Остаточный Член Лагранжа
🛑 👉🏻👉🏻👉🏻 ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻
Остаточный Член Лагранжа
Loading [MathJax]/fonts/HTML-CSS/TeX/png/imagedata.js
T 2 k + 1 ( x ) = x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − x 7 7 ! + … + ( − 1 ) k x 2 k + 1 ( 2 k + 1 ) ! .
T 2 k + 1 ( x ) = x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − x 7 7 ! + … + + ( − 1 ) k x 2 k + 1 ( 2 k + 1 ) ! .
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import qqmbr.odebook as ob
# see https://github.com/ischurov/qqmbr/blob/master/qqmbr/odebook.py
def f(x):
return np.sin(x)
def T(x, k):
return sum((-1) ** i * x ** (2 * i + 1) /
np.math.factorial(2 * i + 1) for i in range(0, k + 1))
x = np.linspace(-5, 5, 211)
plt.figure(figsize=(6, 5))
plt.plot(x, f(x), label='$y=f(x)$', lw=2)
plt.plot(x, T(x, 0), label='$y=T_1(x)$', lw=1)
plt.plot(x, T(x, 1), label='$y=T_3(x)$', lw=1)
plt.plot(x, T(x, 2), label='$y=T_5(x)$', lw=1)
plt.plot(x, T(x, 3), label='$y=T_7(x)$', lw=1)
plt.plot(x, T(x, 4), label='$y=T_9(x)$', lw=1)
plt.legend(loc=4)
ob.center_spines(grid=False, minor_ticks=False)
ob.settle_axes(xmin=-5.3, xmax=5.3, ymin=-2.5, ymax=2.5,
xlabel="x", ylabel="y")
plt.xticks([-np.pi / 2, np.pi / 2], [r'$-\pi / 2$', r'$\pi / 2$'])
plt.yticks([])
Рис. 22.1 : Приближение sin x тейлоровскими многочленами
import numpy as np
def T(x, k):
return sum((-1) ** i * x ** (2 * i + 1) /
np.math.factorial(2 * i + 1) for i in range(0, k + 1))
print("n\tT_n(pi/2)")
for k in range(0, 5):
print(f"{2 * k + 1}\t{T(np.pi / 2, k):0.7f}")
T n ( x ) = ( x − 1 ) − ( x − 1 ) 2 2 + ( x − 1 ) 3 3 − ( x − 1 ) 4 4 + … + ( − 1 ) n ( x − 1 ) n n .
T n ( x ) = ( x − 1 ) − ( x − 1 ) 2 2 + + ( x − 1 ) 3 3 − ( x − 1 ) 4 4 + + … + ( − 1 ) n ( x − 1 ) n n .
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import qqmbr.odebook as ob
# see https://github.com/ischurov/qqmbr/blob/master/qqmbr/odebook.py
fig = plt.figure()
camera = Camera(fig)
def f(x):
return np.log(x)
def T(x, n):
return sum((-1) ** (i + 1) * (x - 1) ** i / i
for i in range(1, n + 1))
x = np.linspace(-1, 5, 511)
for k in range(1, 20):
log = plt.plot(x, f(x), label='$y=f(x)$', lw=2, color='C0')
t = plt.plot(x, T(x, k), label=f'$y=T_{{{k}}}(x)$', lw=1,
color='C1')
plt.legend(t, [f'$y=T_{{{k}}}(x)$'], loc=4)
ob.center_spines(grid=False, minor_ticks=False)
ob.settle_axes(xmin=-1, xmax=5.3, ymin=-4, ymax=3,
xlabel="x", ylabel="y")
plt.xticks([1, 2])
plt.yticks([0], [''])
camera.snap()
animation = camera.animate(interval=300)
Рис. 22.2 : Приближение ln x тейлоровскими многочленами
f ( x ) = { e − 1 / x 2 , x ≠ 0 0 , x = 0
f ′ ( 0 ) = lim Δ x → 0 e − 1 / Δ x 2 − 0 Δ x .
