Определитель матрицы системы уравнения

Матричный метод решения систем линейных уравнений.

=== Скачать файл ===

Математика: Определители матрицы и системы линейных алгебраических уравнений, Реферат

Метод Крамера

На лекции рассматриваются определители второго и третьего порядков, их свойства. А также теорема Крамера, позволяющая решать системы линейных уравнений с помощью определителей. Определители используются также в дальнейшем в теме 'Векторная алгебра' при вычислении векторного произведения векторов. Рассмотрим таблицу из четырех чисел вида. Числа в таблице обозначены буквой с двумя индексами. Первый индекс указывает номер строки, второй — номер столбца. Определителем второго порядка называют выражение вида:. Числа а 11, …, а 22 называют э л е м е т а м и определителя. Диагональ, образованная элементами а 11 ; а 22 называется г л а в н ой, а диагональ, образованная элементами а 12 ; а 21 -п о б о ч н ой. Таким образом, определитель второго порядка равен разности произведений элементов главной и побочной диагоналей. Элементы а 11; а 22 ; а 33 — образуют главную диагональ. Числа а 13; а 22 ; а 31 — образуют побочную диагональ. Приведенные далее свойства выполняются для определителей любого порядка. Все они могут быть доказаны непосредственной проверкой, основанной на правилах вычисления определителей. Величина определителя не изменится, если его строки поменять местами с соответствующими столбцами. Свойство 1 устанавливает равноправность строк и столбцов определителя. Поэтому все дальнейшие свойства определителя будем формулировать и для строк и для столбцов. При перестановке двух строк или столбцов определитель изменяет знак на противоположный, сохраняя абсолютную величину. Общий множитель элементов строки или столбца можно выносить за знак определителя. Если определитель имеет две одинаковые строки или столбца , то он равен нулю. Обозначим определитель за D. При перестановке двух одинаковых первой и второй строк он не изменится, а по второму свойству он должен поменять знак, то есть Свойство 5. Если все элементы какой—то строки или столбца равны нулю, то определитель равен нулю. Если элементы двух строк или столбцов определителя пропорциональны, то определитель равен нулю. Величина определителя не изменится, если к элементам какой-либо строки или столбца прибавить соответствующие элементы другой строки или столбца , умноженные на одно и то же число. Применение указанных свойств может в ряде случаев облегчить процесс вычисления определителей, особенно третьего порядка. Для дальнейшего нам понадобится понятия минора и алгебраического дополнения. Рассмотрим эти понятия для определения третьего порядка. Минором данного элемента определителя третьего порядка называется определитель второго порядка, полученный из данного вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент. Минор элемента а i j обозначается М i j. Так для элемента а 11 минор. Алгебраическим дополнением элемента определителя называют его минор, умноженный на -1 k , где k - сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент. Алгебраическое дополнение элемента а i j обозначается А i j. Выпишем алгебраические дополнения для элементов а 11 и а Найти миноры и алгебраические дополнения для элементов первой строки определителя:. Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки или столбца на их алгебраические дополнения. Теорема разложения позволяет свести вычисление определителя третьего порядка к вычислению трех определителей второго порядка. Рекомендуется раскладывать определитель по той строке или столбцу, где есть нули, так как для нулевых элементов не надо находить алгебраические дополнения. Теорема разложения позволяет также вычислять определители более высокого порядка, сводя их к вычислению нескольких определителей третьего или второго порядка. Так, определитель четвертого порядка можно свести к вычислению четырех определителей третьего порядка. Напомним, что под решением системы 3 понимается пара значений х 1 , х 2 , которые при подстановке в оба уравнения обращают их в верные равенства. В случае, когда система имеет единственное решение, это решение можно найти с помощью определителей второго порядка. Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы. В столбцах определителя D стоят коэффициенты соответственно при х 1 и при , х 2. Введем два д о п о л н и т е л ь н ы х о п р е д е л и т е л я , которые получаются из определителя системы заменой одного из столбцов столбцом свободных членов:. В случае единственного решения систему 5 можно решить с помощью определителей третьего порядка. Если определитель D системы 5 отличен от нуля, то система имеет единственное решение, которое находится по формулам:. Заметим, что теорема Крамера применима, когда число уравнений равно числу неизвестных и когда определитель системы D отличен от нуля. Если определитель системы равен нулю, то в этом случае система может либо не иметь решений, либо иметь бесчисленное множество решений. Эти случаи исследуются особо, с ними можно подробно познакомиться в рекомендуемой литературе. Теорему Крамера можно обобщать для системы n линейных уравнений с n неизвестными. Если , то единственное решение системы находится по. Дополнительный определитель получается из определителя D, если в нем столбец коэффициентов при неизвестном. На лекции рассмотрена новое понятие — определитель, подробно рассмотрены определители второго и третьего порядков, часто встречающиеся на практике. Для определителя третьего порядка приводятся два способа вычисления. Рассмотрена теорема Крамера, которая дает практический способ решения систем линейных уравнений, для случая, когда решение единственное. Более подробно с этой темой можно познакомиться в рекомендуемой литературе. Все материалы в разделе 'Математика'. Определители второго и третьего порядка. Щипачев, Высшая математика, гл. ВВЕДЕНИЕ На лекции рассматриваются определители второго и третьего порядков, их свойства. Решение произвольных систем линейных уравнений. Определители матрицы и системы линейных алгебраических уравнений. Системы линейных уравнений и неравенств. Методы решения систем линейных уравнений. Поиски более рационального способа решения систем линейных уравнений с двумя переменными - методом подстановки. Решение систем линейных дифференциальных уравнений пятиточечным методом Адамса Башфорта. Работа с массивами и решение систем уравнений в Mathcad. Решение системы линейных уравнений.

Тв плеер для андроид

Оценивание образовательных результатовпо фгос

Короед методы борьбы

Правила стирки вещей

Варикоцеле левого яичка лечение

Кимовск тульская область москва расписание автобусов

За сколько можно пробежать км

Gtx 500 характеристики

Обозначение площади квартиры на чертеже

Себорейный дерматит волосистой части головы отзывы

Redmi 4a как вставить сим карту

Перевод денег украина россия сбербанк