Основные динамические свойства и их классификация - Математика курсовая работа

Главная

Математика
Основные динамические свойства и их классификация

Динамические системы в математическом понимании. Определение функционирующей системы и системы процессов. Основные и неосновные переменные динамики систем, множества их значений, типовые кванторы. Определения и классификация динамических свойств.


посмотреть текст работы


скачать работу можно здесь


полная информация о работе


весь список подобных работ


Нужна помощь с учёбой? Наши эксперты готовы помочь!
Нажимая на кнопку, вы соглашаетесь с
политикой обработки персональных данных

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.


Федеральное агентство по образованию
ГОУ ВПО ''Магнитогорский государственный университет''
Основные динамические свойства и их классификация
I. Функционирующие и развивающиеся системы
1 Основные переменные в динамике систем
2 Определение функционирующей системы
3 Некоторые способы задания функционирующих систем
1 Определение системы процессов; процессы
2 Некоторые замечания о природе процессов и среды
III. Основные динамические свойства и их классификация
1 Основные и неосновные переменные динамики систем, множества их значений, типовые кванторы
3 Классификация динамических свойств
Одной из важных научных проблем естествознания является решение задачи предсказания поведения изучаемого объекта во времени и пространстве на основе определенных знаний о его начальном состоянии. Эта задача сводится к нахождению некоторого закона, который позволяет по имеющейся информации об объекте в начальный момент времени t0 в точке пространства x0 определить его будущее в любой момент времени t > t0. В зависимости от степени сложности самого объекта этот закон может быть детерминированным или вероятностным, может описывать эволюцию объекта только во времени, только в пространстве, а может описывать пространственно-временную эволюцию.
Предметом нашего анализа будут не объекты вообще, а динамические системы в математическом понимании этого термина, будут рассмотрены основные динамические свойства систем процессов и проведена их классификация.
К примеру, об актуальности данной темы, основным классическим строгим методом анализа многих динамических свойств нелинейных систем является метод функций Ляпунова. Созданный для исследования устойчивости движения он широко применяется в настоящее время благодаря работам Н. Г. Четаева, Е. А. Барбашина, Н. Н. Красовского, Т. Иосидзава и других ученых для анализа многих динамических свойств, таких, как устойчивость при постоянно действующих возмущениях, ограниченность, диссипативность, существование и единственность периодических решений дифференциальных уравнений, существование и корректность решений, устойчивость и другие динамические свойства инвариантных множеств и т. д.
I. Функционирующие и развивающиеся системы
1. Основные переменные в динамике систем
Для описания систем в динамике целесообразно прежде всего рассмотреть абстрактные аналоги времени, входов (начальные данные, возмущения, управления), движений (процессов) и выходов (или состояний), а также соответствующие множества (пространства), определяющие области их изменения.
При классическом описании (классическая динамическая система, общая система В. И. Зубова и др.) время принимает значения из вещественной оси (времени) ??1 = (-?, +?) (непрерывное время) или ее подмножества (например, из множества натуральных чисел N (дискретное время)), обладающего естественным отношением порядка, евклидовой нормой, свойством группы или полугруппы и т. д. Такое представление о времени слишком ограничительно, так как часто возникает необходимость рассматривать время, принимающее значения в плоскости комплексных чисел ?? (Ляпунов, 1956) или даже в конечномерном пространстве ??n (например, при изучении многомерных дифференциальных уравнений (Перов, 1966) и т. д.).
Поэтому, в ряде работ проанализированы более общие определения времени, принимающего значения из частично упорядоченного множества (Барбашин, 1946), топологической (Немыцкий, 1946) или произвольной (Sullivan, 1970; Сибирский, 1970) группы, локально-компактной полугруппы (Gilbert, Knops, 1967), частичного группоида (Windeknecht, Mesarovic, 1967) и т. д. Попытка охватить большую часть перечисленных подходов приводит к следующему определению, используемому в дальнейшем.
Время t принимает значения из множества T, наделенного некоторой структурой ??. Любой элемент t множества T называется моментом времени.