f ′ ( 0 ) = lim t → + ∞ e − t √ 1 / t = lim t → + ∞ √ t e t .
f ′′ ( 0 ) = lim Δ x → 0 f ′ ( Δ x ) − f ′ ( 0 ) Δ x . (22.1)
f ′ ( x ) = e − 1 / x 2 ( − 1 x 2 ) ′ = e − 1 / x 2 ( − x − 2 ) ′ = − e − 1 / x 2 ⋅ ( − 2 x − 3 ) .
f ′ ( x ) = e − 1 / x 2 ( − 1 x 2 ) ′ = = e − 1 / x 2 ( − x − 2 ) ′ = = − e − 1 / x 2 ⋅ ( − 2 x − 3 ) .
f ′′ ( 0 ) = lim Δ x → 0 2 Δ x − 3 e − 1 / Δ x 2 Δ x = lim Δ x → 0 2 Δ x − 4 e − 1 / Δ x 2 .
f ′′ ( 0 ) = lim Δ x → 0 2 Δ x − 3 e − 1 / Δ x 2 Δ x = = lim Δ x → 0 2 Δ x − 4 e − 1 / Δ x 2 .
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import qqmbr.odebook as ob
# see https://github.com/ischurov/qqmbr/blob/master/qqmbr/odebook.py
def f(x):
return np.exp(-1 / x**2)
x = np.linspace(-2, 2, 211)
plt.figure(figsize=(6, 5))
plt.plot(x, f(x), label='$y=f(x)$', lw=2)
ob.center_spines(grid=False, minor_ticks=False)
ob.settle_axes(xmin=-2, xmax=2, ymin=-0.1, ymax=1.1,
xlabel="x", ylabel="y")
plt.xticks([-1, 1])
plt.yticks([1])
Рис. 22.3 : Функция с нулевыми производными. Кажется, что вблизи нуля у неё
целый отрезок нулевых значений, но это иллюзия: f ( x ) ≠ 0 при
x ≠ 0 . Просто она стремится к нулю о-о-очень быстро.
f ( b ) = T n ( b ) + f ( n + 1 ) ( c ) ( n + 1 ) ! ( b − a ) n + 1 . (22.2)
f ( b ) = T n ( b ) + + f ( n + 1 ) ( c ) ( n + 1 ) ! ( b − a ) n + 1 . (22.2)
Замечание 1. Если n = 0 , T n ( b ) = f ( a ) и формула (22.2) превращается
в формулу (17.3) из лекции 17 ,
то есть наша теорема — это обобщение теоремы Лагранжа о конечных
приращениях.
∣ ∣
∣ ∣ f ( n + 1 ) ( c ) ( n + 1 ) ! ( b − 0 ) n + 1 ∣ ∣
∣ ∣ ≤ | b | n + 1 ( n + 1 ) ! .
lim n → ∞ | b | n + 1 ( n + 1 ) ! → 0.
sin x = ∞ ∑ k = 0 ( − 1 ) k x 2 k + 1 ( 2 k + 1 ) ! .
R n ( x ) : = f ( x ) − T n ( x ) .
H ( x ) : = R n ( x ) − q ⋅ ( x − a ) n + 1 ,
R n ( b ) − q ( b − a ) n + 1 = 0 ,
q = R n ( b ) ( b − a ) n + 1 . (22.3)
H ( n + 1 ) ( x ) = f ( n + 1 ) ( x ) − T ( n + 1 ) n ( x ) − q ⋅ ( n + 1 ) ! = f ( n + 1 ) ( x ) − q ⋅ ( n + 1 ) ! .
H ( n + 1 ) ( x ) = f ( n + 1 ) ( x ) − T ( n + 1 ) n ( x ) − − q ⋅ ( n + 1 ) ! = f ( n + 1 ) ( x ) − q ⋅ ( n + 1 ) ! .
0 = H ( n + 1 ) ( c n + 1 ) = f ( n + 1 ) ( c n + 1 ) − q ⋅ ( n + 1 ) ! .
