Остаточный Член Формулы Тейлора

💣 👉🏻👉🏻👉🏻 ВСЯ ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻

Остаточный Член Формулы Тейлора
Алфавитный указатель  а б в г д е ж з и к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я  
( R n (x) - остаточный член формулы Тейлора).

   Прикладная математика                               Cправочник математических формул                                          Примеры и задачи с решениями

Loading [MathJax]/fonts/HTML-CSS/TeX/png/imagedata.js

f ( x ) = f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) + α ( x − x 0 ) ⋅ ( x − x 0 ) , (21.1)


f ( x ) = f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) + + α ( x − x 0 ) ⋅ ( x − x 0 ) , (21.1)

lim x → x 0 f ( x ) g ( x ) = 0. (21.2)

lim x → 0 sin ( 1 / x ) 1 / x = lim x → 0 x sin 1 x = 0.

lim x → 0 x 2 x + x 2 = lim x → 0 x 1 + x = 0.

f ( x ) = o ( g ( x ) ) , x → x 0 .

f ( x ) − h ( x ) = o ( g ( x ) ) ,

o ( g ( x ) ) + o ( g ( x ) ) = o ( g ( x ) ) .

o ( g ( x ) ) + o ( g ( x ) ) ⊂ o ( g ( x ) ) ,

lim x → x 0 f ( x ) + h ( x ) g ( x ) = lim x → x 0 ( f ( x ) g ( x ) + h ( x ) g ( x ) ) = 0

Утверждение 2. Пусть f ( x ) = o ( g ( x ) ) и c ≠ 0 . Тогда f ( x ) = o ( c g ( x ) ) .
lim x → x 0 f ( x ) c g ( x ) = 1 c lim x → x 0 f ( x ) g ( x ) = 0.

f ( x ) = f ( x 0 ) + o ( 1 ) , (21.3)


f ( x ) = f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) + o ( x − x 0 ) , (21.4)


f ( x ) = f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) + + o ( x − x 0 ) , (21.4)

T 1 ( x 0 ) = f ( x 0 ) , T ′ 1 ( x 0 ) = f ′ ( x 0 ) .


T 2 ( x 0 ) = f ( x 0 ) , T ′ 2 ( x 0 ) = f ′ ( x 0 ) , T ′′ 2 ( x 0 ) = f ′′ ( x 0 ) .


T 2 ( x 0 ) = f ( x 0 ) , T ′ 2 ( x 0 ) = f ′ ( x 0 ) , T ′′ 2 ( x 0 ) = f ′′ ( x 0 ) .

T 2 ( x ) = f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) + q ⋅ ( x − x 0 ) 2 ,

T ′ 2 ( x ) = f ′ ( x 0 ) + 2 q ⋅ ( x − x 0 ) ,

T ′′ 2 ( x ) = 2 q = f ′′ ( x 0 ) .


T 2 ( x ) = f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) + f ′′ ( x 0 ) 2 ( x − x 0 ) 2 .


T 2 ( x ) = f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) + + f ′′ ( x 0 ) 2 ( x − x 0 ) 2 .


T 0 ( x ) = f ( 1 ) = 2 T 1 ( x ) = f ( 1 ) + f ′ ( 1 ) ⋅ ( x − 1 ) = 2 + ( x − 1 ) T 2 ( x ) = f ( 1 ) + f ′ ( 1 ) ⋅ ( x − 1 ) + f ′′ ( 1 ) 2 ⋅ ( x − 1 ) 2 = 2 + 1 ⋅ ( x − 1 ) − 1 2 ( x − 1 ) 2 = 2 + ( x − 1 ) − ( x − 1 ) 2 2 .


T 0 ( x ) = f ( 1 ) = 2 T 1 ( x ) = f ( 1 ) + f ′ ( 1 ) ⋅ ( x − 1 ) = 2 + ( x − 1 ) T 2 ( x ) = f ( 1 ) + f ′ ( 1 ) ⋅ ( x − 1 ) + + f ′′ ( 1 ) 2 ⋅ ( x − 1 ) 2 = = 2 + 1 ⋅ ( x − 1 ) − 1 2 ( x − 1 ) 2 = = 2 + ( x − 1 ) − ( x − 1 ) 2 2 .





