Основные понятия математического анализа - Математика краткое изложение

Главная

Математика
Основные понятия математического анализа

Определение определенного интеграла, правила вычисления площадей поверхностей и объемов тел с помощью двойных и тройных интегралов. Понятие и виды дифференциальных уравнений, способы их решения. Действия над комплексными числами, понятие и свойства рядов.


посмотреть текст работы


скачать работу можно здесь


полная информация о работе


весь список подобных работ


Нужна помощь с учёбой? Наши эксперты готовы помочь!
Нажимая на кнопку, вы соглашаетесь с
политикой обработки персональных данных

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Определение определенного интеграла
Правило вычисления двойного интеграла.
Вычисление объемов тел с помощью двойного интеграла
Вычисление площадей поверхностей фигур с помощью двойного интеграла.
Вычисление объемов тел с помощью тройного интеграла.
1. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными
2. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
3. Линейные дифференциальные уравнения
Дифференциальные уравнения второго порядка.
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Геометрическое изображение комплексных чисел
Признаки сходимости и расходимости знакоположительных рядов.
Знакопеременные и знакочередующиеся ряды.
Определение определенного интеграла
Геометрический смысл ОИ : равен площади криволинейной трапеции.
Аналогично ОИ выводится и двойной интеграл.
Пусть задана функция двух переменных z=f(x,y), которая определена в замкнутой области S плоскости ХОУ.
Интегральной суммой для этой функции называется сумма
Она распространяется на те значения i и к, для которых точки (x i ,y k ) принадлежат области S.
Двойной интеграл от функции z=f(x,y), определенной в замкнутой области S плоскости ХОУ, называется предел соответствующей интегральной суммы.
Правило вычисления двойного интеграла
Двойной интеграл вычисляется через повторные или двукратные интегралы. Различаются два основных вида областей интегрирования.
1. (Рис.1) Область интегрирования S ограничена прямыми х=а, х=в и кривыми
Для такой области двойной интеграл вычисляется через повторный по формуле:
Сначала вычисляется внутренний интеграл:
При вычислении внутреннего интеграла `у' считается переменной, а `х'-постоянной.
2. (Рис.2) Область интегрирования S ограничена прямыми у=С, у=d и кривыми
Для такой области двойной интеграл вычисляется через повторный по формуле:
Сначала вычисляется внутренний интеграл, затем внешний.
При вычислении внутреннего интеграла `х' считается переменной, а `у'-постоянной.
3. Если область интегрирования не относится ни к 1 ни ко второму случаю, то разбиваем ее на части таким образом, чтобы каждая из частей относилась к одному из этих двух видов.
Вычисление объемов тел с помощью двойного интеграла
Объем тела, ограниченного сверху поверхностью z=f(x,y), снизу- плоскостью z=0 (плоскость ХОУ) и с боков- цилиндрической поверхностью, вырезающей на плоскости ХОУ область S, вычисляется по формуле:
Вычисление площадей поверхностей фигур с помощью двойного интеграла
Если гладкая поверхность задана уравнением z=f(x,y), то площадь поверхности (Sпов.), имеющей своей проекцией на плоскость ХОУ область S, находится по формуле:
Определяется аналогично двойному интегралу.
Тройной интеграл от функции U=f(x,y,z), распространенным на область V, называется предел соответствующей трехкратной суммы.
Вычисление тройного интеграла сводится к последовательному вычислению обыкновенных (однократных) нтегралов.
Вычисление объемов тел с помощью тройного интеграла
Это интегралы: - с бесконечными пределами; - от неограниченной функции.
Несобственные интегралы с бесконечными пределами имеют вид:
Несобственные интегралы от функции в пределах от (а) до () определяются равенством.
Если этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся ; если предел не существует или равен бесконечности, то несобственный интеграл называется расходящимся (ряд сходится или расходится?). Это и есть ответ.
Несобственные интегралы от неограниченной функции имеют вид: , где существует точка “с” (точка разрыва) такая, что ; , т.е. (в частности c=a; c=b).
Если функция f(x) имеет бесконечный разрыв в точке “с” отрезка [a;b] и непрерывна при или , то полагаем:
Если пределы в правой части последнего равенства существуют и конечны, то несобственный интеграл сходится , если пределы не существуют или равны бесконечности - то расходятся .
1 . Дифференциальное уравнение - уравнение , связывающее независимую переменную х, искомую функцию f(x) и ее производные .
Символически дифференциальное уравнение выглядит:
2 . Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение:
F(x,y,y')=0- дифференциальное уравнение первого порядка.
F(x,y,y',y'')=0- дифференциальное уравнение второго порядка.