В множестве T выделяется непустое подмножество T0 ? T начальных моментов времени t0 ? T0 (с сужением ??0 на него структуры ?? из T). Выделение множества T0 начальных моментов времени объясняется тем, что изучение решений некоторых задач и функционирования ряда систем оказывается возможным, если начальный момент времени t0 фиксирован (T0 - singl) или принадлежит некоторому собственному подмножеству (T0 ? T). Например, при t0 ? T0 решение задачи Коши может существовать, а при t0 ? T0 - нет.
Здесь структуры ??, ??0 понимаются в смысле Н. Бурбаки (1965а) и охватывают структуры порядка, линейные, топологические и др. Далее будем опираться также на следующее общее понятие пространства.
Пространством называется множество с введенным на нем некоторым семейством собственных подмножеств. В частности, топологическое или векторное пространство есть множество с определенной на нем топологической или линейной структурой, задающей семейство его открытых множеств, соответственно линейных подпространств.
Вход при t0 ? T0 понимается как совокупность начальных данных (при данном t0 ? T0), возмущений и управлений .
Начальные данные для обыкновенных дифференциальных и разностных уравнений представляют элементы конечномерного пространства ??n, для систем с последействием или с распределенными параметрами - элементы функциональных пространств. Возмущения и управления обычно также задаются некоторыми функциями и, значит, могут быть представлены как элементы некоторых функциональных пространств. Таким образом, их совокупность (вход ) - элемент некоторого пространства входов , являющегося прямым произведением пространств начальных данных , возмущений и управлений , в котором в зависимости от классов этих пространств может быть введена индуцированная из них некоторая метрика, топология или другая структура, определяющая систему окрестностей, открытых множеств или вообще некоторое семейство множеств .
В различных задачах, связанных с описанием некоторыми классами интегральных, интегродифференциальных и других уравнений, и могут существенно зависеть от t0 (для , ? , ? , вообще может не совпадать с и может не совпадать с ). Например, в некоторых системах встречается описание на различных промежутках времени обыкновенными дифференциальными уравнениями различной размерности. При этом размерность начальных данных в задаче Коши будет зависеть от выбора t0 того или иного из указанных промежутков времени.
Для любого t0 ? T0 будем считать заданным пространство входов как непустое множество входов с определенным на нем семейством множеств .
Упорядоченная пара h ? (, ) образует исходные данные. Вводится пространство исходных данных
с определенным на нем семейством начальных оценочных множеств
Некоторые или все множества ? могут быть пустыми.
Выход также понимается обобщенно, и ему приписывается различный смысл в зависимости от вида описания системы.
Например, для абстрактной динамической управляемой системы (Калман и др., 1971) при так называемом внешнем описании системы выход будет пониматься в смысле Калмана как значение в текущий момент времени некоторой выходной функции времени и состояния системы в текущий и (или) некоторые предшествующие моменты времени. При внутреннем описании определяется лишь состояние системы в текущий момент времени. В нашем изложении оно и будет пониматься в качестве выхода (в отличие от Р. Калмана). При полном описании системы выход в нашем смысле - совокупность состояния и выхода в смысле Калмана. Такая гибкая трактовка выхода, входа и времени позволит унифицировать различные описания систем.
Выход в этом обобщенном смысле представляет в каждый момент времени t элемент x некоторого пространства выходов (конечномерного, функционального или другого), являющегося, может быть, прямым произведением пространства состояний и пространства внешних выходов в обычном смысле с индуцированными из них метрикой, топологией или другой структурой и соответственно системой окрестностей, открытых множеств или вообще семейством множеств . В ряде известных случаев пространство выходов (состояний) системы может существенно изменяться с течением времени. Такой пример системы с непрерывным временем уже приводился. Пример системы с дискретным временем - численный процесс (Бабушка и др., 1969), в котором на каждом шаге вычислений возникает новое нормированное пространство состояний. При моделировании развивающихся организационных и экономических систем, живых организмов и т. д. также могут появиться пространства входов и выходов, изменяющиеся с течением времени, т. е. для , ? T, ? вообще ? .
