Основные понятия дифференциального исчисления и история их развития (Бакалавр). Реферат. Математика.
💣 👉🏻👉🏻👉🏻 ВСЯ ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻
Вы можете узнать стоимость помощи в написании студенческой работы.
Помощь в написании работы, которую точно примут!
Похожие работы на - Основные понятия дифференциального исчисления и история их развития (Бакалавр)
Скачать Скачать документ
Информация о работе Информация о работе
Скачать Скачать документ
Информация о работе Информация о работе
Скачать Скачать документ
Информация о работе Информация о работе
Нужна качественная работа без плагиата?
Не нашел материал для своей работы?
Поможем написать качественную работу Без плагиата!
Студентки IV курса
физико–математического факультета
1. Основные
понятия дифференциального исчисления функций одной переменной.
1.1.
Определение производной и её геометрический смысл.
1.2.
Дифференциальные функции. Определение дифференциала.
1.3.
Инвариантность формы первого дифференциала.
1.4.
Дифференциал суммы, произведения и частного.
1.5.
Геометрическая интерпретация дифференциала.
2. Основные
понятия интегрального исчисления функций одной переменной.
2.1.
Первообразная функция и неопределённый интеграл.
2.2.
Геометрический смысл неопределённого интеграла.
2.3.
Основные свойства неопределённого интеграла.
2.4.
Метод непосредственного интегрирования.
2.5.
Метод замены переменной (способ подстановки).
2.7.
Определённый интеграл как предел интегральной суммы.
2.8.
Основные свойства определённого интеграла.
2.9.
Геометрический смысл определённого интеграла.
2.12.
Замены переменных в определённых интегралах.
3. Исторические
сведения о возникновении и развитии основных понятий.
3.1.
Происхождение понятия определённого интеграла и инфинитезимальные методы
Архимеда.
3.2.
От Архимеда к Кеплеру и Кавальери.
3.4.
«О глубокой геометрии» Лейбница.
Цель
работы: «Изучить основные понятия дифференциального и интегрального исчислений
и ознакомиться с историей их развития».
Пусть функция y = f( х ) определена в
окрестности точки х о . возьмём точку х 1 этой
окрестности, отличную от х о .
Определение.
Разность х 1 – х 0 , которую обозначают
символом D х , будем
называть приращением независимой переменной.
Определение . Подобным
образом соответствующая разность
у 1
– у 0 = f ( х 1 ) – f ( х 0 ),
обозначается символом D у
и называется приращением зависимой переменной, или приращением функции.
х 1 = х 0
+ D х ,
у 1 = у 0
+ D у ,
Так как у 0 = f ( х 0 ),
то D у = f ( х 0 + D х ) – f ( х 0 ).
Определение .
Частное будем называть разностным
отношением.
Выражение f ( х 0 + D х )– f ( х 0 )
(принимая что х 0 имеет
определённое постоянное значение) можно считать функцией приращения D х .
Определение.
Если предел этого выражения при D х ,
стремящемся к нулю, существует, то его мы будем называть производной функции у
= f ( х ) по х в точке х 0
lim f ( х 0 + D х )– f ( х 0 ) lim D у
D х ®0 D х D х ®0 D х
Пример. у=х 2 . Вычислите
производную для х= 2.
Имеем: f ( х+ D х ) = ( х+ D х ) 2 ,
Поэтому D у
= ( х+ D х ) 2
– х 2 = 2 х D х+( D х) 2
Переходя к пределу получим: = 2 х
+ = 2 х .
Рассмотрим график функции у = f ( х )
(рис.1)
Легко заметить, что отношение равно
тангенсу угла a, образованного
положительным направлением секущей, проходящей через точки А и В
(соответствующие точкам х и х +D х ),
с положительным направлением оси О х, то есть, от А к В если теперь
приращение D х будет
стремиться к нулю, точка В будет стремиться к А, то угол a будет стремиться к s, образованному положительным
направлением касательной с положительным направлением оси О х, а tg
a будет стремиться к tg
s.