R n ( b ) ( b − a ) n + 1 ( n + 1 ) ! = f ( n + 1 ) ( c n + 1 )
R n ( b ) = f ( n + 1 ) ( c n + 1 ) ( n + 1 ) ! ( b − a ) n + 1 .
y = y 0 + v 0 ( x − a ) + A 2 ( x − a ) 2 . (22.4)
y = T 1 ( x ) = f ( a ) + f ′ ( a ) ( x − a )
f max ( b ) : = T 1 ( b ) + A max 2 ( b − a ) 2 ,
f min ( b ) : = T 1 ( b ) + A min 2 ( b − a ) 2 .
T 1 ( x ) + A min 2 ( b − a ) 2 ≤ f ( b ) ≤ T 1 ( x ) + A max 2 ( b − a ) 2 .
T 1 ( x ) + A min 2 ( b − a ) 2 ≤ f ( b ) ≤ ≤ T 1 ( x ) + A max 2 ( b − a ) 2 .
f ( b ) = T 1 ( b ) + A ∗ 2 ( b − a ) 2 .
f ( b ) = T 1 ( b ) + f ′′ ( c ) 2 ( b − a ) 2 ,
H ( x ) = f ( x ) − ( T n ( x ) + q ( x − a ) n )
← Предыдущая глава
Следующая глава →
Россия напала на Украину и ведёт войну. Её нужно остановить. Узнайте, как протестовать.
Чтобы найти первую производную в нуле, нам придётся воспользоваться
определением — просто так применить стандартные правила дифференцирования не
получится, т.к. функция по-разному опрделена в нуле и вне нуля.
Вторую производную тоже нужно находить по определению:
Дальше можно продолжать в том же духе. Каждый раз будет получаться 0.
(Докажите, что это действительно так!)
Итак, мы получаем, что все производные f в нуле равны нулю.
Это означает, что тейлоровский многочлен этой функции тождественно нулевой:
для всякого n , T n ( x ) = 0 для всех x .
Функция f при этом принимает ненулевые значения при всех x ≠ 0 . То есть
о стремлении T n ( x ) к f ( x ) при n → ∞ нет и речи.
Подведём промежуточный итог. Тейлоровские многочлены приближают функцию, по
которой они построены, вблизи точки x 0 , то есть когда x → x 0 . Но это не
означает, что для фиксированного значения x , T n ( x ) будет приближаться к
f ( x ) при больших значениях n . Хотя часто это верно. Когда именно? Об этом —
следующая теорема.
Этот результат очень важен для практики. Собственно, когда вы просите
компьютер посчитать значение синуса в какой-то точке, вместо синуса он
вычисляет значение соответствующего тейлоровского многочлена достаточно
большой степени.
Для начала, обозначим остаточный член (каким бы он ни был) через R n ( x ) :
Выберем теперь q таким образом, чтобы H ( b ) = 0 . В этом случае
Значит существует такая точка c 2 ∈ ( a , c 1 ) , что H ′′ ( c 2 ) = 0 .
Продолжая в том же духе, мы будем строить последовательность точек c k ,
удовлетворяющих условиям c k ∈ ( a , c k − 1 ) и H ( k ) ( c k ) = 0 .
Сколько шагов так можно сделать? Заметим, что условия теоремы Ролля будут
выполняться для всех производных функции H вплоть до H ( n ) . В
частности, мы явно потребовали, чтобы f ( n ) была непрерывна на
отрезке [ a , b ] , а значит и H ( n ) тоже будет непрерывной на этом
отрезке, и, следовательно, и на отрезке [ a , c n ] . Значит в нашем
алгоритме мы дойдём до k = n + 1 , то есть найдётся такая точка c n + 1 ∈ ( a , c n ) ⊂ ( a , b ) , что
Рассмотрим движение с постоянным ускорением. Пусть в момент времени x = a мы
находились в точке y 0 и в этот момент скорость движения составляла v 0 .
