Остаточный Член В Форме Лагранжа
🛑 👉🏻👉🏻👉🏻 ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻
Остаточный Член В Форме Лагранжа
Заглавная
Все страницы
Сообщество
Интерактивные карты
Блоги участников
!/doc
!!/doc
Col-2/doc
Col-begin/doc
Col-end/doc
White/doc
Инфобокс/doc
Заглавная
Все страницы
Сообщество
Интерактивные карты
Блоги участников
!/doc
!!/doc
Col-2/doc
Col-begin/doc
Col-end/doc
White/doc
Инфобокс/doc
Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано или Лагранжа.
Править код
История
Обсуждение (0)
Категории :
ГКЭ по математике
Добавить категорию
Материалы сообщества доступны в соответствии с условиями лицензии CC-BY-SA , если не указано иное.
Наши ресурсы
Fandom
Cortex RPG
Muthead
Futhead
Fanatical
В социальных сетях
Обзор
Что такое Фэндом?
О нас
Вакансии
В прессе
Обратная связь
Условия использования
Конфиденциальность
Общая карта сайта
Локальная карта сайта
Сообщество
Вики Сообщества
Поддержка
Справка
Запретить продажу данных
Реклама на сайте
Медиа-кит
Fandomatic
Приложения Фэндома
Оставайтесь в курсе всего происходящего на ваших любимых сообществах.
Morfey13 вики — это сообщество Фэндома на портале Увлечения.
Пусть . Тогда в некоторой окрестности можно написать равенство
которое называется формулой Тейлора функции в точке ,
где называется многочленом Тейлора ,
а - остаточным членом Тейлора (после n-го члена).
то согласно определению сходимости ряда (1) сходится к функции в точке .
Пусть , непрерывна на отрезке , на интервале . Тогда справедлива формула (1), в которой
Доказательство: будем проводить по индукции, считая . При теорема утверждает, что при некотором
Это утверждение верно, так как оно совпадает с доказанной ранее формулой конечных приращений Лагранжа.
Предположим, что утверждение верно при и установим, что оно верно и при n. Использую теорему Коши о среднем и лемму, имеем (для определенности )
где ,а предпоследнее равенство написано в силу предположения индукции.
О.В Бесов Лекции по математическому анализу.Часть 1. стр.90.
Пусть и . Тогда справедлива формула (1), в которой при .
Доказательство: будем проводить по индукции:
При утверждение теоремы верно. В самом деле, в этом случае дифференцируема в точке . Следовательно,
Предположим, что утверждение теоремы верно при и покажем, что это верно и для n.
Использую теорему Лагранжа о конечных приращениях и лемму, имеем (считая для
По предположению индукции при . Следовательно,
О.В Бесов Лекции по математическому анализу.Часть 1. стр.89.
Главная страница » Остаточный член в форме Лагранжа, Коши и Пеано
переписать следующим образом₽»+1 ( ) = -(X-1[a+0(x-a)]. (6.45)) P1p Рассмотрим теперь два важных частных случая выражения(6.45): 1)p=p+1;2) p=1.(Напомним, что в формулах (6.34) и (6.45) любое положительное число может быть p.) первый из этих частных случаев (p=I+1) вызывает нас.( )=^<П+1)п+е( — «)] • (6 -4 6 > (Л+1)1,
производная функции/(/) является разницей между точкой a и x^=a+0 (x-a), а не точкой a. Второй из этих частных случаев (Р=1) приводит нас к ОС т а т о ч н о м у ч Лен у в Ф ОРМ Е К Ош и : %П+1( )=(х-у)»+u1_-0) » ^(р+1)+e_a)](6.47) / 11 Поскольку форма Лагранжа и коши соответствует разным значениям p, а 0 зависит от p, то значения формул(6.46) и (6.47) в общем случае различны. Для оценки некоторых функций форма Коши предпочтительнее Лагранжевой формы. Обе
формы оставшихся слов (Лагранж и Таким образом, 0-это p.It следует подчеркнуть, что это зависит от §8. Формула маклорина 249 Коши) обычно используется, когда для аппроксимации функции/(x) необходимо определенное фиксированное значение x, отличное от a. Естественно приблизительно заменить DX полиномом f (x, a) и оценить погрешность в этом случае численно. Наряду с этим существует проблема, когда указанный номер ошибки не