Таким образом, можно утверждать следующее:
Производная в данной точке х равна тангенсу
угла, образованного положительным направлением касательной в соответствующей
точке ( х , f ( х )) нашей кривой с положительным направлением
оси О х .
Определение.
Функция у = f ( х ) называется дифференцированной в точке х,
если её приращение D у
в этой точке можно представить в виде
где a (D х ) = 0
При таком определении a
имеет для всех D х
a (D х ) = – f’ ( х ) = f’ ( х )
– f’ ( х ) = 0,
Таким образом, для функции одной переменной
дифференцируемость и существование производной — понятия равносильные.
то
главную линейную часть f’ ( х )D х ,
её приращения будем обозначать d х у, d х f ( х )
и называть дифференциалом переменной у по переменной х в точке х .
Написав
для симметрии d х х вместо D х,
получим следующую формулу:
откуда = f’ ( х ).
Заметим ещё, что дифференциалы d х у
и d х х являются функциями переменной х, причём функция d х х
принимает постоянное значение D х.
В случае, когда переменная у = f ( х )
была функцией независимой переменной х, мы имеем, по определению,
D у
= f’ ( х )D х
или d х х = f’ ( х ) d х х (1)
Рассмотрим теперь случай, когда х является в
свою очередь функцией другой переменной,
Теорема.
Если функции х = j( t )
и у = y( t )
дифференцируемы в соответствующих точках t = t 1
и х = х 1 = j( t 1 ), то дифференциал сложной
функции у = f (j( t )) = y( t ) может быть представлен в
виде
d t у
= f’ ( х 1 ) d t х.
Доказательство:
Согласно определению дифференциала имеем
d t х = j’( t 1 )
d t t (1 1 )
d t у
= y’( t 1 ) d t t
(2)
Но
на основании теоремы о производной сложной функции мы видим, что
y’( t 1 ) = f’ ( х 1 )
j’( t 1 )
Подставив
это выражение в формулу (2), получим:
d t у
= f’ ( х 1 ) j’( t 1 )
d t t ,
d t у
= f’ ( х 1 ) d t х (3)
Сравнив формулу (1) с формулой (3), мы заметим что
их можно записать символически в виде
dу = f’ ( х )
dх (4)
Формулу (1) или (3) мы получаем из формулы (4),
написав вместо d, соответственно d х или d t .
Символы dх и dу не являются
совершенными, однако во многих случаях, когда возможность ошибиться будет
исключена, мы будем ими пользоваться вместо символов d х х и d х у
или, соответственно, d t х и d t у.
Значение формулы (4) становится ясным, если
обратить внимание на то, что при отыскании производной приходится пользоваться
двумя формулами для определения производной у по х. А именно,
когда переменная у зависит непосредственно от х , то
у’ х = f’ ( х );
когда же зависимость переменной у от х
даётся при помощи некоторой (промежуточной) функции и , то
у’ х = f’(и)и’ х .
При отыскании же дифференциалов получим в обоих
случаях одинаковые формулы:
d х у = f’ ( х )
d х х , d х у = f’ ( и ) d х и
или
dу = f’ ( х )
dх, dу = f’ ( и ) dи.
Из теорем о производных суммы, произведения и
частного можно получить аналогичные формулы для дифференциалов суммы,
произведения и частного. Пусть и и J
— функции от х:
и = f(х), J = j( х ),
имеющие непрерывные частные производные.
то у’ х = и’ х
+ J’ х ,
откуда у’ х dх = и’ х
dх + J’ х dх ,
то есть d ( и + J) = dи + d J.
d ( ) = .
Замечание.
На практике часто бывает выгоднее оперировать дифференциалами, а потом
делением на дифференциал независимой переменной переходить к производной.
Дифференциал можно
геометрически представить следующим образом:
Из рис. 2 видно, что dу = f’ ( х ) dх
= tg a .
dх = СД.