Учитывая это, для любого t ? T будем считать заданным пространство выходов как непустое множество выходов x ? с определенным на нем семейством множеств .
Семейства , множеств , при этом могут задаваться, например, с помощью некоторых отношений r(), r(), аксиом ??(), ??() (пространств выходов и входов).
Упорядоченная пара (t, x) называется позицией.
Вводится пространство позиций как множество позиций
с определенным на нем множеством ? текущих оценочных множеств
(некоторые или все множества P могут оказаться пустыми). Вводится также множество
Теперь , (соответственно ) можно рассматривать как сечения множеств ??, P (соответственно H, ) при t ? T (соответственно при ). С другой стороны, множества ?? и H определяют отображения
где (соответственно ) - множество всех подмножеств множества X (соответственно множества H).
Очевидно, всегда ?? ? T Ч X, H ? Ч H.
Для классических пространственно-временных систем, изучавшихся в динамике, пространства входов и выходов не зависят от времени и могут быть обозначены , ,
Для них ?? = T Ч = T Ч X, H = Ч = Ч H.
Замечание. Здесь и далее используются формулы с типовыми кванторами (Бурбаки, 1965а), т. е. формулы с кванторами общности и существования вида
(что означает: для любого значения операторной переменной z из типовой формулы ?? следует формула ??),
(что означает: существует такое значение операторной переменной, что имеют место типовая формула ?? и формула ??). Часто типовая формула ?? имеет вид (z ? Z) ? , для таких формул с типовыми кванторами используются записи
(для любого z из множества Z, удовлетворяющего условию , выполняется формула ??),
(существует элемент z множества Z, удовлетворяющий условию , такой, что выполняется формула ??).
Например, для классической динамической системы в метрическом пространстве R
T ? ??1, ? {0} (или ? ??1), = X ? R ? = H, ?? = ??1 Ч R, H = {0} Ч R, где {0} - множество, состоящее из одной точки 0 ? ??1.
Движения, или процессы, в абстрактной динамике по смыслу должны представлять частичные функции (однозначные) времени t (области их определения включены в T) такие, что для всякого t из области определения функции ее значение принадлежит пространству выходов (график частичной функции является подмножеством пространства позиций ??). Такие частичные функции обозначаются
dom x ? T, (?t ? dom x) x(t) ? . (9)
В соответствии с этим вводится множество таких частичных функций времени со значениями в пространствах выходов
Ф ? {{x: t > x(t), dom x > X}: dom x ? T, (?t ? dom x) x(t) ? }. (10)
Иногда его будем называть пространством движений (или пространством процессов).
Таким образом, выделены пять основных переменных динамики систем со значениями:
При построении абстрактной динамики систем как аксиоматической теории эти основные переменные считаются заданными apriori исходными символами (неопределяемые предметные переменные), хотя, конечно, на них могут и будут накладываться условия, сужающие множества их значений.
2. Определение функционирующей системы
Пусть даны множество T (значений абстрактного времени) с некоторой структурой ??, определенной на нем; его непустое подмножество T0 ? T (начальных моментов времени) с сужением ??0 на него структуры ??). Для любого t ? T задано пространство выходов (множество с определенным на нем семейством ? множеств ? ), а для любого , кроме того, задано пространство входов (множество с определенным на нем семейством ? множеств ? ).
На них в соответствии с (1) - (10) вводятся пространство исходных данных H (множество H, образованное по формуле (1) с определенным на нем семейством ? начальных оценочных множеств ? H (по (2)); множество H (по (3)) и отображение (по (8)); пространство позиций ?? (множество ?? (по (4)) с определенным на нем семейством ? текущих оценочных множеств P ? ?? (по (5))); множество X (по (6)) и отображение (по (7)); множество Ф (по (10)) частичных функций x (9) времени t со значениями в пространствах выходов . Совокупность этих множеств и пространств
Называется средой. При ее определении задание структуры ?? и семейств , может производиться с использованием отношений r(??), r(), r() и аксиом ??(??), ??(), ??() (отношения и аксиомы среды).