3 . Решением дифференциального уравнения называется всякая функция , которая при подстановке в уравнение, обращает его в верное тождество.
Для того чтобы решить дифференциальное уравнение надо его проинтегрировать.
Дифференциальное уравнение первого порядка.
Это уравнение можно привести к виду y'=f(x,y).
После вычисления возникает постоянная С. Поэтому решение фактически зависит не только от х, но и от С, т.е. y=f(x,C). Придавая С различные значения, мы получаем множество различных решений дифференциального уравнения. Эти решения (y=f(x,C)) называются общим решением дифференциального уравнения.
Придавая С различные значения получаем различные решения дифференциального уравнения. Так как С имеет бесконечное множество значений, то и решений будет бесконечное множество (которые отличаются друг от друга путем сдвига на несколько единиц).
Геометрически общее решение представляет собой семейство кривых на координатной плоскости ХОУ.
Пусть в дифференциальном уравнении заданы дополнительные условия, что при х=х0 функция принимает значение у=у0. Это дополнительное условие называется начальным условием и записывается: а ). у=у0 при х=х0; б ). ; в ). у(х0)=у0.
Геометрически начальное условие означает некоторую точку (х0,у0) на плоскости ХОУ.
Подставляя в начальное условие , находим вполне определенные значения постоянной С. Тогда является частным решением уравнения.
Геометрически частное решение обозначает: начальное условие задает некоторую точку на плоскости и из семейства кривых (общее решение) выбирается та единственная кривая, которая проходит через эту точку.
Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения ( теорема Коши ).
Если в дифференциальном уравнении y=f(x,y) функция f(x,y) и ее частная производная определены и непрерывны в некоторой области Д на плоскости ХОУ, то какова бы ни была внутренняя точка (х0,у0) этой области, данное уравнение имеет единственное решение , удовлетворяющее начальному условию у=у0 при х=х0.
Геометрически смысл заключается в следующем: каждой точке (х0,у0) области Д соответствует только одна интегральная кривая, проходящая через эту точку (каждой точке соответствует только одно частное решение).
Замечание . “Найти частное решение”=“Решить задачу Коши”.
Существует 4 вида дифференциальных уравнений первого порядка.
1. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.
Дифференциальные уравнения первого порядка в общем виде можно записать либо через производные F(x,y,y')=0, либо через дифференциалы
Дифференциальное уравнение- уравнение с разделяющимися переменными, если его можно представить в виде:
В этих уравнениях в произведениях стоят функции, каждая из которых зависит от одной переменной (х или у). Т.е. уравнение будет уравнением с разделяющимися переменными, если его можно преобразовать так, чтобы в одной его части была только одна переменная, а в другой - только другая.
Замечание. При решении дифференциальное уравнение ответу можно придать различную форму в зависимости от того, как записана произвольная постоянная С.
Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
Функция f(x,y) называется однородной функцией n-го измерения, если при любом выполняется условие: .
Дифференциальное уравнение y'=f(x,y) есть однородное, если функция f(x,y) является однородной функцией нулевого измерения.
Дифференциальное уравнение P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 однородное, если P(x,y) и Q(x,y) являются однородными функциями одного и того же измерения.
Однородное уравнение всегда можно привести к виду и с помощью замены однородное уравнение всегда приводится к уравнению с разделяющимися переменными (; y=xt; y'=t+xt').
Линейные дифференциальные уравнения
ЛДУ - уравнения вида y'+P(x)y=Q(x)- первого порядка относительно у и у'.
Для решения ЛДУ применяем замену: y=UV, тогда y'=U'V+UV'
Далее U'+P(x)U=0, получаем два уровнения с разделяющимися переменными:
1 ). U'+P(x)U=0 находим U. 2 ). UV'=Q(x) находим V. . С ставится только при вычислении второго уравнения.
Замечание . Выражение, стоящее в скобках, можно прировнять к нулю, т.к. одну из функций можно взять произвольной, другую - определяем на основании ЛДУ.
УБ - дифференциальные уравнения вида y'+P(x)y=Q(x)*y n , где
- т.к. при этих значениях уравнение будет линейным.
УБ решаются так же, как и линейные.
Дифференциальные уравнения второго порядка
Дифференциальные уравнения второго порядка в общем виде записываются: F(x,y,y',y'')=0
Как и в случае дифференциальных уравнений первого порядка для решения дифференциальных уравнений второго порядка существуют общее и частное решения. Но, если для дифференциальных уравнений первого порядка решение зависело от одной константы С, то для дифференциальных уравнений второго порядка решение зависит от двух постоянных: - общее решение.