Таким образом, если D у
– приращение ординаты кривой, то dу – приращение ординаты касательной.
= a (D х )
= 0
На практике, когда речь идёт только о приближённых
значениях, можно для малых приращений dх считать
D у
= dу = f’ ( х ) dх.
Основной задачей дифференциального исчисления
является нахождение производной f’ ( х ) или дифференциала f’ ( х ) dх
данной функции f ( х ).
В интегральном исчислении решается обратная задача:
Дана функция f ( х ); требуется найти
такую функцию F( х ), производная которой f ( х ) dх в
области определения функции f ( х ), то есть, в этой области
функции f ( х ) и F( х ) связаны соотношением F’( х ) =
f ( х ) или dF(х)= F’(х)dх = f(х)dх.
Определение.
Функция F( х ) называется первообразной функцией для данной функции f ( х ),
если для любого х из области определения f ( х ) выполняется
равенство F’( х ) = f ( х ) или dF(х) = f(х)dх.
Примеры. 1) Пусть f ( х )
= cos х.
Решение: Тогда F( х )
= sin х, так как F’( х ) = cos х = f ( х )
или dF(х) = cos х dх = f ( х ) dх
Решение: Тогда F( х ) = ,
так как F’( х ) = х 2 = f ( х ) или dF(х)
= х 2 dх = f ( х ) dх.
Известно, что если две функции f ( х ) и
j( х ) отличаются друг от
друга на постоянную величину, то производные или дифференциалы этих функций
равны, то есть, если f ( х ) = j( х ) + С, то f’ ( х ) = j’( х ) или f’ ( х ) dх = j’( х ) dх.
Известно также, что и наоборот, если две функции f ( х )
и j( х ) имеют одну и ту
же производную или один и тот же дифференциал, то они отличаются друг от друга
на постоянную величину, то есть, если
f’ ( х ) = j’( х ) или dхf ( х ) = d j( х ), то
f ( х ) = j( х ) + С.
Замечание.
Действительно, если производная f’ ( х ) обращается в нуль для
любых значений х в ( а,в ), то в этом интервале f ( х )
= С.
В самом деле, если х 1 Î ( а,в ) и х 2
Î ( а,в ), то в
силу теоремы Лагранжа, имеем f ( х 2 ) – f ( х 1 )
= ( х 2 –х 1 ) f’ ( х 0 ),
где х 1 < х 0 < х 2 .
Но, так как f’ ( х 0 ) = 0, то f ( х 2 )
– f ( х 1 ) = 0.
Отсюда непосредственно следует что, если в формуле у = F( х ) + С
мы будем придавать постоянной С все возможные значения, то получим все
возможные первообразные функции для функции f ( х ).
f ( х ) dх
f ( х ) dх
= F( х ) + С, (А)
Неопределённым интегралом называют не только
множество всех первообразных, но и любую функцию этого множества.
Определение . Нахождение первообразной по
данной функции f ( х ) называется интегрированием
Пусть задан неопределённый интеграл F( х ) + С
для функции f ( х ) в некотором интервале. При фиксированном
значении С = С 1 получим конкретную функцию у 1 = F( х )
+ С 1 , для которой можно построить график; его называют интегральной
кривой. Изменив значение С и положив С = С 2 , получим другую
первообразную функцию С соответствующей новой интегральной кривой.
Аналогично можно построить график
любой первообразной функции. Следовательно, выражение у = F( х ) + С
можно рассматривать как уравнение семейства интегральных кривых неопределённого
интеграла F( х ) + С. Величина С является параметром этого семейства –
каждому конкретному значению С соответствует единственная интегральная кривая в
семействе. Интегральную кривую, соответствующую значению параметра С 2 ,
можно получить из интегральной кривой, соответствующей значению параметра С 1 ,
параллельным сдвигом в направлении оси О у на величину /С 2 – С 1 /.
На рис. 3 изображён неопределённый интеграл х 2 + С от функции
f ( х ) = 2 х, то есть, семейства парабол.