Функционирующей системой в среде называется отношение r между пространством исходных данных H и множеством Ф (частичных функций x времени t со значениями в пространствах выходов ), удовлетворяющее вообще некоторым аксиомам ??.
Аксиомы ?? функционирующей системы могут и отсутствовать. Отношение r между множествами H и Ф представляет собственное подмножество их прямого произведения Ф Ч H, т. е. r ? Ф Ч H. Принадлежность (x, h) ? r обозначается xrh.
Таким образом, чтобы определить функционирующую систему Ф, надо знать кортеж множеств и пространств
Удовлетворяющих аксиомам ??, условиям r ? Ф Ч H (условие отношения),
Ф ? {{x: t > x(t)}: dom x ? T, (?t ? dom x) x(t) ? }
(условие функционирования системы),
(условия образования множеств H и ??), условиям образования структуры ?? и семейств множеств , (например, выраженным через отношения и аксиомы среды), условиям образования семейств множеств и ((2), (5) с заменой символа ? на =).
Отношению r ? Ф Ч H функционирующей системы отвечают область его определения (в пространстве H исходных данных h)
dom r ? pr2r ? {h ? H: (?x ? Ф) xrh} ? H
и множество значений (в множестве Ф частичных функций x)
range r ? pr1r ? {x ? Ф: (?h ? H) xrh} ? Ф.
Любая частичная функция x ? range r называется движением. Исходные данные h ? dom r называются допустимыми.
Отношению r, определенному на множествах Ф и H функционирующей системы, отвечает частичное многозначное отображение из H в Ф, при котором образом элемента h ? dom r ? H (соответственно множества ? dom r) является непустое множество движений rh ? {x ? range r: xrh} ? Ф (соответственно r ? {x ? range r: (?h ? ) xrh} ? Ф), называемое функционированием системы при данном h (соответственно при ).
Можно сказать, что функционирующая система Ф характеризуется частичным мультиотображением r из множества H в множество Ф, удовлетворяющим аксиомам ??, условиям функционирования и образования множеств H, ??, структуры ??, семейств , , , .
Каждый элемент x ? rh (при h ? dom r) называется движением с исходными данными h и обозначается x( • , h) или x( • , , ). Оно представляет частичную функцию времени со значениями в пространствах выходов x( • , h): t > x(t, h), dom x( • , h) > X.
Область определения движения x( • , h) обозначается T(x, h) ? dom x( • , h) ? T; значение частичной функции x( • , h) при t ? T(x, h) обозначается x(t, h) (подробнее x(t, , )) и принадлежит . Множество x(T(x, h), h) = Ux(t, h) ? X точек x(t, h) ? X для всех t ? T(x, h) называется траекторией движения x( • , h).
Функционирование rh системы при данном h ? dom r, т. е. множество всех движений с данными h, определяет функцию достижимости f( • , h) при данном h как частичное отображение из T в : f( • , h): (t, h) > f(t, h), dom f( • , h) > , задаваемое равенством
Множество моментов времени t ? T, для которых f(t, h) ? Ш, называется областью определения функции достижимости f( • , h) при данном h и обозначается
T(f, h) ? dom f( • , h) = ? {t ? T: f(t, h) ? Ш} ? T.
называется множеством достижимости при исходных данных h, а f(t, h) - множеством достижимости в момент времени t при исходных данных h.
Функционирования rh системы при различных h ? dom r определяют функцию достижимости f как частичное отображение из T Ч dom r в
Множество пар (t, h) ? T Ч dom r, для которых f(t, h) не пусто, называется областью определения функции достижимости и обозначается
dom f ? {(t, h) ? T Ч dom r: f(t, h) ? Ш} = {(t, h) ? T Ч H: h ? dom r, t ? T(f, h)}.
{x ? X: (?(t, h) ? dom f) x ? f(t, h)} ?
называется множеством достижимости системы, а
- множеством достижимости системы в момент времени t.
Прообразом любого движения x при частичном многозначном отображении r является непустое множество исходных данных xr ? {h ? dom r: xrh} ? H.
