Определители квадратных матриц свойства определителей

Понятие определителя матрицы

=== Скачать файл ===

Тема 1.2. Определители Определители квадратных матриц

Определители квадратных матриц и их свойства

Понятие определителя является одним из основных в курсе линейной алгебры. Здесь мы будем говорить об определителях матриц, элементами которых являются действительные или комплексные числа. В этом случае определитель есть действительное или комплексное число. Все дальнейшее изложение будет ответом на вопросы как вычислять определитель, и какими свойствами он обладает. Сначала дадим определение определителя квадратной матрицы порядка n на n как сумму произведений перестановок элементов матрицы. На основании этого определения запишем формулы для вычисления определителей матриц первого, второго, третьего порядков и подробно разберем решения нескольких примеров. Далее перейдем к свойствам определителя, которые будем формулировать в виде теорем без доказательства. Здесь будет получен метод вычисления определителя через его разложение по элементам какой-либо строки или столбца. Этот метод позволяет свести вычисление определителя матрицы порядка n на n к вычислению определителей матриц порядка 3 на 3 или меньшего. Обязательно покажем решения нескольких примеров. В заключении остановимся на вычислении определителя методом Гаусса. Этот метод хорош при нахождении значений определителей матриц порядка выше 3 на 3 , так как требует меньших вычислительных усилий. Также разберем решение примеров. Перестановкой порядка n называется упорядоченный набор чисел, состоящий из n элементов. Для множества, содержащего n элементов, существует n! Перестановки отличаются друг от друга лишь порядком следования элементов. Например, рассмотрим множество, состоящее из трех чисел: Запишем все перестановки всего их шесть, так как: Инверсией в перестановке порядка n называется всякая пара индексов p и q , для которой p-ый элемент перестановки больше q-ого. Инверсией перестановки 9 , 7 , 4 будут три пары: Пусть - квадратная матрица порядка n на n над полем действительных или комплексных чисел. Пусть — множество всех перестановок порядка n множества. Обозначим k—ую перестановку множества как , а количество инверсий в k-ой перестановке как. Определитель матрицы А есть число, равное. Опишем эту формулу словами. Определителем квадратной матрицы порядка n на n является сумма, содержащая n! Каждое слагаемое представляет собой произведение n элементов матрицы, причем в каждом произведении содержится элемент из каждой строки и из каждого столбца матрицы А. Перед k-ым слагаемым появляется коэффициент -1 , если элементы матрицы А в произведении упорядочены по номеру строки, а количество инверсий в k-ой перестановке множества номеров столбцов нечетно. Определитель матрицы А обычно обозначается как , также встречается обозначение det A. Также можно услышать, что определитель называют детерминантом. Отсюда видно, что определителем матрицы первого порядка является элемент этой матрицы. Найдем определитель квадратной матрицы порядка 2 на 2 в общем виде. Оформим в виде таблицы необходимые данные для применения формулы. Таким образом, мы получили формулу для вычисления определителя матрицы порядка 2 на 2 , она имеет вид. Вычислите определитель квадратной матрицы порядка. Найдем определитель квадратной матрицы порядка 3 на 3 в общем виде. Таким образом, мы получили формулу для вычисления определителя матрицы порядка 3 на 3 , она имеет вид. Аналогично можно получить формулы для вычисления определителей матриц порядка 4 на 4 , 5 на 5 и более высоких. Они будут иметь очень громоздкий вид. Вычислите определитель квадратной матрицы порядка 3 на 3. Применяем полученную формулу для вычисления определителя матрицы третьего порядка: Формулы для вычисления определителей квадратных матриц второго и третьего порядков очень часто применяются, так что рекомендуем их запомнить. На основании озвученного определения справедливы следующие свойства определителя матрицы. Определитель матрицы А равен определителю транспонированной матрицы А Т , то есть,. Убедитесь, что определитель матрицы равен определителю транспонированной матрицы. Воспользуемся формулой для вычисления определителя матрицы порядка 3 на 3: Вычислим определитель транспонированной матрицы: Действительно, определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы. Если в квадратной матрице все элементы хотя бы одной из строк одного из столбцов нулевые, определитель такой матрицы равен нулю. Проверьте, что определитель матрицы порядка 3 на 3 равен нулю. Действительно, определитель матрицы с нулевым столбцом равен нулю. Если переставить местами две любые строки столбца в квадратной матрице, то определитель полученной матрицы будет противоположен исходному то есть, изменится знак. Даны две квадратные матрицы порядка 3 на 3 и. Покажите, что их определители противоположны. Матрица В получена из матрицы А заменой третьей строки на первую, а первой на третью. Согласно рассмотренному свойству определители таких матриц должны отличаться знаком. Проверим это, вычислив определители по известной формуле. Если в квадратной матрице хотя бы две строки два столбца одинаковы, то ее определитель равен нулю. Покажите, что определитель матрицы равен нулю. В данной матрице второй и