Остаточный Член
🛑 👉🏻👉🏻👉🏻 ЗА ПОДРОБНОСТЯМИ ЖМИ ЗДЕСЬ 👈🏻👈🏻👈🏻
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Продифференцируем по
x
{\displaystyle x}
обе части формулы Тейлора
n
{\displaystyle n}
раз:
1
)
f
(
x
)
′
=
f
(
a
)
′
+
∑
k
=
2
n
f
(
k
)
(
a
)
(
k
−
1
)
!
(
x
−
a
)
k
−
1
+
R
n
(
x
)
′
2
)
f
(
x
)
″
=
f
(
a
)
″
+
∑
k
=
3
n
f
(
k
)
(
a
)
(
k
−
2
)
!
(
x
−
a
)
k
−
2
+
R
n
(
x
)
″
.
.
.
n
−
1
)
f
(
x
)
(
n
−
1
)
=
f
(
a
)
(
n
−
1
)
+
f
(
n
)
(
a
)
(
x
−
a
)
+
R
n
(
x
)
(
n
−
1
)
n
)
f
(
x
)
(
n
)
=
f
(
n
)
(
a
)
+
R
n
(
x
)
(
n
)
{\displaystyle {\begin{array}{l}1)f(x)'=f(a)'+\sum \limits _{k=2}^{n}{{\frac {{f^{(k)}}(a)}{(k-1)!}}{{(x-a)}^{k-1}}}+{R_{n}}(x)'\\2)f(x)''=f(a)''+\sum \limits _{k=3}^{n}{{\frac {{f^{(k)}}(a)}{(k-2)!}}{{(x-a)}^{k-2}}}+{R_{n}}(x)''\\ . . .\\n-1)f{(x)^{(n-1)}}=f{(a)^{(n-1)}}+{f^{(n)}}(a)(x-a)+{R_{n}}{(x)^{(n-1)}}\\n)f{(x)^{(n)}}={f^{(n)}}(a)+{R_{n}}{(x)^{(n)}}\end{array}}}
(Отсюда, в частности, видно, что
R
n
(
a
)
=
R
n
(
a
)
′
=
R
n
(
a
)
″
=
.
.
.
=
R
n
(
a
)
(
n
)
=
0
{\displaystyle {R_{n}}(a)={R_{n}}(a)'={R_{n}}(a)''= . . .={R_{n}}{(a)^{(n)}}=0}
— это свойство остаточного члена в любой форме .)
По теореме Лагранжа (поскольку
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
соответствует условиям теоремы) существует такая точка
ξ
{\displaystyle \xi }
между
x
{\displaystyle x}
и
a
{\displaystyle a}
(то есть
ξ
{\displaystyle \xi }
не равно ни
x
{\displaystyle x}
, ни
a
{\displaystyle a}
), что
f
(
x
)
(
n
)
−
f
(
n
)
(
a
)
=
f
(
ξ
)
(
n
+
1
)
(
x
−
a
)
{\displaystyle f{(x)^{(n)}}-{f^{(n)}}(a)=f{(\xi )^{(n+1)}}(x-a)}
. Отсюда
R
n
(
x
)
(
n
)
=
f
(
ξ
)
(
n
+
1
)
(
x
−
a
)
{\displaystyle {R_{n}}{(x)^{(n)}}=f{(\xi )^{(n+1)}}(x-a)}
. Продифференцируем последнее тождество ещё раз по
x
{\displaystyle x}
и получим
R
n
(
x
)
(
n
+
1
)
=
f
(
ξ
)
(
n
+
1
)
{\displaystyle {R_{n}}{(x)^{(n+1)}}=f{(\xi )^{(n+1)}}}
.
Пусть остаточный член задан в виде
R
n
(
x
)
=
f
(
ξ
)
(
n
+
1
)
(
x
−
a
)
n
+
1
(
n
+
1
)
!
