Основная теорема теории матричных игр – теорема существования решения в смешанных стратегиях Дж. Фон Неймана - Менеджмент и трудовые отношения контрольная работа

Главная

Менеджмент и трудовые отношения
Основная теорема теории матричных игр – теорема существования решения в смешанных стратегиях Дж. Фон Неймана

Теория игр как наука, изучающая поведение многих участников, когда достигаемые каждым результаты зависят от действий остальных. Основная и формализованная теорема матричных игр фон Неймана, особенности и принципы ее применения в процессе управления.


посмотреть текст работы


скачать работу можно здесь


полная информация о работе


весь список подобных работ


Нужна помощь с учёбой? Наши эксперты готовы помочь!
Нажимая на кнопку, вы соглашаетесь с
политикой обработки персональных данных

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.


Основная теорема теории матричных игр - теорема существования решения в смешан ных стратегиях Дж. Фон Неймана
Что общего у шахмат, карточных игр, войн, переговоров, рыночной конкуренции, аукционов? Все эти ситуации можно описать c помощью теории игр - раздела прикладной математики, ставшей неотъемлемой частью экономической теории. Всюду, где только имеет место взаимодействие самостоятельных рациональных (или частично рациональных) субъектов, возникает игра. Главный вопрос теории игр заключается в предсказании поведения участников игры: какие ходы сделают шахматисты, чем завершатся войны и переговоры, какие цены сформируются на рынке и т.д. Оказывается, теория игр позволяет сделать достаточно сильные предсказания. Механизмы конкуренции, функционирования рынка, возникновения или краха монополий, способы принятия ими решений в условиях конкурентной борьбы, то есть механизмы игры монополий, действующие в экономической реальности, - все это является предметом анализа теории игр. Уже в момент ее зарождения многие предсказали революцию в экономических науках благодаря использованию нового подхода. Революции, возможно, и не произошло, но тенденции развития экономики показал плодотворность методов теории игр в прикладной сфере. Так, в 1994 году Дж. Харшаньи и Р. Зельтен получили Нобелевскую премию по экономике за работы в области теории игр (приложения их исследований, например - переговоры с односторонними трансакционными затратами, равновесие рынка с продавцом и несколькими потенциальными покупателями). Теория игр имеет не очень длинную историю. Решающий поворот в ее развитии произошел в 1928 году благодаря американцу Дж. фон Нейману. Именно тогда он представил математическое обоснование общей стратегии для игры двух участников в терминах минимизации и максимизации. В моей работе будет рассмотрена как раз та самая основная теорема теории матричных игр - теорема существования решения в смешанных стратегиях Дж. Фон Неймана.
В начале работы, на мой взгляд, необходимо сказать пару слов о её основателе. Фон Нейман Джон - выдающийся американский математик, член национальной АН США и Американской академии искусств и наук. Основные исследования относятся к функциональному анализу, теории типологических групп, теории вероятностей, математическим методам в экономике и вычислительной математике; доказал основную теорему теории игр (1928), совместно с О. Моргенштенром развил теорию игр и показал, как она может быть применена в экономике и социальных науках; вместе они в 1944 написали книгу «Теория игр и экономическое поведение»
Итак, основная теорема матричных игр фон Неймана гласит: любая матричная игра имеет решение в смешанных стратегиях, т.е. существуют цена игры в смешанных стратегиях V и оптимальные смешанные стратегии P 0 и Q 0 соответственно игроков A и B.
Формализованная запись теорема будет дана позже. Как мы видим, в теореме присутствуют такие термины как игра, матричная игра, стратегии, смешанные стратегии, цена игры, цена игры в смешанных стратегиях и оптимальные смешанные стратегии. Я считаю, что прежде чем разбирать и доказывать данную теорему, необходимо вкратце дать теоретический материал по приведённым выше терминам.
Игра - это математическая модель реальной конфликтной ситуации. Конфликтная ситуация двух игроков называется парной игрой. Конечная парная игра с нулевой суммой называется матричной игрой; матрица, составленная из чисел, называется платежной. Заинтересованные стороны (лица) в игре называются игроками. С целью математической формализации игра должна проходить по определённым правилам. Игра называется конечной, если множество стратегий каждого игрока конечно, в противном случае она называется бесконечной.