В дальнейшем системы с изменяющимся с течением времени пространством выходов называются развивающимися, а с постоянным пространством выходов ( = X = X0) - неразвивающимися.
Классические пространственно-временные системы, изучавшиеся в динамике, являются неразвивающимися. Примеры развивающихся систем - численный процесс И. Бабушки и др. (1969) и система с непрерывным временем и с пространством выходов (состояний) меняющейся размерности на разных промежутках времени, приведенная в п. 1.
3. Некоторые способы задания функционирующих систем
Все системы и другие конструкции, упомянутые во введении, при соответствующем выборе r, Ф, H могут быть представлены как функционирующие системы (ФС) и, таким образом, рассмотрены как различные их конкретизации, определяющие, по существу, некоторые способы задания функционирующих систем.
В качестве первых примеров разберем наиболее общие.
Общая динамическая система (см. Gottschalk, Hedlund, 1955; Сибирский, 1970).
Пусть даны некоторая группа G, топологическое пространство R и функция f: G Ч R > R, удовлетворяющая следующим условиям.
1°. (Аксиома начальных данных): (?p ? R) f(И, p) = p, где И - нуль группы G.
2°. (Аксиома непрерывности): (?g ? G) функция f(g, • ) непрерывна (по второму аргументу) в топологии пространства R.
3°. (Аксиома группы): (?p ? R) (?g1, g2 ? G) f(g2, f(g1, p)) = f(g1 + g2, p).
Общая динамическая система задается тройкой . Она называется непрерывной, если группа G является топологической, а функция f непрерывна по совокупности аргументов в топологиях пространств R и G. Понятие общей непрерывной динамической системы введено В. В. Немыцким (1946) в предположении, что G - локально-компактная топологическая группа, а затем рассмотрено в статьях В. В. Немыцкого (1948, 1950), Е. А. Барбашина (1948а, 1950а, 1951) и других, в монографиях Х. Готшалка, Г. А. Хедлунда (Gottschalk, Hedlund, 1955), И. У. Бронштейна (1969) и др. Очевидно, классическая динамическая система (КДС) (Markoff, 1931) представляет частный случай общей непрерывной динамической системы В. В. Немыцкого.
Общая динамическая система называется дискретной, если группа G - циклическая (существует g0 ? G такой, что любой элемент g ? G кратен g0). Частным случаем дискретных общих динамических систем являются введенные и изученные М. Морсом (Morse, 1966) символические динамические системы, у которых G есть множество всех целых чисел Z, а R = Sm - пространство двухсторонних последовательностей из m элементов (m ? 2). КДС очевидным образом порождает дискретную общую динамическую систему , где t0 ? R1, k = 0, ±1, ±2, … (см. Birkhoff, 1950; Жидков, 1952; Reddy, 1968; и др.).
Е. А. Барбашин (1946), введя в группу G непрерывной общей динамической системы отношение частичной упорядоченности, пришел к понятию частично упорядоченной динамической системы, имеющей глубокие аналоги с КДС (см. также Барбашин, 1948а, б, 1950а-в, 1951а, б; 1954; Сибирский и др., 1960; Стахи, 1965, 1967, 1968; и др.). Подробнее эти концепции изложены в лекциях К. С. Сибирского (1970).
Функция f( • , p) называется движением, а множество f(G, p) - траекторией общей динамической системы при исходных (начальных) данных (и, p) ? G Ч R.
Общая динамическая система определяет два способа задания функционирующей системы, соответствующих выбору T0:
В остальном среда ФС находится однотипно с помощью G и R: T = G, ?? - структура группы, = X = = H ? R, = - семейство открытых множеств топологического пространства R, H = T0 Ч R, ?? = G Ч R, Ф ? ? X (T) = ? R (G) ? {x: G > R} - множество всех функций, отображающих группу G в топологическое пространство R (такое представление Ф может быть сделано, если учесть, что любое движение f( • , p) общей динамической системы определено на всей группе G, имеет место аксиома группы).
Отношение r является функциональным, т. е.