Пусть также на всём промежутке времени, который нас интересует, ускорение
равнялось A . Тогда закон движения задаётся следующим образом:
Слагаемое A 2 ( x − a ) 2 показывает, насколько сильно мы отклоняемся
от движения с постоянной скоростью v 0 к моменту времени x .
Рассмотрим теперь некоторый другой закон движения y = f ( x ) , уже не
обязательно происходящий с равномерным ускорением. Мы приближаем его
движением с постоянной скоростью:
Пусть ускорение непрерывно, то есть f ′′ непрерывно на всём отрезке [ a , b ] . В каких-то точках оно достигает своего максимума A max и минимума
A min , а также принимает все значения из отрезка [ A max , A min ] .
Если я стартую в точке f ( a ) с начальной скоростью f ′ ( a ) и всю дорогу буду
двигаться с максимально возможным ускорением A max , к моменту b я попаду
в точку
Аналогичным образом можно доказать эту формулу для любого n — только
вместо ускорения нужно будет брать ( n + 1 ) -ю производную f . Заметим, что наше
доказательство использует схожие идеи: функцию H можно записать в виде
Вы используете гостевой доступ ( Вход )
В начало
Курсы
Видеолекции
CS108V
Лекция 16. Формула Тейлора
Остаточный член в форме Лагранжа
Нажмите на ссылку http://youtu.be/vdUtho9PQTQ , чтобы открыть ресурс.
Перейти на...
Перейти на...
Вводная лекция. Часть 1
Вводная лекция. Часть 2
Предел последовательности. Часть 1
Предел последовательности. Часть 2
Предел последовательности. Часть 3
Предел последовательности. Часть 4
Предел последовательности. Часть 5
Предел последовательности. Часть 6
Подпоследовательности. Часть 1
Критерий Коши
Предел функции. Часть 1
Предел функции. Часть 2
Свойства пределов. Часть 1
Свойства пределов. Часть 2
Свойства пределов. Часть 3
Монотонные функции
Следствия
Первый замечательный предел
Второй замечательный предел
Бесконечно малые и бесконечно большие функции
Критерий Коши
Определение непрерывности
Точки разрыва функции
Свойства функций, непрерывных в точке
Теорема Вейерштрасса
Первая теорема о промежуточном значении
Вторая теорема о промежуточном значении
Следствие
Равномерная непрерывность
Сравнение функций
Определение производной
Односторонние производные. Дифференцируемость функции
Правила дифференцирования
Дифференцирование неявной функции
Дифференциал. Производная обратной функции. Производная сложной функции
Производные высших порядков
Теорема Ферма
Теорема Ролля
Теорема Лагранжа
Теорема Коши
Правило Лопиталя
Применение правила Лопиталя
Формула Тейлора для многочленов
Формула Тейлора для произвольной функции
Остаточный член в форме Пеано
Следствие
Вычисление предела (по определению)
Вычисление пределов
Вычисление пределов (эквивалентности)
Примеры разложения функций в ряд Тейлора (1)
Примеры разложения функций в ряд Тейлора (2)
Пределы. Ряд Тейлора (1)
Пределы. Ряд Тейлора (2)
Пределы. Ряд Тейлора (3)
Пределы. Ряд Тейлора (4)
Вы используете гостевой доступ ( Вход )
Остаточный член в форме Лагранжа. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
Лекция 2. Предел последовательности
Лекция 3. Предел последовательности
Лекция 4. Предел последовательности
Лекция 5. Предел последовательности
Лекция 9. Предел функции. Непрерывные функции
Лекция 11. Равномерно непрерывные функции. Определ...
Лекция 12. Дифференцируемость. Вычисление производных
Лекция 13. Дифференциал. Производная обратной и не...
Лекция 14. Основные теоремы дифференциального исчи...
Лекция 18. Разложение функций по формуле Тейлора
Лекция 19. Приложения формулы Тейлора
Прикладная математика и информатика
Разработка мобильных приложений и компьютерных игр
Прикладная математика и информатика
Разработка мобильных приложений и компьютерных игр
Государственная итоговая аттестация
©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
Формула Тэйлора выглядит следующим образом:
остаточный член . Для тех значений х, которых остаточный член мал, многочлен дает приближенное значение функции f(x).