также означает, что^(x)=o (x—a), т. е. N=1 выражение (6.48) продолжается из (6.49). Здесь для завершения индукции предположим, что выражение некоторого числа n>6.49 (6.48) следует из (6.49), в таком случае выражение (6.48) следует из (6.49), а в следующем числе n+1 знак равенства (6.49) принимает вид KP+2 (a)=0, K K n’+2 (a)=0, K^2 (a) и A ^ 2 (a)=0…….. а)=0. Для числа (6.49′)n знак равенства формы (6.49)означает представление формы (6.48), а затем первый знак равенства считается отброшенным, поэтому ) (, 6.49 означает оставшийся знак равенства). *Для любого n>1LP+g (x) выполняются все условия применимости теоремы Лагранжа 6.4. К+2 (А)=О(а)=0………(a)=0 включает в себя производительность К+2 *)< = 0 • (6.50)
Лагранжа 6.4 и дали первое уравнение ( ) 6.Вы можете видеть, что есть точка между 49a и x 5 KP+2 (x)=K+2 (x)—K+2 («) =K+2 (x) (5) (x—a)•(6.51) сравните соотношения (6.50) и(6.51), и O [(B—p)]=o [(x—a) p] (потому что 5 заключено между a и x), и, наконец, K+g(x)=o [(x—a). Таким образом, индукция имеет место, и вывод представления остаточного члена в виде Пеано (6.48) завершен. В заключение полностью запишем формулу Тейлора с остаточными членами в виде (x)=/(a)+ — C^-(x-a)+… +■ ■ ?<->(—(х-а) п+о [(Х-а)п]. 1! п\ (6.52)
Образовательный сайт для студентов и школьников
Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.
Все авторские права на размещённые материалы сохраняются за правообладателями. Любое коммерческое и другое использование кроме предварительного ознакомления запрещено. Людмила Фирмаль не оказывает и не предлагает никаких услуг, сайт www.lfirmal.com носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой.
Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой
Выберите тип работы Часть диплома Дипломная работа Курсовая работа Контрольная работа Решение задач Реферат Научно - исследовательская работа Отчет по практике Ответы на билеты Тест/экзамен online Монография Эссе Доклад Компьютерный набор текста Компьютерный чертеж Рецензия Перевод Репетитор Бизнес-план Конспекты Проверка качества Экзамен на сайте Аспирантский реферат Магистерская работа Научная статья Научный труд Техническая редакция текста Чертеж от руки Диаграммы, таблицы Презентация к защите Тезисный план Речь к диплому Доработка заказа клиента Отзыв на диплом Публикация статьи в ВАК Публикация статьи в Scopus Дипломная работа MBA Повышение оригинальности Копирайтинг Другое
Формула Тейлора представляет собой один из основных инструментов математического анализа. Её смысл состоит в том, что функция представляется в виде , где – многочлен Тейлора, – остаточный член формулы Тейлора. В зависимости от вида она используется в различных целях: при вычислениях значений функций с заданной точностью, при исследовании асимптотического поведения функций и т.д.
Теорема 25.1 (формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа) Пусть , , …, непрерывны в окрестности точки и пусть в существует . Тогда для любого существует точка , лежащая между и такая, что
Примечание . В этом представлении функции величина называется остаточным членом в форме Лагранжа .
Можно выписать более общую форму Шлёмильха и Роша (Schlömilch–Roche) остаточного члена:
где – число, удовлетворяющее неравенствам , такое, что , а – любое число. Например, остаточный член в форме Лагранжа получится, если в этой общей форме (2). Иногда бывает удобен остаточный член в форме Коши , получаемый из (2) при :
Однако наиболее часто используется остаточный член в форме Лагранжа и мы докажем формулу Тейлора именно в таком виде.
◄Рассмотрим вспомогательную функцию
Поскольку эта функция получится вычитанием из многочлена от , а многочлен непрерывен и имеет непрерывные производные любого порядка, для функции сохраняются свойства функции , т.е. , , …, непрерывны в и существует в .
Пусть . Для определённости, пусть . Выберем число так, чтобы выполнялось равенство . Это возможно, поскольку при подстановке вместо в (3), это равенство примет вид линейного относительно уравнения с коэффициентом при , равным .
Теперь для применения следствия теоремы 23.2(Ролля) осталось только доказать, что выполняются равенства .
Для этого сначала вычислим -ю производную, , от функции в точке .
По формуле для производной степенной функции последовательно получаем:
, , … , , если . В точке эта величина обращается в 0.
