Определители. Решение систем линейных уравнений - Математика лекция

Главная

Математика
Определители. Решение систем линейных уравнений

Определители второго и третьего порядков, свойства определителей. Два способа вычисления определителя третьего порядка. Теорема разложения. Теорема Крамера, которая дает практический способ решения систем линейных уравнений используя определители.


посмотреть текст работы


скачать работу можно здесь


полная информация о работе


весь список подобных работ


Нужна помощь с учёбой? Наши эксперты готовы помочь!
Нажимая на кнопку, вы соглашаетесь с
политикой обработки персональных данных

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
КОСТРОМСКОЙ ФИЛИАЛ ВОЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА РХБ ЗАЩИТЫ
Кафедра «Автоматизации управления войсками»
доцент А.И.СМИРНОВА
Определители второго и третьего порядка.
Свойства определителей. Теорема разложения.
Числа в таблице обозначены буквой с двумя индексами. Первый индекс указывает номер строки, второй - номер столбца.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Определителем второго порядка называют выражение вида :
Числа а 11, …, а 22 называют э л е м е т а м и определителя.
Диагональ, образованная элементами а 11 ; а 22 называется г л а в н ой, а диагональ, образованная элементами а 12 ; а 21 - п о б о ч н ой.
Таким образом, определитель второго порядка равен разности произведений элементов главной и побочной диагоналей.
Заметим, что в ответе получается число.
Рассмотрим теперь таблицу из девяти чисел, записанных в три строки и три столбца:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Определителем третьего порядка называется выражение вида :
Элементы а 11; а 22 ; а 33 - образуют главную диагональ.
Числа а 13; а 22 ; а 31 - образуют побочную диагональ.
Изобразим, схематически, как образуются слагаемые с плюсом и с минусом:
С плюсом входят: произведение элементов на главной диагонали, остальные два слагаемых являются произведением элементов, расположенных в вершинах треугольников с основаниями, параллельными главной диагонали.
Слагаемые с минусом образуются по той же схеме относительно побочной диагонали.
Это правило вычисления определителя третьего порядка называют
п р а в и л о м т р е у г о л ь н и к о в.
ПРИМЕРЫ. Вычислить по правилу треугольников:
ЗАМЕЧАНИЕ. Определители называют также д е т е р м и н а н т а м и.
2-ой учебный вопрос СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ.
Приведенные далее свойства выполняются для определителей любого порядка. Все они могут быть доказаны непосредственной проверкой, основанной на правилах вычисления определителей.
Свойство 1. Величина определителя не изменится, если его строки поменять местами с соответствующими столбцами.
Раскрывая оба определителя, убеждаемся в справедливости равенства.
Свойство 1 устанавливает равноправность строк и столбцов определителя. Поэтому все дальнейшие свойства определителя будем формулировать и для строк и для столбцов.
Свойство 2. При перестановке двух строк (или столбцов) определитель изменяет знак на противоположный, сохраняя абсолютную величину .
Свойство 3. Общий множитель элементов строки ( или столбца ) можно выносить за знак определителя.
Свойство 4. Если определитель имеет две одинаковые строки (или столбца), то он равен нулю.
Это свойство можно доказать непосредственной проверкой, а можно использовать свойство 2.
Обозначим определитель за . При перестановке двух одинаковых первой и второй строк он не изменится, а по второму свойству он должен поменять знак, т.е.
Свойство 5. Если все элементы какой-то строки ( или столбца ) равны нулю, то определитель равен нулю.
Это свойство можно рассматривать как частный случай свойства 3 при
Свойство 6. Если элементы двух строк ( или столбцов ) определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.
Можно доказать непосредственной проверкой или с использованием свойств 3 и 4.
Свойство 7. Величина определителя не изменится, если к элементам какой-либо строки (или столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на одно и то же число.
Доказывается непосредственной проверкой.
Применение указанных свойств может в ряде случаев облегчить процесс вычисления определителей, особенно третьего порядка.
Для дальнейшего нам понадобится понятия минора и алгебраического дополнения. Рассмотрим эти понятия для определения третьего порядка.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Минором данного элемента определителя третьего порядка называется определитель второго порядка, полученный из данного вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент.
Минор элемента а i j обозначается М i j . Так для элемента а 11 минор
Он получается, если в определителе третьего порядка вычеркнуть первую строку и первый столбец.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Алгебраическим дополнением элемента определителя называют его минор, умноженный на (-1) k , где k - сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент.
Алгебраическое дополнение элемента а i j обозначается А i j .
Выпишем алгебраические дополнения для элементов а 11 и а 12.
Полезно запомнить правило: алгебраическое дополнение элемента определителя равно его минору со знаком плюс , если сумма номеров строки и столбца, в которых стоит элемент, четная, и со знаком минус , если эта сумма нечетная .
ПРИМЕР. Найти миноры и алгебраические дополнения для элементов первой строки определителя:
Ясно, что миноры и алгебраические дополнения могут отличаться только знаком.
Рассмотрим без доказательства важную теорему - теорему разложения определителя.
Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки или столбца на их алгебраические дополнения.
Используя эту теорему, запишем разложение определителя третьего порядка по первой строке.
Последнюю формулу можно использовать как основную при вычислении определителя третьего порядка.