третий столбцы одинаковы, так что согласно рассмотренному свойству ее определитель должен быть равен нулю. На самом деле определитель матрицы с двумя одинаковыми столбцами есть ноль. Если в квадратной матрице все элементы какой-либо строки столбца умножить на некоторое число k , то определитель полученной матицы будет равен определителю исходной матрицы, умноженному на k. Докажите, что определитель матрицы равен утроенному определителю матрицы. Элементы первого столбца матрицы В получены из соответствующих элементов первого столбца матрицы А умножением на 3. Тогда в силу рассмотренного свойства должно выполняться равенство. Проверим это, вычислив определители матриц А и В. Следовательно, , что и требовалось доказать. Не путайте и не смешивайте понятия матрицы и определителя! Рассмотренное свойство определителя матрицы и операция умножения матрицы на число это далеко не одно и то же. Если все элементы какой-либо строки столбца квадратной матрицы представляют собой сумму s слагаемых s — натуральное число, большее единицы , то определитель такой матрицы будет равен сумме s определителей матриц, полученных из исходной, если в качестве элементов строки столбца оставить по одному слагаемому. Докажите, что определитель матрицы равен сумме определителей матриц. В нашем примере , поэтому в силу рассмотренного свойства определителя матрицы должно выполняться равенство. Проверим его, вычислив соответствующие определители матриц порядка 2 на 2 по формуле. Из полученных результатов видно, что. На этом доказательство завершено. Если к элементам некоторой строки столбца матрицы прибавить соответствующие элементы другой строки столбца , умноженные на произвольное число k , то определитель полученной матрицы будет равен определителю исходной матрицы. Убедитесь, что если к элементам третьего столбца матрицы прибавить соответствующие элементы второго столбца этой матрицы, умноженные на -2 , и прибавить соответствующие элементы первого столбца матрицы, умноженные на произвольное действительное число , то определитель полученной матрицы будет равен определителю исходной матрицы. Если отталкиваться от рассмотренного свойства определителя, то определитель матрицы, полученной после всех указанных в задаче преобразований, будет равен определителю матрицы А. Сначала вычислим определитель исходной матрицы А: Теперь выполним необходимые преобразования матрицы А. Прибавим к элементам третьего столбца матрицы соответствующие элементы второго столбца матрицы, предварительно умножив их на После этого матрица примет вид: К элементам третьего столбца полученной матрицы прибавим соответствующие элементы первого столбца, умноженные на: Вычислим определитель полученной матрицы и убедимся, что он равен определителю матрицы А , то есть, Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов какой-либо строки столбца на их алгебраические дополнения. Здесь - алгебраическое дополнение элемента матрицы ,. Это свойство позволяет вычислять определители матриц порядка выше чем 3 на 3 путем сведения их к сумме нескольких определителей матриц порядка на единицу ниже. Иными словами — это рекуррентная формула вычисления определителя квадратной матрицы любого порядка. Рекомендуем ее запомнить в силу достаточно частой применимости. Вычислите определитель матрицы порядка 4 на 4 , разложив его по элементам 3-ей строки, по элементам 2-ого столбца. Используем формулу разложения определителя по элементам 3-ей строки. Так задача нахождения определителя матрицы порядка 4 на 4 свелась к вычислению трех определителей матриц порядка 3 на 3: Подставив полученные значения, приходим к результату: Используем формулу разложения определителя по элементам 2-ого столбца и действуем аналогично. Не будем подробно расписывать вычисление определителей матриц третьего порядка. Вычислите определитель матрицы порядка 4 на 4. Можно разложить определитель матрицы по элементам любого столбца или любой строки, однако выгоднее выбирать строку или столбец, содержащую наибольшее количество нулевых элементов, так как это поможет избежать лишних вычислений. Разложим определитель по элементам первой строки: Вычислим полученные определители матриц порядка 3 на 3 по известной нам формуле: Подставляем результаты и получаем искомое значение. Вычислите определитель матрицы порядка 5 на 5. В четвертой строке матрицы наибольшее количество нулевых элементов среди всех строк и столбцов, поэтому целесообразно разложить определитель матрицы именно по элементам четвертой строки, так как в этом случае нам потребуется меньше вычислений. Полученные определители матриц порядка 4 на 4 были найдены в предыдущих примерах, так что воспользуемся готовыми результатами: Вычислите определитель матрицы порядка 7 на 7. Не следует сразу бросаться раскладывать определитель по элементам какой либо строки или столбца. Если внимательно посмотреть на матрицу, то можно заметить, что элементы шестой строки матрицы можно получить умножением соответствующих элементов второй строки на двойку. То есть, если к элементам шестой строки прибавить соответствующие элементы второй строки, умноженные на -2 , то определитель не изменится в силу седьмого свойства, а шестая строка полученной матрицы будет состоять из нулей. Определитель такой матрицы равен нулю по второму свойству. Следует отметить, что