1) Производная
неопределённого интеграла равна подынтегральной функции, то есть,
f ( х ) dх
= F( х ) + С, (V)
[ f ( х ) dх
]’ = [F( х ) + С ]’,
[ f ( х ) dх
]’ = F’(х) + С 1 = F’( х ) = f ( х ) .
d
f(х)dх = f(х)dх
d f(х)dх = d(F(х) + С) = dF(х) = dС = F’(х)dх = f(х)dх
dF(х) = F( х )
+ С, (v)
d dF(х) = dF ( х ) (по свойству 2)
dF(х) = F( х )
+ С
4) Постоянный множитель
можно выносить за знак неопределённого интеграла, то есть
а f(х)dх = а f(х)dх ( а ¹
0 )
и d [ a f ( х )dx
] = ad f(х)dх =а f(х)dх
(в силу свойства
дифференциала)
Таким образом,
дифференциалы функций
а f ( х ) dх
= а f ( х ) dх.
[ f 1 ( х ) + f 2 ( х ) – f 3 ( х )] dх
= f 1 ( х ) dх + f 3 ( х ) dх
– f 3 ( х ) dх (v)
Доказательство:
Продифференцируем обе части равенства.
d
[ f 1 ( х ) + f 2 ( х ) – f 3 ( х )] dх
= [ f 1 ( х ) + f 2 ( х ) – f 3 ( х )] dх
= d f 1 ( х ) dх
+ f 2 ( х ) dх – f 3 ( х ) dх
Применяя свойство 1, в правой части последнего
равенства получаем
f 1 ( х ) dх + f 2 ( х ) dх
– f 3 ( х ) dх = [ f 1 ( х ) + f 2 ( х )
– f 3 ( х )] dх
Итак, после дифференцирования обеих частей равенства
(v) получены тождественные результаты, следовательно, справедлива формула (v)
(см. доказательство свойства 3).
Определение . Непосредственным интегрированием
называется интегрирование заключающееся в прямом применении формул таблицы
основных интегралов. Чтобы найти неопределённый интеграл от какой–нибудь
функции f ( х ), нужно прежде всего отыскать в таблице интегралов
формулу в левой части которой стоит интеграл такого же вида, как данный, и
записать ответ в соответствии с правой частью этой формулы.
Таким
образом, 2 х 2/3 dх = х 3 х 2
+ С.
=
Применяя
формулу, получаем tg 3 х + С
В тех случаях, когда под знаком интеграла стоит
алгебраическая сумма обычно разлагают данный интеграл на сумму нескольких
интегралов, из которых каждый можно найти по соответствующей формуле.
=
2 х 3 dх + 9 х 2 dх – 5
х 1/2 + 4 dх / х =
=
х 4 / 2 + 3 х 3 – 10/3 х х + 8 х
+ С.
f ( х ) dх = f [j( t )]j’( t ) dt, (1)
где х = j( t )
– дифференцируемая функция от t, производная которой j’( t ) сохраняет знак для
рассматриваемых значений переменных.
d [ f ( х ) dх
] = f(х)dх = f [j( t )]
j’( t ) dt
d f [j( t )] j’( t ) dt = f [ j( t ) ] j’( t ) dt
Таким образом, формула (1) справедлива. Часто
употребляется обратная замена переменной, то есть, подстановка t = j( t ), dt = j’( t ) dх.
Данный интеграл можно свести к табличному интегралу
(V). Подстановка выбирается из простого соображения: в подынтегральном
выражении табличного интеграла (V) в основании степени и под знаком
дифференциала стоит одно и тоже выражение и .
= 1/2 * и 5 /5
+ С = + С.
Допустим, что u, v – функции переменной х,
непрерывные и имеющие производные в интервале ( а,в ). имеем тогда
( uv )’ = uv’
+ vu’
так что uv’ = ( uv )’ – vu’
udv = uv – vdu .
(2)
v = е х dх = е х
J = хе х – е х dх
= хе х – е х + С.