Если заданы начальные условия (у=у0, у=у0 при х=х0), то получаем частное решение, удовлетворяющее этим начальным условиям.
Начальные условия так же могут задаваться в виде:
1. Случай н епосредственного интегрирования
y''=f(x)- решение этого уравнения находится путем двукратного интегрирования.
2. Когда дифференциальное уравнение явно не содержит у, т.е. F ( x , y ' , y ”)=0
С помощью замены у'=р; это уравнение приводим к уравнению первого порядка .
3. Когда дифференциальное уравнение явно не содержит х, т.е. F ( y , y ' , y ”)=0.
С помощью замены y'=p, это уравнение приводим к уравнению первого порядка .
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Линейными однородными дифурами второго порядка с постоянными коэффициентами называются уравнения вида:
Составим характеристическое уравнение:
которое получается из данного уравнения путем замены в нем производных искомой функции соответствующими степенями “к”. Причем сама функция заменяется единицей.
Если к1 и к2 - корни характериситического уравнения, то общее решение однородного уравнения имеет один из следующих трех видов:
1). , если к1 и к2 - действительные и различные, т.е. D>0.
2). , если к1 и к2 - действительные и равные, т.е. к1=к2, D=0.
3). , если к1 и к2 - комплексные, т.е. ; D<0.
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
y0 - общее решение соответствующего однородного уравнения; - частное решение соответствующего однородного уравнения.
Т.е. для нахождения общего решения неоднородного уравнения `у', сначала находят общее решение соответствующего однородного уравнения у0, а затем частное решение , и складывают их.
Частное решение неоднородного уравнения находится методом неопределенных коэффициентов .
Для нахождения частных решений рассмотрим несколько случаев.
1. Пусть правая часть f(x) имеет вид:
, где P n (x) - многочлен n-ой степени.
А) . Если `а' не является корнем характеристического уравнения k 2 +pk+q=0, то частное решение имеет вид: , где Q n (x) - многочлен той же степени, что и P n (x), только с неопределенными коэффициентами.
P n (x)=8 - многочлен 0-ой степени (n=0). Q n (x)=A;
P n (x)=2x-3 - многочлен 1-ой степени (n=1). Q n (x)=Ax+B;
P n (x)=x 2 - многочлен 2-ой степени (n=2). Q n (x)=Ax 2 +Bx+C;
P n (x)=3x 3 -3x - многочлен 3-ей степени (n=3). Q n (x)=Ax 3 +Bx 2 +Cx+D.
Замечание . Многочлен Q n (x) всегда должен быть полный, т.е. содержать все степени х. Коэффициенты А,В,С,Д и т.д. находим по методу неопределенных коэффициентов непосредственно при решении каждого конкретного уравнения.
Б). Если а является однократным корнем характеристического уравнения k 2 +pk+q=0, то есть совпадает с одним из корней характеристического уравнения, то частное решение имеет вид: .
В). Если а является двукратным корнем характеристического уравнения k 2 +pk+q=0, то есть совпадает с двумя корнями характеристического уравнения, то частное решение имеет вид: .
Если , то , где r- кратность корня `а' в характеристическом уравнении, т.е. r=0, если `а' не есть корень; r=1, если `а' совпадает с одним из корней; r=2, если `а' совпадает с двумя корнями.
2. Если правая часть f(x) имеет вид:, где P n ( x ) -многочлен n-ой степени; Q m ( x ) -многочлен m-ой степени.
Тогда возможны следующие два случая:
А). Если не является корнем характеристического уравнения k 2 +pk+q=0 (), то частное решение имеет вид: , где S N (x), T N (x)-многочлены степени N с неопределенными коэффициентами, где N=max из n и m (N=max{n,m}), т.е. степень N многочленов S N (x) и T N (x) равна наибольшей из степеней многочленов P n (x) и Q m (x).
Б). Если является корнем характеристического уравнения k 2 +pk+q=0 (), то частное решение имеет вид:
- Если в правой части f(x) неоднородного уравнения во 2 случае отсутствует одно из слагаемых, т.е. P n (x)=0 или Q m (x)=0, то частное решение все равно записывается в полоном виде.
- Если правая часть f(x) неоднородного уравнения в 1 и 2 случаях есть сумма нескольких функций (f(x)= f 1 (x)+ f 2 (x)+… f n (x)), то .
- Так же рассматриваем все комбинации при расчете : cosx, sinx, xcosx, xsinx,x 2 cosx, x 2 sinx.
Комплексным числом (z) называется выражение z=x+iy, где х и у- действительные числа, i-мнимая единица.
Геометрическое изображение комплексных чисел
Существуют следующие формы комплексных чисел: алгебраическая (x+iy), тригонометрическая (r(cos+isin)), показательная (re i ).
Всякое комплексное число z=x+iy можно изобразить на плоскости ХОУ в виде точки А(х,у).
Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется плоскостью комплексного переменного z (на плоскости ставим символ z).
Ось ОХ - действительная ось, т.е. на ней лежат действительные числа. ОУ - мнимая ось с мнимыми числами.
x + iy - алгебраическая форма записи комплексного числа.
Выведем тригонометрическую форму записи комплексного числа.
Подставляем полученные значения в начальную форму:
r ( cos + isin ) - тригонометрическая форма записи комплексного числа.
Показательная форма записи комплексного числа следует из формулы Эйлера:
z= re i - показательная форма записи комплексного числа.
1. сложение. z 1 +z 2 =(x1+iy1)+ (x2+iy2)=(x1+x2)+i(y1+y2);
2 . вычитание. z 1 -z 2 =(x1+iy1)- (x2+iy2)=(x1-x2)+i(y1-y2);
3. умножение. z 1 z 2 =(x1+iy1)*(x2+iy2)=x1x2+i(x1y2+x2y1+iy1y2)=(x1x2-y1y2 )+i(x1y2+x2y1);
4 . деление. z 1 /z 2 =(x1+iy1)/(x2+iy2)=[(x1+iy1)*(x2-iy2)]/[ (x2+iy2)*(x2-iy2)]=
Два комплексных числа, которые отличаются только знаком мнимой единицы, т.е. z=x+iy (z=x-iy), называются сопряженными.
- Если комплексные числа заданы в тригонометрической форме.
То произведение z1*z2 комплексных чисел находится: , т.е. модуль произведения равен произведению модулей, а аргумент произведения равен сумме аргументов сомножителей.
- Если комплексные числа заданы в показательной форме.
- Если комплексные числа заданы в тригонометрической форме.
- Если комплексные числа заданы в показательной форме.
1. Комплексное число задано в алгебраической форме.
z=x+iy, то z n находим по формуле бинома Ньютона :
- число сочетаний из n элементов по m (число способов, сколькими можно взять n элементов из m).
В полученном выражении нужно заменить степени i их значениями:
i 0 =1 Отсюда, в общем случае получаем: i 4 k =1
2. Если комплексное число задано в тригонометрической форме.
Здесь n может быть как “+” так и “-” (целым).
3. Если комплексное число задано в показательной форме:
Его решением будет корень n-ой степени из комплексного числа z: .
Корень n-ой степени из комплексного числа z имеет ровно n решений (значений). Корень из действующего числа n-ой степени имеет только одно решение. В комплексных - n решений.
Если комплексное число задано в тригонометрической форме:
z=r(cos+isin), то корень n-ой степени от z находится по формуле:
Пусть переменная а принимает последовательно значения а 1 ,а 2 ,а 3 ,…,а n . Такое перенумерованное множество чисел называется последовательностью. Она бесконечна.
Числовым рядом называется выражение а 1 +а 2 +а 3 +…+а n +…= . Числа а 1 ,а 2 ,а 3 ,…,а n - члены ряда.
Ряд считается заданным, если известен n-ый (общий член ряда).
Числовой ряд имеет бесконечное число членов.
Числители - арифметическая прогрессия (1,3,5,7…).
Знаменатель - геометрическая прогрессия .
Рассмотрим сумму первых n членов ряда и обозначим ее Sn.
Ряда сходящийся , если этот предел конечен (конечный предел S существует).
Ряд расходящийся , если этот предел бесконечен.
В дальнейшем наша задача заключается в следующем: установить какой ряд.
Одним из простейших, но часто встречающихся рядов является геометрическая прогрессия.
Геометрическая прогрессия является сходящимся рядом , если , и расходящимся, если .
Также встречается гармонический ряд (ряд ). Этот ряд расходящийся .
1. Если сходится а 1 +а 2 +а 3 +…+а n +…=, то сходится и ряд а m +1 +а m+2 +а m+3 +…, полученный из данного ряда отбрасыванием первых m членов. Этот полученный ряд называется m-ым остатком ряда. И, наоборот: из сходимости m-го остатка ряда вытекает сходимость данного ряда. Т.е. сходимость и расходимость ряда не нарушается, если прибавить или отбросить конечное число его членов.
2 . Если ряд а 1 +а 2 +а 3 +… сходится и его сумма равна S, то ряд Са 1 +Са 2 +…, где С= так же сходится и его сумма равна СS.
3. Если ряды а 1 +а 2 +… и b 1 +b 2 +… сходятся и их суммы равны соответственно S1 и S2, то ряды (а 1 +b 1 )+(а 2 +b 2 )+(а 3 +b 3 )+… и (а 1 -b 1 )+(а 2 -b 2 )+(а 3 -b 3 )+… также сходятся. Их суммы соответственно равны S1+S2 и S1-S2.
4. а). Если ряд сходится, то его n-ый член стремится к 0 при неограниченном возрастании n (обратное утверждение неверно).
- необходимый признак (условие) сходимости ряда .
б). Если то ряд расходящийся - достаточное условие расходимости ряда .
-ряды такого вида исследуются только по 4 свойству. Это расходящиеся ряды.
Признаки сходимости и расходимости знакоположительных рядов.
Знакоположительные ряды это ряды, все члены которых положительные. Эти признаки сходимости и расходимости мы будем рассматривать для знакоположительных рядов.
Пусть даны два знакоположительных ряда а 1 +а 2 +а 3 +…+а n +…=(1) и b 1 +b 2 +b 3 +…+b n +…=(2).
Если члены ряда (1) не больше соответствующих членов ряда (2), т.е. а n b n и ряд (2) сходится , то и ряд (1) также сходится.
Если члены ряда (1) не меньше соответствующих членов ряда (2), т.е. а n b n и ряд (2) расходится , то и ряд (1) также расходится.
Этот признак сравнения справедлив, если неравенство выполняется не для всех n, а лишь начиная с некоторого.
Если существует конечный и отличный от нуля предел , то оба ряда сходятся или расходятся одновременно.
-ряды такого вида расходятся по второму признаку сравнения. Их надо сравнивать с гармоническим рядом.
