Остаточный Член Коши
⚡ 👉🏻👉🏻👉🏻 ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻
Остаточный Член Коши
Выше мы установили формулу Тейлора с остаточным членом в общей форме. Здесь мы установим другие возможные представления для остаточного члена. Два из них могут быть получены в качестве частных случаев из общей формы.
Прежде всего несколько преобразуем формулу для остаточного члена (6.34). Поскольку точка лежит между точками а и х, найдется такое число 0 из интервала что При этом Таким образом, формула (6.34) может быть переписана в виде
Рассмотрим теперь два важных частных случая формулы (6.45): (напомним, что в формулах (6.34) и (6.45) в качестве может быть взято любое положительное число). Первый из этих частных случаев приводит нас к остаточному члену в форме Лагранжа:
Эта форма остаточного члена наиболее употребительна в приложениях. Остаточный член в форме Лагранжа напоминает следующий, очередной член формулы Тейлора, лишь только производная функции вычисляется не в точке а, а в некоторой промежуточной между а и х точке
Второй из указанных выше частных случаев приводит нас к остаточному члену в форме Коши:
Так как формы Лагранжа и Коши отвечают разным значениям зависит от , то значения 0 в формулах (6.46) и (6.47) являются, вообще говоря, различными. Для оценки некоторых функций форма Коши является более предпочтительной, чем форма Лагранжа. Обе формы остаточного члена (Лагранжа и
Коши) обычно используются в тех случаях, когда требуется при тех или иных фиксированных значениях х, отличных от а, приближенно вычислить функцию
Естественно приближенно заменить многочленом и численно оценить сделанную при этом ошибку. Наряду с этим встречаются задачи, в которых нас интересует не численная величина указанной ошибки, а лишь порядок ее относительно малой величины Для этой цели удобна другая форма записи остаточного члена (так называемая форма Пеано, к установлению которой мы и переходим.
Предположим, что функция имеет производную порядка в некоторой окрестности точки а и производную порядка в самой точке а
При этих предположениях мы можем рассмотреть многочлен , определяемый соотношением (6.35). Разность между и этим многочленом, как и при доказательстве теоремы 6.10, обозначим символом т. е. положим
Докажем, что при сделанных нами предположениях для остаточного члена справедливо следующее представление
Представление (6.48) принято называть остаточным членом в форме Пеано.
Используя установленное в конце предыдущего параграфа свойство многочлена , выражающееся соотношениями (6.44), мы получим следующие равенства:
Нам остается доказать, что из равенств (6.49) вытекает представление (6.48). Доказательство того, что из равенств (6.49) вытекает представление (6.48), проведем методом математической индукции.
Сначала убедимся в том, что равенства (6.49) влекут представление (6.48) при
а это и означает, что т. е. при представление (6.48) вытекает из (6.49).
Теперь для завершения индукции предположим, что представление (6.48) вытекает из (6.49) для некоторого номера и убедимся, что в таком случае представление (6.48) вытекает из (6.49) и для следующего номера Для номера равенства (6.49) имеют вид
Поскольку мы предположили, что для номера равенства вида (6.49) влекут представление вида (6.48), то, отбросив первое из равенств (6.49, мы можем утверждать, что остальные равенства
С другой стороны, применяя к функции по сегменту теорему 6.4 Лагранжа и учитывая первое равенство (6.49, мы получаем, что между а и х найдется точка такая, что
Сопоставляя соотношения (6.50) и (6.51) и учитывая, что (в силу того, что заключено между а и мы окончательно получим, что а это совпадает с представлением (6.48), взятым для номера
Тем самым индукция проведена и вывод представления (6.48) остаточного члена в форме Пеано завершен.
В заключение запишем полностью формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано:
Копирование информации со страницы разрешается только с указанием ссылки на данный сайт
Теорема Тейлора — Википедия
1. Остаточный член в форме Лагранжа, Коши и Пеано.
остаточный член — ПриМат
Формула Тейлора, остаточный член формулы Тейлора, многочлен Тейлора.