Если говорить о стратегиях, то следует разделять их на чистые и смешанные стратегии. Стратегии (чистые) - возможные действия игроков. Смешанные стратегии - стратегия игрока, состоящая в случайном выборе одной из его чистых стратегий. Таким образом, смешанная стратегия игрока - это дискретная случайная величина, значениями которой являются номера его чистых стратегий. Если говорить о взаимосвязи чистых и смешанных стратегий, то каждую чистую стратегию A i можно рассматривать как смешанную
в которой чистая стратегия A i выбирается с вероятностью p i =1, а все остальные чистые стратегии - с вероятностью, равной нулю.
В то же время каждую смешанную стратегию можно представить линейной комбинацией чистых стратегий с коэффициентами, являющимися координатами данной смешанной стратегии:
Перейдём к цене игры. Прежде всего, стоит отметить, что цена игры бывает нижней и верхней. Начнём с ценой игры в чистых стратегиях. Нижняя цена игры (б) - это выигрыш, не меньший чем б, при использовании игроком А maxmin стратегии
Верхняя цена игры (в) - это максимальный проигрыш игрока B при использовании minimax стратегии.
Если говорить о смешанных стратегиях, то нижняя цены игры обозначается
Цены в смешанных и чистых стратегиях взаимосвязаны с между собой. Нижняя цена игры иверхняя цена игры в в чистых стратегиях, нижняя цена игры и верхняя цена игры в смешанных стратегиях удовлетворяют следующим неравенствам:
Итак, ознакомившись с базовыми понятиями, перейдём к самой теореме. Для Любая матричная игра имеет решение в смешанных стратегиях, т.е. существуют цена игры в смешанных стратегиях V и оптимальные смешанные стратегии P 0 и Q 0 соответственно игроков A и B, т.е:
Для того, чтобы доказать данную теорему необходимо ввести понятие выпуклой функции и седловых точек функции. Для удобства все формулы будут пронумерованы. Числовая функция называется выпуклой на выпуклом множестве X, если для любых точек и произвольного числа справедливо неравенство
Следует отметить, что при л=0 и л=1 неравество 1.2,превращающееся в равенство всегда справделиво. В данном определении x - точка конечномерного евклидова пространства. На множество X налагается условие выпуклости для того, чтобы для любых двух его точек x`, x`` точка при любом также принадлежала множеству X.
Определение строго выпуклой функции вытекает, если ужесточить определение выпуклой функции, потребовав вместо неравенства (1.2) строгое неравенство для любых точек x`,x`` X, x`x`` и произвольного
Следующий этап в доказательстве данной теоремы - определение вогнутой и строго вогнутой функции. Они определяются аналогичным образом.
Функция называется вогнутой на выпуклом множестве X, если для любых двух точек справедливо неравенство
Соответственно, функции называется строго вогнутой на выпуклом множестве X если для любых двух точек x`, x``? X и произвольного числа л?[0,1] справедливо неравенство
Важно отметить, что в определениях строго вогнутой и строго выпуклой функций по сравнению с определениями просто выпуклой и вогнутой функции введены условия x` x``, . Это связано с тем, что если хотя бы одно из них не выполняется, то неравенства (1.3 и 1.5) превращаются в равенство.
Итак, перейдём к основной части доказательства. Пусть действительная функция двух векторных аргументов xX и y Y, заданная на декартовом произведении X * Y множеств X и Y. Точка (x 0 , y 0 ), x 0 , y 0 , называется седловой точкой функции на декартовом произведении X*Y, если
Левое неравенство (1.6) говорит о том, что максимум функции на множестве X достигается в точке , т.е. . Правое неравенство (1.6) означает, что минимум функции на множестве Y достигается в точке , т.е. . Поэтому двойное неравенство (1.6) эквивалентным образом можно переписать в виде двойного равенства:
В определении равновесной ситуации в чистых стратегиях (, учитывая, что F(A i ,B j ) = a ij , где F - функция выигрыша, неравенство
можно переписать в виде неравенства
которое соответствует неравенству 1.6, а равенство в виде равенства
которое, в свою очередь, соответствует равенству (1.7). Это означает по данному определению седловой точки функции, что равновесная ситуация в чистых стратегиях ( является седловой точки функции выигрыша F. Вместе с тем значение F( = , также называют седловой точкой матрицы игры.
В общем случае седловые точки произвольных функций двух векторных аргументов также обладают свойствами равнозначности и взаимозаменяемости. Доказательство закончено.
Так как тема моей работы - основная теорема матричных игр фон Неймана, то, на мой взгляд, практическую часть следует посвятить решению задач в смешанных стратегиях.
Задача 1. Дана платёжная матрица игры 2x3
и смешанные стратегии P 0 = () и Q 0 = ( соответственно игроков A и B.
Определить выигрыши игрока А в ситуациях (P 0 , Q 0 ), (P 0, B 1 ) (P 0 , B 2 ), (P 0 ,B 3 )
Данную задачу решим матричным способом. Воспользуемся матричной формулой.
H(P 0 , Q 0 ) = P 0 A (Q 0 ) 2 = () ** = *= 8,87
Выигрыш игрока А в ситуации (P 0 , B 1 ), т.е. в ситуации, в которой игрок А применяет смешанную стратегию P 0 = (4/6, 2/6), а игрок B - чистую стратегию B 1 = (1,0,0) по формуле равен