Положим, u = ln
х, dи = dх / х
J = х ln х – dх = х ln х
– х + С..
Пусть интервал [ а,в ],
на котором задана функция у = f ( х ), разбит точками деления
х 1 < х 2
< … < х п – 1 на п частичных
интервалов D 1 = [ х 0 ,х 1 ],
D 2 = [ х 1 ,х 2 ],
…, D n = [ х п–1 ,х п ],
где а =х 0 , в = х п , причём в каждом
частичном интервале D i
выбрана какая–либо точка a i :
х i–1 £ a i £
х i ( i = 1, 2, …, п ). Пусть, далее, D х i – длина
интервала D i ,
то есть,
х i
– х i–1 = D х i
( i = 1, 2, …, п ),
а max D х i – наибольшее
из чисел D х i .
(1) f ( a 1 ) D х 1 + f ( a 2 ) D х 2 + … + f ( a п ) D х п = å f ( a i ) D х i ,
когда длины D х i всех частичных
интервалов D i
стремятся к нулю (при этом с необходимостью число п этих интервалов
будет стремиться к бесконечности). Другими словами, требуется найти предел этой
суммы при max D х i ® 0, так как
условие, что максимальная из длин частичных интервалов D i стремится к нулю,
равносильно условию, что все D х i ® 0.
lim
å f ( х i )
D х i .
Определение. Сумму
(1) называют интегральной суммой.
Определение . Функция f ( х )
называется интегрируемой на интервале [ а,в ], если существует конечный
предел
lim
å f ( a i ) D х i , (2)
не
зависящий от того, каким образом интервал [ а,в ] делится на
частичные интервалы и каким образом выбираются точки a i на этих частичных
интервалах, лишь бы длина максимального из них стремилась к нулю. Этот предел
называется определённым интегралом от функции f ( х ) на интервале
[ а,в ] и обозначается символом
f ( х ) dх
= lim å f ( a i ) D х i .
Для того чтобы не
оставалось неясностей, сформулируем точно, как следует понимать предел (2).
|å f ( a i )D х i – J |< e
при
любом выборе частных интервалов, D 1 , D 2 , …, D п и точек a 1 , a 2 , …, a п на этих
интервалах, лишь бы только выполнялось требование max D х i ® 0, то есть
лишь бы длина наибольшего (а значит, и всех) из частичных интервалов была
меньше d.
Из определения
определённого интеграла отнюдь не следует, что любая функция интегрируема на
любом интервале. Можно подобрать такие функции, для которых определённый
интеграл не существует, то есть для которых интегральная сумма не стремится к определённому
пределу. Существование определённого интеграла от функции, заданной на
интервале [ а,в ], обеспечивает непрерывность этой функции на [ а,в ],
поэтому непрерывность функции на [ а,в ] является достаточным условием её
интегрируемости на этом интервале, то есть
Теорема
1. Если функция f ( х ) непрерывна на замкнутом интервале [ а,в ],
то она интегрируема на этом интервале, то есть имеет определённый интеграл
f ( х ) dх.
Иногда на практике
приходится интегрировать и разрывные функции. Приведём несколько более широкое
достаточное условие существования интеграла.
Теорема
2 . Если на интервале [ а,в ] функция ограничена и имеет лишь
конечное число точек разрыва, то она интегрируема на [ а,в ].
Теорема 1. Пусть с –
промежуточная точка интервала [ а,в ] ( а < с <
в ). Тогда имеет место равенство
f ( х ) dх = f(х)dх + f(х)dх,
если
все эти три интеграла существуют.
å f ( a i )D х i
å f ( a i )D х i = å f ( a i )D х i = å f ( a i )D х i
соответствующие
интервалам [ а,с ] и [ с,в ].
Переходя к пределу при
неопределённом уменьшении длины максимального частного интервала D х i , то есть, при max
D х i ® 0, будем иметь
f ( х ) dх
= f(х)dх + f(х)dх,
Теорема 2. Постоянный
множитель можно выносить за знак определённого интеграла, то есть
k
f ( х ) dх = k f(х)dх.