(?h = (, ) ? T0 Ч R) {x} = rh - singl
(при любом h = (g0, p) функционирование описывается единственным движением и определяется при любом t0 = g0 ? G равенствами:
2) x(, , ) = x(g, g0, p) = f(g - g0, p).
Область определения процесса x( • , h) совпадает с G(T(x, h) = G) для любого h ? T0 Ч R. Аксиома начальных данных приводит к равенству x(t0, h) = .
Общая система в смысле И. Е. Гильберта и Р. Т. Кнопса (Gilbert, Knops, 1967).
T - локально-компактная полугруппа, T0 ? T, = X - топологическое пространство, ? X (в используется другая топология), H ? ?? = T Ч X; задано множество B(X, T) ? ? X (T); мультиотображение r из H в Ф = ? X (T) определяется условием
(?h ? H) rh = {x ? B(X, T): x(t0) = }.
Пусть P - произвольное множество, T ? R1 - упорядоченное естественным образом подмножество вещественной оси. Бинарное отношение p на T Ч P называется предпроцессом в P над T тогда и только тогда, когда выполняются следующие аксиомы.
1°. (Аксиома упорядоченности времени): (?t, t0 ? T) (?y, y0 ? P) (t, y)p(t0, y0) ? t ? t0.
2°. (Аксиома начальных данных): (?t0 ? T) (?y, y0 ? P) (t0, y)p(t0, y0) ? y = y0.
Для предпроцесса можно ввести его индивидуальные отношения на P:
(?t, t0 ? T) yy0 ? (t, y)p(t0, y0).
Важными типами предпроцессов являются суженный предпроцесс, характеризуемый соотношением
и транзитивный предпроцесс, для которого выполняется свойство
Положим T0 = T (подмножество R1 c наследованными из R1 свойствами); ?? - структура естественного порядка из R1,
(?t0 ? T0) = H = P, H = T0 Ч P, (?t ? T) = X = , ?? = T Ч ;
Ф - множество функций x из T в X с dom x ? T; r - функциональное отношение между H и Ф такое, что
dom r = dom p, (?h ? dom r) rh ? {x( • , h)} = {},
где - индивидуальное отношение предпроцесса, движение x( • , h) с исходными данными h ? H имеет область определения T(x, h) ? {t ? T: t0 ? t}. Таким образом, значение функции x( • , h) с исходными данными h = (t0, ) ? dom r при t ? T(x, h) здесь отождествляется со значениями отношения на элементе и является множеством x(t, h) = в P, т. е. элементом множества 2P = X. Множество достижимости f(t, h) одноэлементно в X. Из приведенного построения следует выполнение условий функционирования и образования множеств H и ??. Следовательно, предпроцесс О. Гаека задает функционирующую систему с единственностью движений в пространстве выходов, являющемся множеством подмножеств P.
Переходная система Т. Г. Уиндекнехта и М. Д. Месаровича (Windeknecht, Mesarovic, 1967), как легко показать, также задает некоторую ФС. Но в нее не вводится аксиома начальных данных (в отличие от предыдущих случаев, в которых выполнена классическая аксиома начальных данных).
При исследовании динамики систем целесообразно использовать ослабленную аксиому начальных данных, что иллюстрируется следующим примером.
Система решений функционально-дифференциального уравнения с последействием (Красовский, 1959; Hale, 1971).
Пусть дано уравнение с последействием
Здесь в качестве решений рассматриваются непрерывные функции x( • ), определенные на промежутке [-з, ф) или [-з + t0, t0 + фx) (0 ? t0 < t0 + фx ? ф), имеющие значения в , дифференцируемые справа на [0, ф) (соответственно на [t0, t0 + фx)). Для них и для t ? [0, ф) (соответственно t ? [t0, t0 + фx)) вводятся функции ? ([-з, 0]) такие, что (?и ? [-з, 0]) (и) = x(t + и); они фигурируют в правой части уравнения. Производная в левой части уравнения понимается как правая.
