Особые свойства Гамма-функции Эйлера. Курсовая работа (п). Математика.
⚡ 👉🏻👉🏻👉🏻 ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻
Вы можете узнать стоимость помощи в написании студенческой работы.
Помощь в написании работы, которую точно примут!
Похожие работы на - Особые свойства Гамма-функции Эйлера
Скачать Скачать документ
Информация о работе Информация о работе
Скачать Скачать документ
Информация о работе Информация о работе
Скачать Скачать документ
Информация о работе Информация о работе
Скачать Скачать документ
Информация о работе Информация о работе
Скачать Скачать документ
Информация о работе Информация о работе
Скачать Скачать документ
Информация о работе Информация о работе
Нужна качественная работа без плагиата?
Не нашел материал для своей работы?
Поможем написать качественную работу Без плагиата!
Пояснительная
записка к курсовой работе выполнена в объёме 36 листов. Она содержит таблицу
значений гамма-функции при некоторых значениях переменных и тексты программ
для вычисления значений Гамма-функции и для построения графика, а также 2
рисунка.
Для написания
курсовой работы было использовано 7 источников.
Выделяют особый класс функций, представимых в
виде собственого либо несобственого интеграла, который зависит не только от
формальной переменной, а и от параметра.
Такие функции называются интегралами
зависящими от параметра. К их числу относятся гамма и бета функции Эйлера.
Бета функции представимы интегралом Эйлера
первого рода:
Гамма функция представляется интегралом Эйлера
второго рода:
Гамма-функция
относится к числу самых простых и значимых специальных функций, знание свойств
которой необходимо для изучения многих других специальных функций, например,
цилиндрических, гипергеометрических и других.
Благодаря её
введению значительно расширяются наши возможности при вычислении интегралов.
Даже в случаях, когда конечная формула не содержит иных функций, кроме
элементарных, получение её всё же часто облегчает использование функции Г, хотя
бы в промежуточных выкладках.
Эйлеровы
интегралы представляют собой хорошо изученные неэлементарные функции. Задача
считается решённой, если она приводится к вычислению эйлеровых интегралов.
Бэта – функции
определяются интегралом Эйлера первого рода:
Он представляет
функцию от двух переменных параметров и : функцию B . Если эти параметры удовлетворяют условиям и ,то интеграл (1.1) будет
несобственным интегралом, зависящим от параметров и ,причём особыми точками этого интеграла будут
точки и
Интеграл (1.1) сходятся
при .Полагая получим:
т.e. аргумент и входят в симметрично. Принимая во внимание тождество
по формуле
интегрирования почестям имеем
При целом b = n
последовательно применяя (1.2)
Положим
в (1.1) .Так как
график функции симметрична
относительно прямой ,то
и в результате
подстановки , получаем
полагая в(1.1) ,откуда , получим
разделяя интеграл
на два в пределах от 0 до 1 и от 1 до и применение ко второму интегралу подстановки
,получим
Функцию
факториал можно еще записать в виде рекурсионного соотношения:
Это соотношение
можно рассматривать не только при целых значениях n.
G(z+1)=zG(z).
(2.1)
Несмотря на
простую форму записи, в элементарных функциях это уравнение не решается. Его
решение называется гамма-функцией. Гамма-функцию можно записать в виде ряда или
в виде интеграла. Для изучения глобальных свойств гамма-функции обычно пользуются
интегральным представлением.
Перейдем
к решению этого уравнения. Будем искать решение в виде интеграла Лапласа:
В этом случае
правая часть уравнения (2.1) может быть записана в виде:
Эта формула
справедлива, если существуют пределы для внеинтегрального члена. Заранее нам не
известно поведение образа [(G)\tilde](p) при p® ±¥. Предположим, что образ
гамма-функции таков, что внеинтегральное слагаемое равно нулю. После того, как
будет найдено решение, надо будет проверить, верно ли предположение о внеинтегральном
слагаемом, иначе придется искать G(z) как-нибудь по-другому.