Теорема
3. Определённый интеграл от алгебраической суммы нескольких
непрерывных функций равен алгебраической сумме определённы интегралов от этих
функций.
Доказательство: Докажем, например, что
[ f 1 ( х )
+ f 2 ( х ) – f 3 ( х )] dх =
f 1 ( х ) dх + f 2 ( х ) dх
– f 3 ( х ) dх
= f 1 ( х ) dх
+ f 2 ( х ) dх – f 3 ( х ) dх
Теорема 3. (о
среднем значении определённого интеграла)
Если функция f ( х )
непрерывна на [ а,в ], то внутри него найдётся такая точка С.
Доказательство: Так как
функция f ( х ) непрерывна на [ а,в ], то она достигает своего
наибольшего и наименьшего значений М и т на [ а,в ].
произведём обычное разбиение интервала [ а,в ], на п частичных
интервалов D i
длиной D х i =
х f ( a i )
³ т – х i–1
( i = 1, …, п ).
Так как f ( a i ) ³ т при любом a i , то
так как å D х i = D х 1 + D х 2 + … + D х п = в – а.
Так как, далее, f ( a i ) £ т, при любом a i , то
то есть, å f ( a i )D х i £ М ( в – а ).
т ( в
– а ) £ å f ( a i )D х i £ М ( в – а ).
Переходя
к пределу при max D х i ® 0, получим
неравенства
т ( в
– а ) £ f ( х ) dх
£ М ( в – а )
( в – а )
Из этих неравенств и
теореме о непрерывной функции на [ а,в ], принимающей в этом [ а,в ]
все промежуточные значения между своими наибольшими и наименьшими значениями,
следует, что отношение
f ( х ) dх
( в – а )
можно принять за значение f ( с )
функции f ( х ) в некоторой промежуточной точке с интервала [ а,в ]
( т £ f(с) £ М ).
( f ( х ) dх )
/ ( в – а ) = f ( с )
f ( х ) dх = ( в – а ) f ( с )
S = f ( х ) dх
Таким образом, в случае, когда f ( х ) ³ 0, то есть, когда график
функции у = f ( х ) располагается над осью О х, определённый
интеграл численно равен площади S криволинейной трапеции.
Если же f ( х ) = 0 при а £ х £ в, то есть если
кривая располагается под осью О х , то сумма
равна сумме площадей криволинейной
трапеции аАВв, взятой со знаком минус (рис. 4)
Тогда с геометрической точки зрения определённый
интеграл от f ( х ) dх численно равен площади S криволинейной
трапеции, ограниченной интервалом [ а,в ] оси О х ( а £ х £ в ), непрерывной
кривой у = f ( х ) и отрезками прямых х = а, х =
в, равными f ( а ) и f ( в ).
Пусть функция f непрерывна на [ а,в ].
тогда она интегрируема на любом отрезке, [ а,х ], где а £ х £ в, то есть, для
любого х Î [ а,в ],
существует интеграл
F ( х )
= f ( t ) dt (V)
Если f ( t )³0 "
tÎ[ а,в ], то F ( х )
= S ( х ), где S ( х ) – площадь криволинейной трапеции а АL( х )
(рис. 5)
Эта функция непрерывна и дифференцируема на [ а,в ].
А именно имеет место следующая теорема.
F’ ( х ) = ( f ( t ) dt )
= f ( х ) 1 , х Î
[ а,в ] .
Доказательство: Пусть
х Î [ а,в ], х
+ D х Î [ а,в ]; тогда в силу
теоремы 1 пункта 2.12. получим
F ( х + D х ) = f ( t ) dt
= f ( t ) dt + f ( t ) dt
Найдём соответствующее
приращение DF функции F.
Используя равенства (V) и теорему 4 пункта 2.12. имеем
DF
= F ( х + D х )
– F ( х ) = f ( t ) dt = f(с) D х, где
с Î [ х, х + D х ]
Если D х ® 0, то х + D х ® 0 и с ® х, так как с Î [ х, х+ D х ].