рассмотренное свойство позволяет вычислить определители матриц любых порядков, однако приходится выполнять массу вычислительных операций. В большинстве случаев определитель матриц порядка выше третьего выгоднее находить методом Гаусса, который мы рассмотрим ниже. Сумма произведений элементов какой-либо строки столбца квадратной матрицы на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки столбца равна нулю. Покажите, что сумма произведений элементов третьего столбца матрицы на алгебраические дополнения соответствующих элементов первого столбца равна нулю. Убедитесь, что определитель произведения двух матриц и равен произведению их определителей. Найдем сначала произведение определителей матриц А и В: Сейчас выполним умножение матриц и вычислим определитель получившейся матрицы: Таким образом, , что и требовалось показать. Опишем суть этого метода. Матрица А с помощью элементарных преобразований приводится к такому виду, чтобы в первом столбце все элементы, кроме стали нулевыми это сделать всегда возможно, если определитель матрицы А отличен от нуля. Эту процедуру опишем чуть позже, а сейчас поясним, для чего это делается. Нулевые элементы получаются для того, чтобы получить самое простое разложение определителя по элементам первого столбца. После такого преобразования матрицы А , учитывая восьмое свойство и , получим где - минор n-1 -ого порядка , получающийся из матрицы А вычеркиванием элементов ее первой строки и первого столбца. С матрицей, которой соответствует минор , проделывается такая же процедура получения нулевых элементов в первом столбце. И так далее до окончательного вычисления определителя. Если , то к элементам первой строки матрицы прибавляются соответствующие элементы k-ой строки, в которой. Если все без исключения элементы первого столбца матрицы А нулевые, то ее определитель равен нулю по второму свойству и не нужен никакой метод Гаусса. Теперь мы имеем матрицу, у которой. При к элементам второй строки прибавляем соответствующие элементы первой строки, умноженные на , к элементам третьей строки — соответствующие элементы первой строки, умноженные на. В заключении к элементам n-ой строки прибавляем соответствующие элементы первой строки, умноженные на. Так будет получена преобразованная матрица А , все элементы первого столбца которой, кроме , будут нулевыми. Определитель полученной матрицы будет равен определителю исходной матрицы в силу седьмого свойства. Вычислить определитель матрицы порядка 5 на 5. Преобразуем матрицу А так, чтобы все элементы ее первого столбца, кроме , стали нулевыми. Так как изначально элемент , то прибавим к элементам первой строки матрицы соответствующие элементы, например, второй строки, так как: Теперь прибавляем к элементам второй строки соответствующие элементы первой строки, умноженные на , к элементам третьей строки — соответствующие элементы первой строки, умноженные на , и аналогично действуем вплоть до шестой строки: С матрицей проводим ту же процедуру получения нулевых элементов в первом столбце: Сейчас выполняем преобразования с матрицей: Матрица уже имеет необходимый вид, поэтому. Рассмотрим решение еще одного примера, но подробно описывать действия не будем. Это некоторый образец краткой записи вычисления определителя матрицы методом Гаусса. На некотором этапе преобразования матрицы по методу Гаусса может возникнуть ситуация, когда все элементы нескольких последних строк матрицы станут нулевыми. Это будет говорить о равенстве определителя нулю. Определителем квадратной матрицы, элементы которой есть числа, является число. Мы рассмотрели три способа вычисления определителя:. Были получены формулы для вычисления определителей матриц порядка 2 на 2 и 3 на 3. Мы разобрали свойства определителя матрицы. Некоторые из них позволяют быстро понять, что определитель равен нулю. При вычислении определителей матриц порядка выше 3 на 3 целесообразно использовать метод Гаусса: Определитель такой матрицы равен произведению всех элементов, стоящих на главной диагонали. Охраняется законом об авторском праве. Ни одну часть сайта www. Матрицы, действия с матрицами Вычисление определителя матрицы, примеры, решения. Определение определителя матрицы, вычисление определителя матрицы по определению. Свойства определителя матрицы, вычисление определителя матрицы с использованием свойств. Вычисление определителя матрицы методом Гаусса. В нашем примере Применяем полученную формулу для вычисления определителя матрицы третьего порядка: Используем формулу разложения определителя по элементам 3-ей строки Имеем Так задача нахождения определителя матрицы порядка 4 на 4 свелась к вычислению трех определителей матриц порядка 3 на 3: Получаем С матрицей проводим ту же процедуру получения нулевых элементов в первом столбце: Следовательно, Сейчас выполняем преобразования с матрицей: Получаем Матрица уже имеет необходимый вид, поэтому.

Samsung galaxy j5 2017 характеристики

Беременна таблица 2017

Альтер эго казань официальный сайт расписание

Элемент списка картинка

Современные способы организации труда

Стрелец интеграл схема построения

Кудин чай свойства

Пить с двух рук

Дренаждля душана дачесвоими руками

Роскадастр публичная карта московской области 2017

Как приготовить пирог с зеленым луком

Кемгу приказы о зачислении 2016 год