Поможем написать работу на аналогичную тему
Вопрос 25: ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА С ОСТАТОЧНЫМ ЧЛЕНОМ В ФОРМЕ ЛАГРАНЖА
Вопрос 25: ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА С ОСТАТОЧНЫМ ЧЛЕНОМ В ФОРМЕ ЛАГРАНЖА
Вопрос 25: ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА С ОСТАТОЧНЫМ ЧЛЕНОМ В ФОРМЕ ЛАГРАНЖА
Если же , то дальнейшее дифференцирование даст тождественный ноль. (Степень многочлена равна , т.е. он имеет вид , -кратное дифференцирование при каждого слагаемого, входящего в этот многочлен, даёт тождественный ноль)
Итак, все производные порядка , , функции равны 0 в точке , а .
Равенство справедливо по выбору . Для любого имеем, согласно доказанному выше
Все условия следствия теоремы 23.2 (Ролля ) выполнены, поэтому существует точка , такая, что . Но , значит ,т.е.
Вспоминаем, что и подставляем вместо в формулу (3), учитывая (4): , что означает:
Случай, когда вполне аналогичен и приводит к такому же равенству (5). ◄
Замечание 1 . Часто вместо пишут , где и наоборот, каждому такому соответствует число между и .
Замечание 2 . Часто вместо точки пишут просто , а вместо пишут и формула Тейлора приобретает вид:
Замечание 3 . В случае, когда – независимая переменная, или линейная функция от независимой переменной, , и . Обозначим . При этом формула Тейлора записывается так:
Замечание 4 . Особенно часто формула Тейлора используется, когда . Тогда и
Эту формулу часто называют также формулой Маклорена (Mac-Laurin).
Дата добавления: 2015-04-24 ; Просмотров: 1063 ; Нарушение авторских прав? ;
Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет
Вы используете гостевой доступ ( Вход )
В начало
Курсы
Видеолекции
CS108V
Лекция 16. Формула Тейлора
Остаточный член в форме Лагранжа
Нажмите на ссылку http://youtu.be/vdUtho9PQTQ , чтобы открыть ресурс.
Перейти на...
Перейти на...
Вводная лекция. Часть 1
Вводная лекция. Часть 2
Предел последовательности. Часть 1
Предел последовательности. Часть 2
Предел последовательности. Часть 3
Предел последовательности. Часть 4
Предел последовательности. Часть 5
Предел последовательности. Часть 6
Подпоследовательности. Часть 1
Критерий Коши
Предел функции. Часть 1
Предел функции. Часть 2
Свойства пределов. Часть 1
Свойства пределов. Часть 2
Свойства пределов. Часть 3
Монотонные функции
Следствия
Первый замечательный предел
Второй замечательный предел
Бесконечно малые и бесконечно большие функции
Критерий Коши
Определение непрерывности
Точки разрыва функции
Свойства функций, непрерывных в точке
Теорема Вейерштрасса
Первая теорема о промежуточном значении
Вторая теорема о промежуточном значении
Следствие
Равномерная непрерывность
Сравнение функций
Определение производной
Односторонние производные. Дифференцируемость функции
Правила дифференцирования
Дифференцирование неявной функции
Дифференциал. Производная обратной функции. Производная сложной функции
Производные высших порядков
Теорема Ферма
Теорема Ролля
Теорема Лагранжа
Теорема Коши
Правило Лопиталя
Применение правила Лопиталя
Формула Тейлора для многочленов
Формула Тейлора для произвольной функции
Остаточный член в форме Пеано
Следствие
Вычисление предела (по определению)
Вычисление пределов
Вычисление пределов (эквивалентности)
Примеры разложения функций в ряд Тейлора (1)
Примеры разложения функций в ряд Тейлора (2)
Пределы. Ряд Тейлора (1)
Пределы. Ряд Тейлора (2)
Пределы. Ряд Тейлора (3)
Пределы. Ряд Тейлора (4)
Вы используете гостевой доступ ( Вход )
Остаточный член в форме Лагранжа. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
Лекция 2. Предел последовательности
Лекция 3. Предел последовательности
Лекция 4. Предел последовательности
Лекция 5. Предел последовательности
Лекция 9. Предел функции. Непрерывные функции
Лекция 11. Равномерно непрерывные функции. Определ...
Лекция 12. Дифференцируемость. Вычисление производных
Лекция 13. Дифференциал. Производная обратной и не...
Лекция 14. Основные теоремы дифференциального исчи...
Лекция 18. Разложение функций по формуле Тейлора
Лекция 19. Приложения формулы Тейлора
Прикладная математика и информатика
Разработка мобильных приложений и компьютерных игр
Прикладная математика и информатика
Разработка мобильных приложений и компьютерных игр
Государственная итоговая аттестация
Насаживая на хуй сверху долбит в пизду Kenzie Reeves
Даг Порно Ру
Жену Развели На Еблю