import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import qqmbr.odebook as ob
# see https://github.com/ischurov/qqmbr/blob/master/qqmbr/odebook.py

def f(x):
return np.log(x) + 2
def T0(x):
return np.ones_like(x) * 2
def T1(x):
return 2 + (x - 1)
def T2(x):
return 2 + (x - 1) - (x - 1) ** 2 / 2

x = np.linspace(-0.05, 3.7, 211)
plt.figure(figsize=(6, 5))
plt.plot(x, f(x), label='$y=f(x)$', lw=2)
plt.plot(x, T0(x), label='$y=T_0(x)$', lw=1)
plt.plot(x, T1(x), label='$y=T_1(x)$', lw=1)
plt.plot(x, T2(x), label='$y=T_2(x)$', lw=1)
plt.legend(loc=4)

ob.center_spines(grid=False, minor_ticks=False)
ob.settle_axes(xmin=-0.2, xmax=3.7, ymin=-1.2, ymax=2.8,
xlabel="x", ylabel="y")
Рис. 21.1 : Нулевое, первое и второе приближение логарифма

T n ( x ) : = f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) + f ′′ ( x 0 ) 2 ( x − x 0 ) 2 + f ′′′ ( x 0 ) 3 ! ( x − x 0 ) 3 + … + f ( n ) ( x 0 ) n ! ( x − x 0 ) n = = n ∑ k = 0 f ( k ) ( x 0 ) k ! ( x − x 0 ) k .


T n ( x ) : = f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) + + f ′′ ( x 0 ) 2 ( x − x 0 ) 2 + + f ′′′ ( x 0 ) 3 ! ( x − x 0 ) 3 + … + + f ( n ) ( x 0 ) n ! ( x − x 0 ) n = = n ∑ k = 0 f ( k ) ( x 0 ) k ! ( x − x 0 ) k .

T ( k ) n ( x 0 ) = f ( k ) ( x 0 ) .

Доказательство. Утверждение проверяется непосредственно дифференцированием. Поскольку при
каждом дифференцировании степень монома x l уменьшается на единицу, при
k -кратном дифференцировании все слагаемые степени меньше k превращаются
в ноль. Все слагаемые степени больше k будут иметь вид C ( x − x 0 ) m для
каких-то чисел C и m ∈ N . При подстановке x = x 0 они
обнулятся. Значит, останется только слагаемое степени k . В результате
каждого дифференцирования степень уменьшается на единицу и сносится
коэффициентом рядом с соответствующим слагаемым. После k дифференцирований
коэффициент будет равен k ! и он сократится с k ! в знаменателе. Останется
f ( k ) ( x 0 ) , что и требовалось получить. ∎

f ( x ) = T n ( x ) + o ( ( x − x 0 ) n ) , x → x 0 . (21.5)


f ( x ) = T n ( x ) + o ( ( x − x 0 ) n ) , x → x 0 . (21.5)

lim x → x 0 f ( x ) − T n ( x ) ( x − x 0 ) n (21.6)

lim x → x 0 f ′ ( x ) − T ′ n ( x ) n ( x − x 0 ) n − 1 .

lim x → x 0 f ′′ ( x ) − T ′′ n ( x ) n ( n − 1 ) ( x − x 0 ) n − 2 .

lim x → x 0 f ( n − 1 ) ( x ) − T ( n − 1 ) n ( x ) n ! ( x − x 0 ) . (21.7)

T ( n − 1 ) n ( x ) = f ( n − 1 ) ( x 0 ) + f ( n ) ( x 0 ) ( x − x 0 ) .


lim x → x 0 f ( n − 1 ) ( x ) − f ( n − 1 ) ( x 0 ) − f ( n ) ( x 0 ) ( x − x 0 ) n ! ( x − x 0 ) = = 1 n ! lim x → x 0 ( f ( n − 1 ) ( x ) − f ( n − 1 ) ( x 0 ) x − x 0 − f ( n ) ( x 0 ) ) .


lim x → x 0 1 n ! ( x − x 0 ) ( f ( n − 1 ) ( x ) − − f ( n − 1 ) ( x 0 ) − f ( n ) ( x 0 ) ( x − x 0 ) ) = = 1 n ! lim x → x 0 ( f ( n − 1 ) ( x ) − f ( n − 1 ) ( x 0 ) x − x 0 − − f ( n ) ( x 0 ) ) .

Замечание 3. Когда для функции f записывают равенство (21.5) , также
говорят, что это разложение функции f в ряд Тейлора в точке x 0 с
остаточным членом в форме Пеано до членов порядка n . (Хотя строго говоря
никакого ряда тут нет.)
lim x → 1 ln ( x ) − x + 1 ( x − 1 ) 2 .

ln x = ( x − 1 ) − ( x − 1 ) 2 2 + o ( ( x − 1 ) 2 ) .


lim x → 1 ln ( x ) − x + 1 ( x − 1 ) 2 = lim x → 1 ( x − 1 ) − ( x − 1 ) 2 2 + o ( ( x − 1 ) 2 ) − x + 1 ( x − 1 ) 2 = = lim x → 1 − ( x − 1 ) 2 2 + o ( ( x − 1 ) 2 ) ( x − 1 ) 2 = lim x → 1 ( − 1 2 + o ( ( x − 1 ) 2 ) ( x − 1 ) 2 ) .


lim x → 1 ln ( x ) − x + 1 ( x − 1 ) 2 = = lim x → 1 ( x − 1 ) − ( x − 1 ) 2 2 + o ( ( x − 1 ) 2 ) − x + 1 ( x − 1 ) 2 = = lim x → 1 − ( x − 1 ) 2 2 + o ( ( x − 1 ) 2 ) ( x − 1 ) 2 = = lim x → 1 ( − 1 2 + o ( ( x − 1 ) 2 ) ( x − 1 ) 2 ) .