Если для знакоположительного ряда (а 1 +а 2 +а 3 +…+а n +…=) существует (1), то ряд сходится, если q<1, расходится, если q>1. Если q=1 то вопрос остается открытым.
Если для знакоположительного ряда существует предел (2), то ряд сходится, если q<1, расходится, если q>1. Если q=1 то вопрос остается открытым.
Если существует предел . Это есть несобственный интеграл и обозначается .
Если этот предел конечен, то говорят, что несобственный интеграл сходится. Ряд, соответственно, сходится или расходится.
Пусть ряд а 1 +а 2 +а 3 +…+а n +…=- знакоположительный ряд.
Обозначим a n =f(x) и рассмотрим функцию f(x). Если f(x)- функция положительная, монотонно убывающая и непрерывная, то, если несобственный интеграл сходится, то и данный ряд сходится. И наоборот: если несобственный интеграл расходится, то и ряд расходится.
Очень часто встречаются ряды - ряд Дерихле . Он сходится, если p>1, расходится p<1. Гармонический ряд является рядом Дерихле при р=1. Сходимость и расходимость данного ряда легко доказать с помощью интегрального признака Коши.
Знакопеременные и знакочередующиеся ряды
Знакопеременный ряд - это ряд, среди членов которого имеются как + так и - члены.
Частным случаем знакопеременного ряда является знакочередующийся ряд. Это ряд, у которого за каждым + членом следует -, и наоборот, т.е. знаки чередуются.
Пусть задан знакопеременный ряд а 1 +а 2 +а 3 +…+а n +…= (1) (члены как + так и -).
Возьмем ряд (3), составленный из абсолютных величин членов ряда (1). Ряд (3) является знакоположительным рядом.
Если ряд (3) сходится, то ряд (1) также сходится и называется абсолютно сходящимся (ответ получен сразу).
- ряд (1) сходится, то ряд (1) называется условно сходящимся;
- ряд (1) расходится, то ряд (1) называется расходящимся.
При исследовании знакоположительных рядов можем получить 2 ответа: ряд сходится или ряд расходится.
При исследовании знакопеременных рядов могут получиться 3 ответа: ряд сходится абсолютно, ряд сходится условно, ряд расходится.
Если (3) - сходится (1) - сходится абсолютно.
При исследовании на сходимость знакопеременного ряда (1) начинать надо с разбора знакоположительного ряда (3). Т.к. ряд (3)- знакоположительный ряд, то к нему можно применить все признаки сходимости для знакоположительных рядов.
Из расходимости ряда (3) не следует расходимость ряда (1), но если (3) расходится по признакам Даламбера или Коши радикальный , то расходится не только ряд (3), но и ряд (1) .
Если ряд - знакочередующийся, то для него дается еще один признак сходимости :
Если для знакочередующегося ряда b1-b2+b3-b4+…(bn0) выполняются условия:
2 . , - то данный ряд сходится условно .
Понятие интеграла. Приложения двойных интегралов к задачам механики: масса плоской пластинки переменной плотности; статические моменты и центр тяжести пластинки; моменты инерции пластинки. Вычисление площадей и объёмов с помощью двойных интегралов. реферат [508,3 K], добавлен 16.06.2014
Понятия, связанные с рядами и дифференциальными уравнениями. Необходимый признак сходимости. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов. Уравнение Эйри и Бесселя. Примеры интегрирования в Maple. Приближенные вычисления с помощью рядов. курсовая работа [263,9 K], добавлен 11.12.2013
Вычисление общего решения дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными. Расчет определенного интеграла с точностью до 0,001. Определение вероятности заданных событий, математического ожидания и дисперсии случайной величины. контрольная работа [543,4 K], добавлен 21.10.2012
Понятие определенного интеграла, его геометрический смысл. Численные методы вычисления определенных интегралов. Формулы прямоугольников и трапеций. Применение пакета Mathcad для вычисления интегралов, проверка результатов вычислений с помощью Mathcad. курсовая работа [1,0 M], добавлен 11.03.2013
Способы вычисления интегралов. Формулы и проверка неопределенного интеграла. Площадь криволинейной трапеции. Неопределенный, определенный и сложный интеграл. Основные применения интегралов. Геометрический смысл определенного и неопределенного интегралов. презентация [1,2 M], добавлен 15.01.2014
Особенности вычисления объемов тел, ограниченных поверхностями, с применением геометрического смысла двойного интеграла. Определение площадей плоских фигур, ограниченных линиями, с использованием метода интегрирования в курсе математического анализа. презентация [67,9 K], добавлен 17.09.2013
История интегрального исчисления. Определение и свойства двойного интеграла. Его геометрическая интерпретация, вычисление в декартовых и полярных координатах, сведение его к повторному. Применение в экономике и геометрии для вычисления объемов и площадей. курсовая работа [2,7 M], добавлен 16.10.2013
Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д. PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах. Рекомендуем скачать работу .