Левая
часть равенства (2.1) записывается следующим образом:
Тогда уравнение (2.1)
для образа гамма-функции имеет вид:
Нетрудно
заметить, что найденная функция [(Г)\tilde](p) на самом деле такова, что
внеинтегральный член в формуле ( 2 .2) равен нулю.
Зная образ
гамма-функции, легко получить и выражение для прообраза:
Это
неканоническая формула, для того, чтобы привести ее к виду, полученному Эйлером,
надо сделать замену переменной интегрирования: t = exp(-p), тогда интеграл
примет вид:
Постоянная C
выбирается так, чтобы при целых значениях z гамма-функция совпадала с функцией
факториал: Г(n+1) = n!, тогда:
следовательно C =
1. Окончательно, получаем формулу Эйлера для гамма-функции:
Эта
функция очень часто встречается в математических текстах. При работе со специальными
функциями, пожалуй, даже чаще, чем восклицательный знак.
Проверить,
что функция, определенная формулой (2. 3 ), действительно
удовлетворяет уравнению (2. 1 ), можно,
проинтегрировав интеграл в правой части этой формулы по частям:
В подынтегральной функции интеграла (2. 3 ) при экспонента exp( -tz )
при R( z ) > 0 убывает гораздо быстрее, чем растет алгебраическая
функция t (z-1) . Особенность в нуле - интегрируемая, поэтому
несобственный интеграл в (2. 3 )
сходится абсолютно и равномерно при R (z) > 0. Более того, последовательным
дифференцированием по параметру z легко убедиться, что Г( z ) -
голоморфная функция при R ( z ) > 0. Однако,
непригодность интегрального представления (2. 3 ) при R ( z ) 0 не означает,
что там не определена сама гамма-функция - решение уравнения (2. 1 ).
Рассмотрим
поведение Г(z) в окрестности нуля. Для этого представим:
где - голоморфная
функция в окрестности z = 0 . Из формулы (2. 1 ) следует:
то есть Г(z)
имеет полюс первого порядка при z = 0.
то есть в
окрестности точки функция Г( z ) также имеет полюс первого
порядка.
Таким
же образом можно получить формулу:
Из этой формулы
следует, что точки z = 0,-1,-2,... - простые полюсы гамма-функции и других
полюсов на вещественной оси эта функция не имеет. Нетрудно вычислить вычет в
точке z = -n, n = 0,1,2,...:
Выясним,
имеет ли гамма-функция нули. Для этого рассмотрим функцию
Полюсы этой
функции и есть нули функции Г(z).
Разностное
уравнение для I( z ) легко получить, воспользовавшись выражением для Г( z ):
Выражение
для решения этого уравнения в виде интеграла можно получить так же, как было
получено интегральное выражение для гамма-функции - через преобразование
Лапласа. Ниже приведены вычисления.ни такие же, как
и в п.1).ии теграла будут точки
После разделения
переменных получим:
В полученном интеграле
сделаем замену переменной интегрирования:
Здесь важно
заметить, что подынтегральная функция при нецелых значениях z имеет
точку ветвления t = 0. На комплексной плоскости переменной t проведем
разрез по отрицательной вещественной полуоси. Интеграл по этой полуоси
представим как сумму интеграла по верхнему берегу этого разреза от до 0 и интеграла
от 0 до по
нижнему берегу разреза. Чтобы интеграл не проходил через точку ветвления,
устроим вокруг нее петлю.
Рис1: Петля в интегральном
представлении Ганкеля.
Чтобы выяснить
значение постоянной, вспомним, что I(1) = 1, с другой стороны:
называется представлением
Ганкеля по петле.
Легко видеть, что
функция 1/Г( z ) не имеет полюсов в комплексной плоскости, следовательно,
гамма-функция не имеет нулей.