{\displaystyle {R_{n}}(x)={\frac {f{{(\xi )}^{(n+1)}}{{(x-a)}^{n+1}}}{(n+1)!}}}
. Тогда, во-первых, он и все его производные равны нулю в точке
x
=
a
{\displaystyle x=a}
, во-вторых,
R
n
(
x
)
(
n
+
1
)
=
f
(
ξ
)
(
n
+
1
)
{\displaystyle {R_{n}}{(x)^{(n+1)}}=f{(\xi )^{(n+1)}}}
. В конце ещё можно сделать замену переменной:
ξ
=
a
+
θ
(
x
−
a
)
,
0
<
θ
<
1
{\displaystyle \xi =a+\theta (x-a),\qquad 0<\theta <1}
. Формула выведена .
Методом интегрирования по частям получим
R
n
(
x
)
=
1
n
!
∫
a
x
(
x
−
t
)
n
f
(
n
+
1
)
(
t
)
d
t
=
1
n
!
∫
a
x
(
x
−
t
)
n
d
f
(
n
)
(
t
)
=
1
n
!
(
(
x
−
t
)
n
f
(
n
)
(
t
)
)
|
a
x
−
1
n
!
∫
a
x
f
(
n
)
(
t
)
d
(
x
−
t
)
n
=
=
1
(
n
−
1
)
!
∫
a
x
(
x
−
t
)
n
−
1
f
(
n
)
(
t
)
d
t
−
(
x
−
a
)
n
f
(
n
)
(
a
)
n
!
=
.
.
.
=
∫
a
x
f
′
(
t
)
d
t
−
∑
k
=
1
n
f
(
k
)
(
a
)
(
x
−
a
)
k
k
!
=
f
(
x
)
−
∑
k
=
0
n
f
(
k
)
(
a
)
(
x
−
a
)
k
k
!
{\displaystyle {\begin{array}{l}{R_{n}}(x)={\frac {1}{n!}}\int \limits _{a}^{x}{{{(x-t)}^{n}}{f^{(n+1)}}(t)dt}={\frac {1}{n!}}\int \limits _{a}^{x}{{{(x-t)}^{n}}d{f^{(n)}}(t)}={\frac {1}{n!}}\left .{\left({{{(x-t)}^{n}}{f^{(n)}}(t)}\right)}\right|_{a}^{x}-{\frac {1}{n!}}\int \limits _{a}^{x}{{f^{(n)}}(t)d}{(x-t)^{n}}=\\={\frac {1}{(n-1)!}}\int \limits _{a}^{x}{{{(x-t)}^{n-1}}{f^{(n)}}(t)d}t-{\frac {{{(x-a)}^{n}}{f^{(n)}}(a)}{n!}}= . . .=\int \limits _{a}^{x}{f'(t)d}t-\sum \limits _{k=1}^{n}{\frac {{f^{(k)}}(a){{(x-a)}^{k}}}{k!}}=f(x)-\sum \limits _{k=0}^{n}{\frac {{f^{(k)}}(a){{(x-a)}^{k}}}{k!}}\end{array}}}
откуда
f
(
x
)
=
∑
k
=
0
n
f
(
k
)
(
a
)
(
x
−
a
)
k
k
!
+
R
n
(
x
)
{\displaystyle f(x)=\sum \limits _{k=0}^{n}{\frac {{f^{(k)}}(a){{(x-a)}^{k}}}{k!}}+{R_{n}}(x)}
Поскольку
R
n
(
a
)
=
R
n
(
a
)
′
=
R
n
(
a
)
″
=
.
.
.
=
R
n
(
a
)
(
n
)
=
0
{\displaystyle {R_{n}}(a)={R_{n}}(a)'={R_{n}}(a)''= . . .={R_{n}}{(a)^{(n)}}=0}
, то предел отношения
R
n
(
x
)
(
x
−
a
)
n
{\displaystyle {\frac {{R_{n}}(x)}{{(x-a)}^{n}}}}
при
x
{\displaystyle x}
, стремящемся к
a
{\displaystyle a}
, может быть найден по правилу Лопиталя:
lim
x
→
a
R
n
(
x
)
(
x
−
a
)
n
=
Остаточный Член
Секс Туры Для Пожилых
Порно С Полным Мужчиной
Групповуха Со Стариками Русское