Формула Тейлора
Учебные работы студентов специальности прикладная математика Одесского национального университета имени И.И.Мечникова по курсу "Интернет технологии"
rn(x0,x)=f(n+1)(x+θ(x−x0))(n+1)!(x−x0)n+1,
rn(x0,x)=f(n+1)(x0+θ1(x−x0))n!(1−θ1(x−x0))n(x−x0)n+1,
limx→01+2⋅tg(x)−ex+x2arctg(x)−sin(x)
Если остаток в формуле Тейлора |r_{n}(x_{0},x)|< \alpha _{0} &s=1
|r_{n}(x_{0},x)|< \alpha _{0} &s=1
, то формулу Тейлора для многочлена можно записать так: f(x)\approx f(x_{0})+\frac{f'(x_{0})}{1!}(x-x_{0})+\frac{f»(x_{0})}{2!}(x-x_{0})^{2}+…+\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n} &s=1
f(x)\approx f(x_{0})+\frac{f'(x_{0})}{1!}(x-x_{0})+\frac{f»(x_{0})}{2!}(x-x_{0})^{2}+…+\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n} &s=1
.
Важна форма записи остаточного члена:
r_{n}(x_{0},x) &s=1
r_{n}(x_{0},x) &s=1
— определяет погрешность формулы. Если же f(x) &s=1
f(x) &s=1
вычисляется по формуле при конкретном числовом значении x &s=1
x &s=1
, то может оказаться, что слагаемые в этой формуле сами вычисляются приближённо. Тогда погрешность результата будет состоять из погрешности слагаемых и погрешности формулы. Если вычислять все слагаемые с одинаковой точностью \alpha _{0} &s=1
\alpha _{0} &s=1
(погрешностью формулы), то общая погрешность результата равна (n+2)\alpha _{0} &s=1
(n+2)\alpha _{0} &s=1
.
Пусть \alpha &s=1
\alpha &s=1
— заранее известная точность результата. Тогда следует преобразовать \alpha _{0} &s=1
\alpha _{0} &s=1
так, чтобы обеспечить выполнение неравенства (n+2)\alpha _{0}\leq\alpha &s=1
(n+2)\alpha _{0}\leq\alpha &s=1
, то есть \alpha_{0}\leq\frac{\alpha}{n+2} &s=1
\alpha_{0}\leq\frac{\alpha}{n+2} &s=1
. При достаточно малых n &s=1
n &s=1
, например, n\leq8 &s=1
n\leq8 &s=1
: \alpha_{0}=\frac{\alpha}{10}\leq\frac{\alpha}{n+2} &s=1
\alpha_{0}=\frac{\alpha}{10}\leq\frac{\alpha}{n+2} &s=1
.
Обычно точность вычислений \alpha &s=1
\alpha &s=1
задается в виде: \alpha=10^{-m} \Rightarrow \alpha_{0}=10^{-(m+1)} &s=1
\alpha=10^{-m} \Rightarrow \alpha_{0}=10^{-(m+1)} &s=1
. Это значит, что вычисления нужно проводить с одним запасным знаком. Мы установили, что один запасной знак обеспечит требуемую точность при n\leq8 &s=1
n\leq8 &s=1
.
Вычислить e^{0,1} &s=1
e^{0,1} &s=1
с точностью до \alpha=0,001=10^{-3} &s=1
\alpha=0,001=10^{-3} &s=1
.
Оценкой определим, в какой точке удобнее раскладывать исходную функцию (найдём ближайшую к необходимой точку, где известно точное значение функции):
Выполним вычисление по формуле Тейлора, разложив функцию в точке x_{0}=0 &s=1
x_{0}=0 &s=1
Перенесём 2 в правую часть и выполним обозначение:
Эта запись удобна тем, что вычисляя последовательность слагаемых U_{k}=\frac{x^{k}}{k!} &s=1
U_{k}=\frac{x^{k}}{k!} &s=1
мы имеем возможность одновременно видеть достигнута ли требуемая точность.
Подставим в оценку, сделанную ранее:
Для U_{k}=\frac{x^{k}}{k!} &s=1
U_{k}=\frac{x^{k}}{k!} &s=1
полагаем k=0,1,2,… &s=1
k=0,1,2,… &s=1
U_{3}=0,0002; U_{4}=0,00005 &s=1
U_{3}=0,0002; U_{4}=0,00005 &s=1
— выбранное значение
k
подходит.
Неравенство \frac{x^{n+1}}{(n+1)!}\leq0,00005 &s=2
\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}\leq0,00005 &s=2
оказалось выполненным при k=n+1=4 &s=1
k=n+1=4 &s=1
, n=3 &s=1
n=3 &s=1
.
Software developer AI Scientist Ass.prof Odessa National I.I.Mechnikov University
Дед Ебет Домработницу
Порно Екатерину Волкову Трахают
Натягивает В Анал Худую
Попался За Дрочкой
Порно Лесби В Колготках На Смартфон