С помощью этого
интегрального представления можно получить формулу для произведения
гамма-функций. Для этого в интеграле сделаем замену переменной , тогда:
Гамма-функцию
можно представить в виде бесконечного произведения. Это можно заметить, если в
интеграле (2. 3 )
представить
Тогда
интегральное представление гамма-функции:
В этой формуле
мы можем поменять пределы - предел интегрирования в несобственном интеграле и
предел при внутри
интеграла. Приведем результат:
Если провести эту
процедуру n раз, получим:
Переходя к
пределу, получим предельную форму Эйлера для гамма-функции:
Ниже
понадобится формула, в которой произведение двух гамма-функций представляется
через одну гамма-функцию. Выведем эту формулу, используя интегральное представление
гамма-функций.
Повторный
интеграл представим как двойной несобственный интеграл. Это можно сделать,
воспользовавшись теоремой Фубини. В результате получим:
Несобственный
интеграл равномерно сходится. Его можно рассматривать, например, как интеграл
по треугольнику, ограниченному осями координат и прямой x+y = R при R . В двойном
интеграле сделаем замену переменных:
Пределы
интегрирования: u меняется от 0 до ∞, v при этом меняется
от 0 до 1. В результате получим:
Перепишем опять
этот интеграл как повторный, в результате получим:
сходится при
каждом ,поскольку
,и
интеграл при сходится.
В области , где - произвольное
положительное число, этот интеграл сходится равномерно, так как и можно
применить признак Вейрштраса. Сходящимся при всех значениях является и весь интеграл так как и второе
слагаемое правой части является интегралом, заведомо сходящимся при любом .Легко видеть что
интеграл сходится по в любой области где произвольно. Действительно для всех
указанных значений и для всех ,и так как сходится, то выполнены условия
признака Вейерштрасса. Таким образом , в области интеграл сходится равномерно.
Отсюда вытекает
непрерывность гамма функции при .Докажем дифференцируемость этой функции при .Заметим что функция
непрерывна
при и , и покажем ,что
интеграл :
сходится
равномерно на каждом сегменте , . Выберем число так , чтобы ; тогда при .Поэтому существует число такое , что и на .Но тогда на справедливо
неравенство
и так как
интеграл сходится,
то интеграл сходится
равномерно относительно на . Аналогично для существует такое число , что для всех выполняется неравенство
. При
таких и
всех получим
,
откуда в силу признака сравнения следует , что интеграл сходится равномерно относительно
на . Наконец ,
интеграл
в котором
подынтегральная функция непрерывна в области
, очевидно,
сходится равномерно относительно на . Таким образом , на интеграл
сходится равномерно
, а, следовательно , гамма-функция бесконечно дифференцируема при любом и справедливо равенство
Относительно
интеграла можно
повторить те же рассуждения и заключить, что
По индукции
доказывается , что Г-функция бесконечно дифференцируема при и для ее я -ой производной
справедливо равенство
Изучим теперь
поведение -
функции и построим эскиз ее графика. (см. Приложение 1)
Из выражения для
второй производной -функции видно, что для всех . Следовательно, возрастает.
Поскольку ,
то по теореме Роля на сегменте [1,2]производная при и при , т. е. Монотонно убывает на и монотонно
возрастает на .
Далее , поскольку , то при . При из формулы следует , что при .
Равенство , справедливое
при ,
можно использовать при распространении - функции на отрицательное значение .
Положим для , что . Правая часть
этого равенства определена для из (-1,0) . Получаем, что так
продолженная функция принимает на (-1,0) отрицательные значения и
при , а
также при функция
.
Определив
таким образом на
, мы
можем по той же формуле продолжить ее на интервал (-2,-1). На этом интервале
продолжением окажется
функция, принимающая положительные значения и такая, что при и . Продолжая этот процесс,
определим функцию , имеющею разрывы в целочисленных точках (см. Приложение
1.)
определяет
Г-функцию только при положительных значениях , продолжение на отрицательные
значения осуществлено
нами формально с помощью формулы приведения .
4. Вычисление некоторых интегралов.