Тогда в силу непрерывности f получим
Легко вытекает следующее утверждение: всякая
непрерывная на [ а,в ] функция имеет на этом отрезке первообразную при
этом одной из первообразных является интеграл (V).
f ( х ) dх
= f ( t ) dt + С, х Î
[ а,в ]
Теорема. Если Ф – первообразная для
непрерывной на [ а,в ] функции f , то определённый интеграл от
функции f вычисляется по формуле
f ( х ) dх = Ф( в ) – Ф( а ).
Доказательство: Пусть
Ф некоторая первообразная для функции f . В силу предыдущей теоремы
функция (V) также является первообразной для функции f . Поскольку две
первообразные Ф и F отличаются друг от друга на некоторую постоянную, имеем
f ( х ) dх
= Ф( х ) + С (1)
Положим в последнем
равенстве х = а. Так как
f ( х ) dх
= 0,
то Ф( а ) + С = 0, откуда С = – Ф( а )
Подставляя найденное
значение С в соотношение (1), имеем
f ( х ) dх
= Ф( х ) – Ф( а ).
Полагая в последнем соотношении х = в
и обозначая переменную t через х, окончательно получим равенство
указанное в теореме.
f ( х ) dх
= Ф( х )| = Ф( в ) – Ф( а )
2) = ln |x
+ x 2 +1| = ln (1+Ö2)
– ln 1 = ln (1+Ö2)
Пусть
требуется в определённом интеграле
f ( х ) dх
применить подстановку х = j( t ). Тогда имеет место
следующая формула замены переменных в определённом интеграле:
f ( х ) dх = f [j( t )]j’( t ) dt,
Эту формулу мы докажем при
условиях:
1. Функции j( t ) и j’( t ) непрерывны в [a, b].
2. Функция f ( х )
определена и непрерывна для всех значений, которые функция х = j( t ) принимает в [a, b].
F( х ) = f ( х ) dх,
т £ х £ М.
F[j( t )] = f [j( t )]j’( t ) dt.
Отсюда
f [j( t )]j’( t ) dt = F[j( b )]
– F[j( a )] = F( в ) – F( а )
Так как f ( х ) dх
= F( в ) – F( а )
то из сравнения последних
двух равенств получим доказываемую формулу.
J
= t 2 dt = t 3 /3| = (2Ö2 – 1)/3.
Пусть функции f ( х )
и j( х ) непрерывны
вместе со своими производными в интервале [ а,в ]. Пусть, далее,
F ( х )
= f ( х ) j( х ).
Тогда F’ ( х )
= f ( х ) j’( х )
f’ ( х ) j( х ).
откуда f ( х )
j’( х ) dх = f ( х )
j( х )| – f’ ( х )
j( х ) dх
х cos
х dх
х cos х dх = х sin х| – sin х dх = – 2
ln х dх.
=
[ х ln х ] – [ х ] = 2 ln 2 – 1 = ln 4 – 1
В математике XVII в. самым большим
достижением справедливо считается изобретение дифференциального и интегрального
исчисления. Сформировалось оно в ряде сочинений Ньютона и Лейбница и их
ближайших сотрудников и учеников. Введение в математику методов анализа
бесконечно малых стало началом больших преобразований, быстро изменивших всё
лицо математики и поднявших её роль в системе естественно научных знаний
человечества.
Однако появление анализа бесконечно
малых не было делом рук одного или нескольких учёных, их гениальной догадки.
Оно в действительности было завершением длительного процесса,
внутриматематическая сущность которого состояла в накоплении и выделении
элементов дифференциального и интегрального исчисления и теории рядов.
Для создания исчисления бесконечно
малых внутри математики XVII в. сложились достаточные предпосылки. Это были:
наличие сложившейся алгебры и вычислительной техники; введение в математику
переменной величины и координатного метода; усвоение инфинитезимальных идей
древних, особенно Архимеда; накопление методов решения задач на вычисление
квадратур, кубатур, определение центров тяжести, нахождение касательных,
экстремалей и т.д.