Теорема разложения позволяет свести вычисление определителя третьего порядка к вычислению трех определителей второго порядка.
Рекомендуется раскладывать определитель по той строке или столбцу, где есть нули, т.к. для нулевых элементов не надо находить алгебраические дополнения.
Теорема разложения дает второй способ вычисления определителей третьего порядка.
ПРИМЕРЫ. Вычислить определитель, используя теорему разложения.
использовали разложения по второй строке.
Теорема разложения позволяет также вычислять определители более высокого порядка, сводя их к вычислению нескольких определителей третьего или второго порядка.
Так, определитель четвертого порядка можно свести к вычислению четырех определителей третьего порядка.
3-ий учебный вопрос ТЕОРЕМА КРАМЕРА
Применим рассмотренную теорию определителей к решению систем линейных уравнений.
1. Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными.
а 11 , …, а 22 - коэффициенты при неизвестных, занумерованные двумя индексами, где первый индекс означает номер уравнения, а второй индекс - номер неизвестного.
Напомним, что под решением системы (3) понимается пара значений х 1 , х 2 , которые при подстановке в оба уравнения обращают их в верные равенства.
В случае, когда система имеет единственное решение, это решение можно найти с помощью определителей второго порядка.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5 . Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы.
В столбцах определителя стоят коэффициенты соответственно при х 1 и при , х 2 .
Введем два д о п о л н и т е л ь н ы х о п р е д е л и т е л я , которые получаются из определителя системы заменой одного из столбцов столбцом свободных членов:
Рассмотрим без доказательства следующую теорему:
Если определитель системы (3) отличен от нуля ( 0), то система имеет единственное решение, которое находится по формулам:
Формулы (4) называются формулами Крамера.
ПРИМЕР. Решить систему по правилу Крамера.
2. Система трех линейных уравнений с тремя неизвестными:
В случае единственного решения систему (5) можно решить с помощью определителей третьего порядка.
Введем три дополнительных определителя:
Если определитель системы (5) отличен от нуля, то система имеет единственное решение, которое находится по формулам:
Формулы ( 6 ) - это формулы Крамера.
ЗАМЕЧАНИЕ. Г. Крамер (1704 - 1752) - швейцарский математик.
Заметим, что теорема Крамера применима, когда число уравнений равно числу неизвестных и когда определитель системы отличен от нуля.
Если определитель системы равен нулю, то в этом случае система может либо не иметь решений, либо иметь бесчисленное множество решений. Эти случаи исследуются особо, с ними можно подробно познакомиться в рекомендуемой литературе.
Если определитель системы равен нулю ( = 0), а хотя бы один из дополнительных определителей отличен от нуля, то система решений не имеет (т.е. является несовместной).
Теорему Крамера можно обобщать для системы n линейных уравнений с n неизвестными.
Если , то единственное решение системы находится по
Дополнительный определитель получается из определителя , если в нем столбец коэффициентов при неизвестном
x i заменить столбцом свободных членов.
Заметим, что определители , 1 , … , n имеют порядок n .
На лекции рассмотрена новое понятие - определитель, подробно рассмотрены определители второго и третьего порядков, часто встречающиеся на практике. Для определителя третьего порядка приводятся два способа вычисления. Рассмотрена теорема Крамера, которая дает практический способ решения систем линейных уравнений, для случая, когда решение единственное. Более подробно с этой темой можно познакомиться в рекомендуемой литературе.
Теория определителей в трудах П. Лапласа, О. Коши и К. Якоби. Определители второго порядка и системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Определители третьего порядка и свойства определителей. Решение системы уравнений по правилу Крамера. презентация [642,7 K], добавлен 31.10.2016
Определители второго и третьего порядка. Перестановки и подстановки. Миноры и алгебраические дополнения. Применение методов приведения определителя к треугольному виду, представления определителя в виде суммы определителей, выделения линейных множителей. курсовая работа [456,6 K], добавлен 19.07.2013
Основные действия над матрицами, операция их умножения. Элементарные преобразования матрицы, матричный метод решения систем линейных уравнений. Элементарные преобразования систем, методы решения произвольных систем линейных уравнений, свойства матриц. реферат [111,8 K], добавлен 09.06.2011
Пример вычисления определителя второго порядка в общем виде. Свойства векторного произведения и их доказательства. Пример применения правила Крамера для решения систем из n уравнений с n неизвестными. Векторное произведение векторов заданных проекциями. контрольная работа [297,9 K], добавлен 14.03.2009
Понятие ранга матрицы. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики. Свойства скалярного произведения. Разложение вектора по координатным осям. Минор и алгебраическое дополнение. Определители второго и третьего порядка. Плоскость и прямая в пространстве. курс лекций [3,0 M], добавлен 30.10.2013
Основные понятия теории систем уравнений. Метод Гаусса — метод последовательного исключения переменных. Формулы Крамера. Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы. Теорема Кронекер–Капелли. Совместность систем однородных уравнений. лекция [24,2 K], добавлен 14.12.2010
Понятие матрицы, ее ранга, минора, использование при действиях с векторами и изучении систем линейных уравнений. Квадратная и прямоугольная матрица. Элементарные преобразования матрицы. Умножение матрицы на число. Класс диагональных матриц, определители. реферат [102,8 K], добавлен 05.08.2009
Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д. PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах. Рекомендуем скачать работу .