Теорема 2. Пусть функция f определена в окрестности x 0 , дважды дифференцируема в
x 0 и f ′ ( x 0 ) = 0 . Тогда если f ′′ ( x 0 ) > 0 , то в точке x 0 строгий
локальный минимум, а если f ′′ ( x 0 ) < 0 , то строгий локальный максимум.

f ( x ) = f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) + f ′′ ( x 0 ) 2 ( x − x 0 ) 2 + o ( ( x − x 0 ) 2 ) .


f ( x ) = f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) + + f ′′ ( x 0 ) 2 ( x − x 0 ) 2 + + o ( ( x − x 0 ) 2 ) .


f ( x ) = f ( x 0 ) + ( f ′′ ( x 0 ) 2 + β ( x − x 0 ) ) ( x − x 0 ) 2 .


f ( x ) = f ( x 0 ) + + ( f ′′ ( x 0 ) 2 + β ( x − x 0 ) ) ( x − x 0 ) 2 .



← Предыдущая глава


Следующая глава →



Россия напала на Украину и ведёт войну. Её нужно остановить. Узнайте, как протестовать.


В дальнейшем нам пригодится более компактное обозначение для функций, которые
являются маленькими по сравнению с какими-то другими функциями.


Неверный ответ.
А если посчитать предел, что получается?


На семинаре будут обсуждаться и другие свойства такого типа. Для тренировки
можете придумать как можно больше верных свойств o -малых и доказать их.


Если мы знаем, что f непрерывна, это означает, что lim x → x 0 f ( x ) = f ( x 0 ) , то есть значения в близких точках близки к значению f ( x 0 ) .
Значит можно записать:


Знак приближенного равенства не имеет строгого смысла и не может использоваться
в доказательствах. Однако, мы можем использовать o -символику, чтобы
сформулировать аккуратное утверждение про непрерывность:


В общем, если мы знаем, что функция f непрерывна, и больше ничего, то лучшее,
что мы можем сделать — это приблизить её константой, функцией y = f ( x 0 ) .


Пусть теперь мы знаем, что f не только непрерывна в x 0 , но и
дифференцируема, и, более того, мы знаем её производную в этой точке. Тогда
справедливо равенство (21.1) , которое может может быть записано в
виде:


В приближении (21.4) мы заменяем функцию не на константу, как в
(21.3) , а на линейную функцию, и говорим, что разница между настоящей
функцией и её линейным приближением будет не просто маленькой при x → x 0
(это было верно и в (21.3) ), но маленькой по сравнению с ( x − x 0 ) .
Иными словами, воспользовавшись дополнительной информацией (дифференцируемосью и
знанием производной), мы получили лучшее приближение для функции.


Можем ли мы продолжить этот процесс? Оказывается, да.

Построенные нами многочлены T 0 , T 1 и T 2 называются многочленами
Тейлора . Как видно из построения и примера 5 , многочлен Тейлора
первой степени — это просто функция, задающая касательную, а многочлен Тейлора
второй степени обобщает понятие касательной: вместо приближения графика прямой
линией мы приближаем его параболой, и за счёт этого можем получить лучшую
точность приближения.


Этот многочлен называется многочленом Тейлора степени n для функции
f в окрестности точки x 0 .

При построении каждого следующего тейлоровского многочлена мы используем всё
больше и больше информации про функцию f : значение, производную, вторую
производную, третью производную и т.д. Разумно ожидать, что многочлены больших
степеней будут приближать нашу функцию всё лучше и лучше. Есть разные способы
это формализовать. Сейчас мы сформулируем один из них.