Наша задача – оценить величину остаточного члена.
где Q – некоторая функция, подлежащая определению.
Рассмотрим вспомогательную функцию от t
Найдем производную и преобразуем ее:
Это – так называемая форма Лагранжа для остаточного члена.
Так как заключено между х и а, то его можно представить как
Определение. Степенной ряд – функциональный ряд вида
где - постоянные числа (коэффициенты ряда).
Область сходимости степенного ряда всегда является некоторый интервал, который, в частности, может вырождаться в точку.
Теорема Абеля. Если степенной ряд сходится (расходится) при некотором значении то он абсолютно сходится (расходится) при всяком значении х, для которого
Доказательство. Так как, по предположению, числовой ряд сходится то общий член при Это значит, что существует такое положительное число М, что все члены по абсолютной величине меньше М.
Рассмотрим ряд из абсолютных величин его членов:
Члены этого ряда меньше соответствующих членов ряда
При последний ряд представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем и, следовательно, сходится. Отсюда сходится и
Это значит, что ряды и сходятся абсолютно .
Нетрудно будет доказать и второй случай (когда ряд расходящийся).
Доказательство. Пусть в некоторой точке ряд расходится. Тогда он будет расходиться в любой точке, удовлетворяющей условию
Теорема Абеля позволяет судить о расположении точек сходимости и расходимости степенного ряда. Если - точка сходимости, то весь интервал заполнен точками абсолютной сходимости и наоборот.
Теорема (о строении области сходимости степенного ряда). Областью сходимости степенного ряда является интервал с центром в начале координат.
Определение. Интервал сходимости степенного ряда – интервал от –R до +R, что для всякой точки х, лежащей внутри, ряд сходится, и притом абсолютно, а для точек вне интервала – ряд расходится. Число R – радиус сходимости ряда.
Отметим, что у некоторых рядом интервал сходимости вырождается в точку (R=0), у других охватывает всю ось Ох
Теорема. Степенной ряд мажорируем на любом отрезке целиком лежащем внутри интервала сходимости.
Определение. Ряд называется мажорируемым , если каждый его член по абсолютной величине не больше соотвествующего члена некоторого сходящегося числового ряда с положительными членами.
Доказательство. По условию а потому ряд (с положительными членами) сходится. Но при члены ряда по абсолютной величине не больше соответствующих членов ряда
Следовательно, ряд мажорируем на отрезке
Следствие1. На всяком отрезке, целиком лежащем внутри интервала сходимости, сумма степенного ряда есть непрерывная функция.
Это связано с тем, что члены ряда – непрерывные функции от х. Тогда и сумма этого ряда есть непрерывная функция.
Следствие2. Если пределы интегрирования лежат внутри интервала сходимости, то интеграл от суммы ряда равен сумме интегралов от членов ряда. Так как область интегрирования можно заключить в отрезок
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2022 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.003 сек.
Для него справедлива следующая оценка:
Пусть функция y = f(x) задана таблицей.
В задаче обратного интерполирования заключается в том, чтобы по заданному значению функции y определить соответствующее значение аргумента x . Мы будем считать, что в рассматриваемом интервале функция f(x) монотонна, так что поставленная задача имеет единственное решение. В этом случае задача решается с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа. Для этого достаточно принять переменную y за независимую, а x считать функцией от y . Запишем по заданным узлам (y i , x i ) (i = 0,1, … , n) многочлен Лагранжа
и определим x по заданному y . Остаточный член в этом случае можно получить из остаточного члена формулы Лагранжа, меняя местами x и y .
Пример 5.6. Функция y = f(x) задана таблицей
Найти значение x , для которого y=10 .
Интерполяционный многочлен Лагранжа имеет вид
Дата добавления: 2017-05-18 ; просмотров: 706 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ
Порно Натали Кук
Хуй Димы Билана
Крошка блондинка соблазняет негра и ебется с ним возле бассейна