Пусть t0 ? [0, ф) - заданное число, - заданная функция из ([-з, 0]). Функция x(, )( • ) называется решением уравнения (11) с начальными данными (, ), если существует число фx такое, что t0 + фx ? ф, x(, )( • ) определена на [t0 - з, t0 + фx), дифференцируема справа по t ? [t0, t0 + фx), удовлетворяет уравнению (11) и (, ) = .
Покажем, что множество всех решений уравнения (11) с начальными условиями (, ) ? [0, ф) Ч ([-з, 0]) является функционирующей системой.
Положим T = [-з, ф) ? T0, ?? - структура естественного порядка из R1, T0 = [0, ф),
(?t0 ? T0) = H = ([-з, 0]), (?t ? T) = X = , H = T0 Ч H, ?? = T Ч X;
Ф - множество нерперывных дифференцируемых справа функций x из [t0 - з, t0 + фx) ? T в X; r - отношение между H и Ф, которое каждым начальным данным h ? (, ) = (, ) ? dom r ? H ставит в соответствие множество rh всех решений уравнения (11) с этими начальными данными; функция x( • , h) ? rh отождествляется с решением x(, )( • ) уравнения (11) и принимается T(x, h) = [t0 - з, t0 + фx). Выполнение условия функционирования и других при этом очевидно, что и требовалось. Начальное условие (, ) = здесь не влечет выполнения аксиомы начальных данных в обычной (классической) форме
Оно обеспечивает лишь выполнение условия
(?(, ) ? dom r) x(, )() = {(0)} - singl,
которое можно истолковать как ослабленную аксиому начальных данных.
Как отмечено в главе I, большая часть известных математических концепций систем укладывается в понятие ФС, которое, однако, из-за чрезмерной общности не учитывает некоторые важные особенности динамики систем. Например, время T с произвольной структурой ?? на нем не позволяет при эволюции системы отличить ее прошлое от будущего (что наглядно видно в примерах 3.1, 3.2 гл. I), т. е. в ФС не оговаривается основная особенность времени T - его направленность. Это можно сделать, предположив ?? структурой порядка, как в примерах 3.1 (случай частично упорядоченной динамической системы), 3.3 и 3.5 гл. I. Наиболее общий из них первый случай, когда ?? является структурой частичного порядка, заданной отношением частичной упорядоченности “?”. В этом случае T - частично упорядоченное множество, т. е. множество T с заданным на нем бинарным отношением r(??) ? (?), удовлетворяющим известным аксиомам частичного порядка (??(??)):
(??1). (Аксиома рефлексивности): t ? t.
(??2). (Аксиома транзитивности): (t1 ? t2) ? (t2 ? t3) ? t1 ? t3.
(??3). (Аксиома антисимметричности): (t1 ? t2) ? (t2 ? t1) ? t1 = t2.
Например, если множество T значений времени t является v-мерным векторным пространством , то естественна покомпонентная частичная упорядоченность векторов, определяемая следующим образом:
Представляется также желательным более полное описание множеств достижимости и выходов (состояний) системы, соответствующих начальному моменту времени. В частности, как отмечено в п. 3 гл. I, в динамике систем целесообразно использовать ослабленную аксиому начальных данных (в качестве аксиомы ?? функционирующей системы).
При таких аксиомах ??(??) и ?? движение ФС при данных h можно трактовать как процесс с этими исходными данными (достаточно общей природы).
Полученная конкретизация среды и аксиомы функционирующей системы при этом естественно приводит к понятию системы процессов. В теории системы процессов, как более богатой, чем теория ФС, удается глубже исследовать различные динамические задачи.
1. Определение системы процессов; процессы
Функционирующая система r в среде называется системой процессов (СП), если выполняются следующие аксиомы:
??(??). (Аксиома времени): T - частично упорядоченное множество (с отношением частичной упорядоченности ?).
??. (Аксиома исходных данных): (?h ? dom r) (?x ? rh) t0 ? T(x, h) ? f(t0, h) = {x(t0, h)} - singl.