где m > -1,n
> -1.Полагая , что ,имеем
Где k >
-1,n > 0,достаточно положить
Рассмотрим
неполные гамма функции (функции Прима)
Переходя к
выводу формулы Стирлинга , дающей в частности приближенное значение n! при
больших значениях n ,рассмотрим предварительно вспомогательную функцию
(4.2)
Непрерывна на
интервале (-1, )
монотонно возрастает от до при изменении от до и обращаются в 0 при u = 0.Так как
то при u > 0 и
при u < 0 , далее имеем
И так
производная непрерывна и положительна во всем интервале ,удовлетворяет условию
Из предыдущего
следует, что существует обратная функция, определенная на интервале непрерывная и
монотонно возрастающая в этом интервале,
Обращающаяся в 0
при v=0 и удовлетворяющая условие
Формулу
Стирлинга выведем из равенства
Положим далее введенная выше
обратная функция, удовлетворяющая условиям u = -1при ,и при .Замечая что(см.4.2)
вычисление же
производится при помощи логарифмов
если целое
положительное число, то и (4.5) превращается в приближенную формулу
вычисления факториалов при больших значениях n
приведем без
вывода более точную формулу
где в скобках
стоит не сходящийся ряд.
Для вычисления
гамма-функции используется аппроксимация её логарифма. Для аппроксимации
гамма-функции на интервале x>0 используется следующая формула (для комплексных
z):
Г(z+1)=(z+g+0.5) z+0.5 exp(-(z+g+0.5)) [a 0 +a 1 /(z+1)+a 2 /(z+2)+...+a n /(z+n)+eps]
Эта формула
похожа на аппроксимацию Стирлинга, но в ней имеется корректирующая серия. Для
значений g=5 и n=6, проверено, что величина погрешности ε не
превышает 2*10 -10 . Более того, погрешность не превышает этой
величины на всей правой половине комплексной плоскости: z > 0.
Для получения
(действительной) гамма-функции на интервале x>0 используется рекуррентная
формула Г(z+1)=zГ(z) и вышеприведенная аппроксимация Г(z+1). Кроме того, можно
заметить, что удобнее аппроксимировать логарифм гамма-функции, чем ее саму.
Во-первых, при этом потребуется вызов только одной математической функции - логарифма,
а не двух - экспоненты и степени (последняя все равно использует вызов логарифма),
во-вторых, гамма-функция - быстро растущая для больших x, и аппроксимация ее логарифмом
снимает вопросы переполнения.
Для аппроксимации
Ln(Г(х) - логарифма гамма-функции - получается формула:
log(Г(x))=(x+0.5)log(x+5.5)-(x+5.5)+
log(C 0 (C 1 +C 2 /(x+1)+C 3 /(x+2)+...+C 7 /(x+8))/x)
Значения
коэффициентов C k - табличные данные (см. в программе).
Сама
гамма-функция получается из ее логарифма взятием экспоненты.
Гамма функции являются удобным
средством для вычисления некоторых интегралов в частности многих из тех
интегралов, которые не представимы в элементарных функциях.
Благодаря этому они широко применяются в
математике и ее приложениях, в механике, термодинамике и в других отраслях
современной науки.
Ильин О.А.,
Садовничий В.А., Сендов Бл.Х.,М.,”Московский университет”,1987
3. Сборник задач
по математическому анализу:
4. Интегралы и
ряды специальные функции:
Прудников А.П.,
Брычков Ю.А.,М.,Наука,1983
6.Асимптотика и
специальные функции
7.Зоопарк чудовищ
или знакомство со спецмальными функциями
Приложение 1 - График
гамма-функции действительного переменного
Таблица – таблица
значений гамма-функции при некоторых значениях аргумента.
Приложение 3 –
листинг программы, рисующий таблицу значений гамма-функции при некоторых
значениях аргумента.
Приложение 4 –
листинг программы, рисующей график гамма-функции
Реферат.............................................................. ...................................3
Введение............................................................ ...................................4
Теоретическая часть…………………………………………………….5
Бета функция Эйлера…………………………………………….5
Гамма функция.................................................. ...................................8
2.1.