© 2000 — 2021



Определители. Решение систем линейных уравнений лекция. Математика.
Доклад по теме Острова Питкэрн
Управленческая команда
Дипломная работа по теме Оценка инвестиционной привлекательности проекта по созданию гостиничного комплекса
Реферат по теме Создание и обслуживание информационных систем
Дипломная работа: Комплекс экономических и социально-политических проблем, мешающих активному развитию интеграции в Африке в начале ХХI века
Реферат: Night Essay Research Paper NightDelusion and misconception
Реферат: Методические рекомендации по подготовке, написанию и оформлению курсовой работы москва 2022
Реферат по теме Строение глаза
Курсовая работа по теме Особливості договору факторингу
Контрольная Работа На Тему Личностно-Ориентированный Подход В Организации Уроков По "Технологии" Для 8 Класса
Реферат: Общая характеристика многоклеточных . Скачать бесплатно и без регистрации
Курсовая работа по теме Основы конституционного строя Канады
Реферат по теме Какова методика анализа дебиторской задолженности?
Шилова Марина Петровна Диссертация
Реферат: Выбор и способы получения заготовок деталей машин
Темы Рефератов По Теории Государства И Права
Нравственные Проблемы В Бедной Лизе Сочинение
Автореферат На Тему Анатомічні Особливості Клубово-Сліпокишкового Переходу В Раньому Періоді Ортогенезу Людини
Особливості та значення поеми Вергілія "Енеїда" в літературному процесі
Доклад: Комплексное лечение квантовой и электромагнитной терапией
Расчеты с дебиторами и кредиторами - Бухгалтерский учет и аудит контрольная работа
Смерть Базарова - Литература реферат
Изображение души в "Петербургских повестях" Н.В. Гоголя - Литература контрольная работа