Понятие интеграла и интегральное
исчисление возникли из потребности вычислять площади любых фигур и поверхностей
и объёмы произвольных тем. Предыстория интегрального исчисления восходит к
глубокой древности. Идея интегрального исчисления была древними учёными
предвосхищена в большей мере, чем идея дифференциального исчисления.
Следует особо упомянуть об одном
интегральном методе Архимеда, примененном в следующих его произведениях:
«О шаре и цилиндре», «О спиралях» и
«О коноидах и сфероидах». В последнем произведении рассмотрены объёмы
сегментов, получаемых при сечении плоскостью тел, образованных вращением вокруг
оси эллипса, параболы или гиперболы.
В терминологии Архимеда
«прямоугольный коноид» – это параболоид вращения, «тупоугольный коноид» – одна
полость двуполостного гиперболоида вращения, «сфероид» – элипсоид вращения.
В XIX предложении своего произведения
«О коноидах и сфероидах» Архимед доказывает следующую лемму: «Если дан сегмент
какого–нибудь из коноидов, отсечённый перпендикулярной к оси плоскостью, или же
сегмент какого–нибудь из сфероидов, не больший половины этого сфероида и точно
также отсечённый, то можно вписать в него телесную фигуру и описать около него
другую, состоящих из имеющих равную высоту цилиндров, и притом так, что
описанная фигура больше вписанной на величину, меньшую любой наперёд заданной
телесной величины.»
Эта лемма является ярким примером
метода интегральных сумм, существо которого состоит в следующем: тело вращения
разбивается на части и каждая часть аппроксимируется описанным и вписанным
телами, объёмы которых можно вычислить. Сумма объёмов описанных тел будет больше,
а сумма вписанных тел – меньше объёма тела вращения. Теперь остаётся выбрать
аппроксимирующее сверху и снизу тела таким образом, чтобы разность их объёмов
могла быть сделана сколь угодно малой. Это достигается выбором в качестве
указанных тел соответствующих цилиндриков.
Архимед фактически
вводит понятие интегральных сумм, верхних V п и нижних v п
и находит объём V полуэллипсоида, как общий предел этих сумм при п ® ¥.
Так же он определяет объём сегментов параболоида и гиперболои
Похожие работы на - Основные понятия дифференциального исчисления и история их развития (Бакалавр) Реферат. Математика.
Курсовая работа по теме Инновационная деятельность предприятия ООО 'ИКЕА'
Контрольная работа: Різновиди українських народних пісень
Реферат: Проблема творчества в истории философии
Практическая Работа Очистка Поваренной Соли
Реферат: Анализ и прогнозирование финансово-хозяйственной деятельности ОАО Липецкая энергосбытовая ком
Реферат Про Амины
Тема Диссертации Рогозина
Контрольная работа: Endogenous Cycle Models
Книга Мой Лучший Друг Сочинение
Сочинение Для Чего Надо Учиться
Реферат: Издержки производства сущность, виды, структура
Шмелев Собрание Сочинений
Дипломная работа по теме Українсько-російські культурні відносини у 1991–2004рр.
Курсовая работа по теме Идентификация стратегий предприятия ОАО 'Томский электромеханический завод'
Реферат по теме Философский трактат Канта 'Критика чистого разума'
Реферат: Шпора ВЭД
Дипломная работа по теме Прекращение деятельности юридических лиц
Курсовая работа по теме Сущность кредитования населения банком
Лабораторная Работа По Биологии 8 Класс Колесов
Реферат: Термодинамическая оптимизация процессов разделения
Реферат: Вплив кадмію на показники азотного і вуглеводного обміну в організмі щурів різного віку
Контрольная работа: Экономическое развитие в период правления М. Тэтчер (Великобритания)
Реферат: Средства создания мультимедийных приложений