© 2000 — 2021



Основные понятия математического анализа краткое изложение. Математика.
Реферат На Тему Режим Дня
Формирование Личности Профессионала Реферат
Реферат: Методика расследования преступлений. Скачать бесплатно и без регистрации
Обучение Рисованию Зимнего Пейзажа Курсовая
Дипломная работа: Финансовая политика государства
Курсовая работа по теме Разработка рекламной печатной продукции для фотосалона 'Вдохновение'
Реферат: Единая европейская валюта и международная экономика
Реферат: Виды и роль эмоций в жизни человека. Скачать бесплатно и без регистрации
Сочинение По Теме Золотая Осень 3 Класс
Эссе По Обществознанию На Тему Терроризм
Клише Для Сочинений 9.2 И 9.3
Курсовая работа по теме Инвестиционный проект строительства спортивно-развлекательного горнолыжного комплекса
Курсовая работа по теме Абсорбер тарельчатого типа
Курсовая работа по теме Правовое обеспечение предпринимательской деятельности
Контрольные работы: Религия и мифология.
Реферат: Закрытый перелом
Теоретическая Аргументация Эссе Обществознание
Отчет По Практике Кадастровые Отношения
Эссе Роль Трудовой Деятельности В Жизни Человека
Реферат: Пабло Руис Пикассо. Скачать бесплатно и без регистрации
Приостановление предварительного расследования - Государство и право курсовая работа
Экологические проблемы Астраханской области - Краеведение и этнография реферат
Расчет себестоимости, определение номинала, отпускной цены и рентабельности издания - Журналистика, издательское дело и СМИ контрольная работа