Смысл аксиомы ?? состоит в следующем. Для любых исходных данных h = (, ) из области определения отношения r и для любых движений x( • , h) функционирующей системы r с исходными данными h выполняются два условия:
1) начальный момент времени принадлежит области определения T(x, h) движения x( • , h);
2) множество достижимости из h в начальный момент времени t0 является одноэлементным множеством {x(t0, h)}, состоящим из одного элемента - выхода (в указанном движении) в начальный момент времени t0 (значения всех функций x ? rh в начальный момент времени совпадают).
В примерах 3.1 - 3.3, 3.5 эта аксиома, очевидно, выполняется.
. (Классическая аксиома начальных данных):
(dom r = H ? ??) ? (?h ? H) (?x ? rh) t0 ? T(x, h) ? x(t0, h) = .
Для выполнения , очевидно, требуется выполнение всех условий аксиомы ?? и, кроме того, следующее. Область определения отношения r совпадает с H, (?t0 ? T0) ? , т. е. для начальных моментов времени пространства входов (начальных состояний) совпадают или являются подмножествами пространств выходов (состояний), все движения x( • , h) c любыми исходными данными h ? H в начальные моменты времени t0 определены, и выходы (состояния) совпадают с входами (начальными состояниями).
В примерах 3.1, 3.2 классическая аксиома начальных данных выполняется, но в примерах 3.3, 3.5 (для решений функционально-дифференциального уравнения с запаздыванием) она не выполнена (тогда как ослабленная аксиома начальных данных ?? выполняется). Ниже будут приведены и другие примеры, подтверждающие целесообразность введения аксиомы исходных данных в форме ??.
Введем теперь важное для дальнейшего изложения понятие процесса.
В системе процессов каждая частичная функция x ? range r ? Ф называется процессом, а при фиксированном h ? dom r всякая частичная функция x ? rh называется процессом с данным h и обозначается .
Таким образом, если функционирующая система является системой процессов, то ее движения называются процессами, а при фиксированном h ? dom r всякое движение x( • , h) ? rh называется процессом с исходными данными h и обозначается . Иными словами, процесс с исходными данными h есть движение x( • , h) такой функционирующей системы, для которой выполняются аксиомы времени и исходных данных.
Для процессов с исходными данными h вводятся сокращения в обозначениях: T(x, h) ? T() - область определения процесса ; (t) ? x(t, h) = x(t, t0, ) - выход в процессе в момент времени t ? T(x, h).
2. Некоторые замечания о природе процессов и среды
Поскольку множества и отношения, участвующие в описании СП, имеют произвольный характер, введенная математическая модель достаточно общая и может использоваться
Основные динамические свойства и их классификация курсовая работа. Математика.
Курсовая работа по теме Смысловая наполненность понятия 'любовь'
Сочинение Дубровский И Маша 6 Класс
Курсовая работа: Стихи Р. Киплинга — герои, темы, стиль. Скачать бесплатно и без регистрации
Система безопасности РФ, силы и средства ее обеспечения
Реферат На Тему Айти Специалист
Специфика Философии Реферат
Реферат Порядок Заключения Договора
Курсовая работа по теме Готовность к обучению чтению старших дошкольников с общим недоразвитием речи
Реферат: Способи спостереження Агрегатні індекси які застосовуються правовою статистикою
Курсовая работа по теме Проектирование режущего инструмента и станочного приспособления для плоскошлифовального станка ЗЛ722В
Решение Контрольных Работ По Алгебре
Почему Человек Замыкается В Себе Сочинение
Обломов На Выборгской Стороне Сочинение
Реферат по теме Товароведческие характеристики картофеля
Слова Для Эссе
Реферат На Тему Вода Очищенная
Реферат: Рецензия на программу "Тема" - "журналистская этика". Скачать бесплатно и без регистрации
Реферат: Николай Михайлович Рубцов. Скачать бесплатно и без регистрации
Курсовая работа: Анализ специфики мировой валютной системы
Лабораторная Работа Мед
Технология молочных консервов - Кулинария и продукты питания лекция
Защита авторских прав и права третьих лиц на объекты авторских прав - Государство и право дипломная работа
Сюжет и композиция "Мертвых душ". Почему автор назвал свое произведение поэмой? - Литература контрольная работа