Нам нужно доказать, что f ( x ) − T n ( x ) является o ( ( x − x 0 ) n ) при x → x 0 , то есть доказать, что предел

Найдём этот предел явно. Поскольку f ( x 0 ) = T n ( x 0 ) , он является
неопределенностью 0 / 0 . Заметим, что числитель и знаменатель
дифференцируемы в окрестности точки x 0 : поскольку у функции f есть n
производных в точке x 0 , это означает, что ( n − 1 ) -я производная
определена в некоторой окрестности точки x 0 , иначе производную от неё
нельзя было определить; но тогда и ( n − 2 ) -я производная существует в
окрестности и т.д. до первой производной; T n является многочленом и
дифференцируем сколько угодно раз где угодно, равно как и ( x − x 0 ) n в
знаменателе. Производная знаменателя не обнуляется при x ≠ x 0 . Значит,
можем применить правило Лопиталя и
рассмотреть новый предел:

Теперь применение правила Лопиталя на каждом шаге обосновано и доказано, что
исходный предел (21.6) тоже равен нулю. Что и требовалось! ∎

Целью этого пункта является получение формулы Тейлора для функции в окрестности произвольной точки а с остаточным членом в так называемой интегральной форме.

Пусть функция имеет в некоторой -окрестности точки а непрерывную производную порядка. Пусть х принадлежит указанной окрестности. Рассмотрим равенство

Полагая применим к интегралу формулу интегрирования по частям . Получим

Таким образом, последовательно интегрируя по частям, получим

Мы видим, что является остаточным членом разло жения Тейлора для функции в окрестности точки а. Эта форма остаточного члена и называется интегральной формой.

Если применить первую формулу среднего значения (см. свойство д) п. 2 § 4), то

где I — некоторая точка сегмента Следовательно, тех же предположениях мы получим остаточный член в форме Лагранжа. На самом деле, легко заключить (используя теорему Дарбу о прохождении производной через все промежуточные значения), что при условии существования и интегрируемости

Рассмотрим теперь примеры, иллюстрирующие изложенный в этом параграфе материал.

Примеры. 1) Вычислить интегралы, применяя основную формулу интегрального исчисления :

2) Вычислить интегралы, применяя правило замены переменной :

3) Вычислить интеграл , применяя правило интегрирования по частям :

Легко видеть, что По индукции получаем, что для

4) Доказать, что для функции остаточный член в интегральной форме стремится к нулю, если Заметим, что

Из очевидных неравенств следует, что

Далее, поскольку — числа одного знака, то

где не зависит от . Иными словами,

Рассмотрим какое-либо число удовлетворяющее условию Так как

то найдется такой номер что при Отсюда вытекает, что при Устремляя в этом неравенстве к убеждаемся в том, что а следовательно, и стремится к нулю.

Копирование информации со страницы разрешается только с указанием ссылки на данный сайт




Жизненный опыт - это масса ценных знаний о том, как не надо себя вести в ситуациях, которые никогда больше не повторятся. Законы Мерфи
( еще... )





Главная
Карта сайта
Поиск +
Поиск по рисункам
Помощь
Контакты



Остаточный член формулы Тейлора в такой записи называется остаточным членом в форме Пеано.
[1]
Остаточный член формулы Тейлора , записанный в виде ( 28), называется остаточным членом в интегральной форме, в виде ( 29) - в форме Лагранжа, в виде ( 30) - в форме Коши.
[2]
Поведению остаточного члена формулы Тейлора при п - оо посвящен следующий параграф.
[3]
Поведению остаточного члена формулы Тейлора при п - оо посвящен следующий параграф.
[4]
Поведению остаточного члена формулы Тейлора при п - оо посвящен следующий параграф.
[5]
Представление остаточного члена формулы Тейлора в форме (39.12) называется его записью в форме Пеано.
[6]
Тогда ее п-й остаточный член формулы Тейлора может быть записан в форме Лагранжа или в форме Коши.
[7]
Таким образом, остаточный член формулы Тейлора функции ( 1 - - х) т при - 1 лг; 1 стремится к нулю при и - - оо.
[8]
Таким образом, остаточный член формулы Тейлора функции ( 1 х) т при - 1 х 1 стремится к нулю при п - оо.
[9]
Формула (37.31) называется остаточным членом формулы Тейлора в интегральной форме, формула (37.32) - в форме Лагранжа, а (37.33) - в форме Коши.
[10]
Известны и другие формы остаточного члена формулы Тейлора .
[11]
Тейлора, определяется величиной остаточного члена Rn формулы Тейлора .
[12]
Зачем же нужны различные представления остаточного члена формулы Тейлора . Они позволяют провести различные оценки остаточного члена в удобной для нас форме.
[13]
Формула ( 5) записи остаточного члена формулы Тейлора называется формой Лагранжа.
[14]
Из сказанного ясно, сколь велика роль остаточного члена формулы Тейлора : отбрасывать его можно не всегда, а лишь в тех случаях, когда доказано, что он не оказывает существенного влияния на результат.
[15]

Мэри Элизабет Уинстед Обнаженная
Отсос Снятый На Мобильник
Мамаша надрачивает своему сыну