Определение………………………………………………...8
2.2. Интегральное
представление………………………………8
2.3. Область определения и
полюсы…………………………..10
2.4. Представление Ганкеля через
интеграл по петле………..10
2.5. Предельная форма
Эйлера………………………………...12
2.6. Формула для
произведения………………………………..13
Производная гамма функции .......................... ..................................15
Вычисление интегралов. Формула
Стирлинга...........................18
Примеры вычислений интегралов.................... ..................................23
Практическая
часть…………………………………………………….24
Заключение....................................................... ..................................25
Список литературы……………………………………………..............26
Приложения……………………………………………………………..27
График
гамма-функции действительного переменного
lg1=log(cof[0]*(cof[1]+cof[2]/(x+1)+cof[3]/(x+2)+cof[4]/(x+3)+cof[5]/(x+4)+cof[6]/(x+5)+cof[7]/(x+6))/x);
lg=(x+0.5)*log(x+5.5)-(x+5.5)+lg1;
printf("\n\t\t\t_________________________________________");
printf("\n\t\t\t| x |Gamma(x) |");
printf("\n\t\t\t_________________________________________");
printf("\n\t\t\t|
%f | %f |",x[i],g[i]);
printf("\n\t\t\t_________________________________________");
printf("\n Dlia
vuhoda iz programmu najmite lybyiy klavishy");
Double
dze[5]={1.6449340668422643647,
1.20205690315959428540,
1.08232323371113819152,
1.03692775514336992633,
1.01734306198444913971};
Double a=x,
y, fc=1.0, s, s1, b;
Printf (“вы ввели неправильные данные, попробуйте
снова\n”); return -1.0;
A=x+1.0;
S=s+b*dze[i]/(i+2.0);
Nb=exp((i.0/6.0)*(7.0*log(a)-log(42/0)-log(eps)))+I;
For(j=0;
j<5; j++)
{
Si=si+b/(j+1.0);
B=-b*a/n;
}
S=s+si-log(1.0+a/n);
Double dx,dy,
xfrom=0,xto=4, yto=5, h, maxy, miny;
Int n=100, I,
gdriver=DETECT, gmode, X0, YN0, X, Y, Y0,pr=0;
Initgraph(&gdriver,&gmode,
“ ”);
Line(20, getmaxy
()-30, getmaxx ()-20, getmaxy ()-30);
Line(640,450,635,445);
Line(170,445,170,455);
Line(320,445,320,455);
2.1 Определение Курсовая работа (п). Математика.
Курсовая Теория Менеджмента Синергия
Реферат Про Чернобыль
Контрольная работа по теме Охрана объектов животного мира и среды их обитания Алтайского края
Реферат: Рыночная экономика в России и вхождение России в мировой рынок. Скачать бесплатно и без регистрации
Культурология как наука
Реферат На Тему Государственное Регулирование Инновационной Деятельности В России
Контрольная Работа На Тему Психическое Заражение И Подражание
Контрольные Работы 6 Класс По Зубарева
Курсовая работа по теме Анализ процесса управления оборотными средствами на ОАО 'ЗМЗ'
Реферат по теме Кровезаменители и препараты крови
Курсовая Работа На Тему Вина Как Основание Гражданско-Правовой Ответственности
Организация Медицинской Помощи Лпу Рк Реферат
Контрольная Работа Россия Как Партнер Нато
Реферат: Градостроительный кадастр
Реферат: Terrorism As An International Phenomenon Essay Research
Контрольная работа по теме Субъекты административной ответственности
Сочинение Свет И Тени Обломова
Написать Сочинение Мои Добрые Дела И Поступки
Реферат: Основные типы политических систем современности. Скачать бесплатно и без регистрации
Реферат по теме Действие алкоголя
Похожие работы на - Перспективы для развития нефтедобывающего кластера Самарской области
Похожие работы на - Здоровье без лекарств
Реферат: Комплексный территориальный кадастр природных ресурсов