Выигрыш игрока А в ситуации (), т.е. когда игрок применяет смешанную стратегию P 0 = (4/6, 2/6), а игрок B - чистую стратегию B 2 = (0,1,0) следующий
Выигрыш игрока А в ситуации (), т.е. когда игрок применяет смешанную стратегию P 0 = (4/6, 2/6), а игрок B - чистую стратегию B 2 = (0,0,1) следующий
Игрок А прячет в одной из рук монету. Игрок В пытается угадать руку с монетой. Если В не угадывает, то А получает от В 1 у.е. Если В угадывает руку с монетой и эта рука правая, то он получает от А 1 у.е. Если В находит монету в левой руке, то он получает от А 2 у.е. Определить оптимальные стратегии поведения для каждого игрока и средний выигрыш для А.
Пусть стратегии игроков: А1 - спрятать в правой; В1 - искать в правой; А2 - спрятать в левой; В2 - искать в левой. Игровая матрица для данной ситуации относительно игрока А имеет вид:
Найдём вероятности чистых стратегий в смешанных:
Таким образом, игроку А нужно случайно чередовать руки с монетой, но в правой руке прятать в среднем в трех случаях из пяти, а в левой в двух случаях из пяти. В это случае в каждой игре в среднем А получит (-1/5) руб., то есть теряет 20 коп., игра для А не выгодная. Для игрока В выгодно также чередовать руки в которых он ищет монету, но в правой руке искать в 3 случаях из 5, что приведет к среднему выигрышу для него в 20 коп. за игру.
Теория игр - наука, изучающая поведение многих участников, когда достигаемые каждым результаты зависят от действий остальных.
"Есть в современной математике одна область, она носит безобидное название теории игр, но ей, несомненно, суждено сыграть очень важную роль в человековедении самого ближайшего будущего, - говорил Джон фон Нейман, один из основоположников кибернетики. - Она занимается вопросами оптимального поведения людей при наличии противодействующего противника. Для ученого противник - это природа со всеми ее явлениями; экспериментатор борется со средой; математик - с загадками математического мира; инженер - с сопротивлением материалов".
В своей работе я рассмотрела основную теорему теории матричных игр - теорему существования решения в смешанных стратегиях Дж. фона Неймана, а также привела доказательство к ней. До рассмотрения самой теоремы были повторены основные понятия теории игр, а также в практической части были разобраны несколько задач на тему «Решение игры в смешанных стратегиях»
1. Лабскер Л.Г., Бабешко Л.О. «Игровые методы в управлении экономикой и бизнесом»: Учеб. Пособие. - М.; Дело, 2001.
2. Луньков А.Д. «Курс по теории игр»: Учеб. Пособие. - Саратов, 2008
Методы и модели решения задач. Модель задачи оптимального использования ресурсов. Стандартные способы решения системы линейных уравнений. Основная теорема линейного программирования. Построение симплекс-таблицы. Построение начального опорного плана. лабораторная работа [275,9 K], добавлен 17.10.2013
Матричная структура. Применение матричных структур. Преимущества матричной структуры. Недостатки матричной структуры. Использование матричных структур управления. Построение организационной структуры управления. курсовая работа [24,7 K], добавлен 03.06.2007
Теория игр - возможность предприятия предусмотреть ходы своих партнеров и конкурентов, ее основные положения, инструментарий. Значение теории игр во многих областях экономики для решения общехозяйственных задач. Теория игр в управленческой практике. статья [23,0 K], добавлен 25.04.2010
Анализ основных типов организационных структур управления и изучение их особенностей существования и функционирования. Принципы построения проектных и матричных структур, их преимущества и недостатки. Трудовой потенциал современного предприятия "Гермес". курсовая работа [45,0 K], добавлен 23.01.2014
Связь типов организации и принципов построения организационных структур управления: линейных; функциональных; смешанных; дивизиональных; проектных; матричных и сетевых. Критерии оценки экономической эффективности совершенствования структуры предприятия. курсовая работа [236,6 K], добавлен 13.01.2011
Последовательность формирования функций управления различными процедурами в зависимости от целей организации. Применение аналитических, статистических, матричных методов и приемов математического программирования для выработки оптимального решения. реферат [24,4 K], добавлен 10.03.2011
Понятие и сущность теории управления, ее методология. Комплексная модели человека в системе управления. Особенности бихевиористского, ситуационного, количественного, деятельностного подходов. Анализ факторов, влияющих на психологическое поведение. курсовая работа [26,7 K], добавлен 15.05.2011
Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д. PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах. Рекомендуем скачать работу .

