMN KN=13 по теореме Пифагора.

Обозначим KB=AN=x и AB=y:

Тогда KN=13=2x+y (1)

Из п/у △KAM: AM²=KM²-AK²=144-(x+y)² (2.1) (т. Пифагора)

Из п/у △MAN: AM²=MN²-AN²=25-x² (2.2) (т. Пифагора)


Приравниваем (2.1) и (2.2) и получаем систему из двух уравнений:

Раскроем скобки в (2): 144-x²-2xy-y²=25-x² ⇔ y²+2xy=119

Выразим из (1) 2x=13-y и подставим в (2): y²+(13-y)y=119 ⇔ 13y=119 ⇔ y=119/13

Таким образом, AB=y=119/13

Ответ: 119/13


Подписывайтесь на наш паблик vk и канал в Telegram, чтобы не пропустить следующие задачи!