© 2000 — 2021



Основная теорема теории матричных игр – теорема существования решения в смешанных стратегиях Дж. Фон Неймана контрольная работа. Менеджмент и трудовые отношения.
Реферат: Дефенсины беспозвоночных животных
Реферат: "Эпоха Коля": немецкий неоконсерватизм и объединение Германии
Реферат: Raymond Carver Essay Research Paper A silence
Курсовая работа: Международный лизинг
Курсовая работа: Вартість та оплата праці
Реферат: Референдум-форма осуществления власти народом России
Курсовая работа по теме Жизненный цикл товара
Реферат: Macbeth Thematic Essay Essay Research Paper MACBETH
Доклад: Святой апостол Иаков, брат Господень по плоти
Рефераты Менеджмент В Образовании
Реферат О Музыкальных Коллективах Беларуси
Курсовая работа по теме Про загальнообов'язкове страхування на об'єктах підвищеної небезпеки
Реферат: Национальная безопасность как системный объект геополитических исследований
Контрольная работа по теме Совершенствование антикризисных стратегий организации
Основы хирургической онкологии
Курсовая Работа На Тему Государственная Власть: Понятие, Признаки И Виды
Контрольная работа по теме Ипотека и капитальные вложения
Письмо В 19 Веке Сочинение
Реферат: Административная деятельность органов внутренних дел 3
Реферат На Тему Демократия
Проектування та розрахунок системи холодного водопроводу та водовідведення - Коммуникации, связь, цифровые приборы и радиоэлектроника курсовая работа
Окремі аспекти призначення покарання - Государство и право курсовая работа
Раман В. Казько "Хроніка дзетдомаўскага саду" - Литература курсовая работа