Определить зависимость событий
Определить зависимость событийСкачать файл - Определить зависимость событий
Событие А называется зависимым от события В, если вероятность появления события А зависит от того, произошло или не произошло событие В. Вероятность того, что произошло событие А при условии, что произошло событие В, будем обозначать и называть условной вероятностью события А при условии В. В урне находится 3 белых шара и 2 черных. Из урны вынимается один шар первое вынимание , а затем второй второе вынимание. Событие В — появление белого шара при первом вынимании. Событие А — появление белого шара при втором вынимании. Очевидно, что вероятность события А, если событие В произошло, будет Вероятность события Л при условии, что событие В не произошло при первом вынимании появился черный шар , будет Видим, что Теорема 1. Вероятность совмещения двух событий равняется произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго, вычисленную при условии, что первое событие произошло, т. Доказательство приведем для событий, которые сводятся к схеме урн т. Пусть в урне шаров, при этом белых, черных. Из урны вынимается один шар. Очевидно, Но Подставляя в 5 левые части выражений 2 , 3 и 4 , получаем Равенство 1 доказано. Если рассматриваемые события не укладываются в классическую - схему, то формула 1 служит для определения условной вероятности. А именно, условная вероятность события А при условии осуществления события В опрёделяется с помощью формулы Замечание 1. Применим последнюю формулу к выражению: В равенствах 1 и 6 левые части равны, так как это одна и та же вероятность, следовательно, равны и правые. Поэтому можем написать равенство Пример 2. Для случая примера 1, приведенного в начале этого параграфа, имеем По формуле 1 получаем Вероятность Р А и В легко вычисляется и непосредственно. Вероятность изготовления годного изделия данным станком равна 0,9. Вероятность появления изделия 1-го сорта среди годных изделии есть 0,8. Определить вероятность изготовления изделия 1-го сорта данным станком. Событие В — изготовление годного изделия данным станком, событие А — появление изделия 1-го сорта. Здесь Подставляя в формулу 1 , получаем искомую вероятность Теорема 2. Если событие А может осуществиться только при выполнении одного из событий которые образуют полную группу несовместных событий, то вероятность события А вычисляется по формуле Формулд 8 называется формулой полной вероятности. Событие А может произойти при выполнении любого из совмещенных событий Следовательно, по теореме о сложение вероятностей получаем Заменяя слагаемые правой части по формуле 1 , получим равенство 8. По цели произведено три последовательных выстрела. Вероятность попадания при первом выстреле при втором при третьем При одном попадании вероятность поражения цели при двух попаданиях , при трех попаданиях Определить вероятность пфаженйя цели при трех выстрелах событие А. Рассмотрим полную группу несовместных событий: Определим вероятность каждого события. Одно попадание произойдет, если или первый выстрел даст попадание, второй и третий — промах; или первый вцстрел — промах, второй попадание, третий промах; или первый выстрел — промах, второй промах, третий — попадание. Поэтому по теореме умножения и сложения вероятностей будем иметь для вероятности одного попадания выражение Аналогично рассуждая, получим Напишем условные вероятности поражения цели при осуществлении каждого из этих событий: Подставляя полученные выражения в формулу 8 , получим вероятность поражения цели Замечание 2. Если событие А не зависит от события В, то и формула 1 принимает вид: Уравнение движения тела при сопротивлении среды, пропорциональном скорости. Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными. Некоторые типы дифференциальных уравнений второго порядка, приводимых к уравнениям первого порядка. Понятие о теории устойчивости Ляпунова. Разностный метод приближенного решения дифференциальных уравнений, основанный на применении формулы Тейлора.. Приближенный метод интегрирования систем дифференциальных уравнений первого порядка Упражнения к главе XIII ГЛАВА XIV. Вычисление интегралов, зависящих от параметра Упражнения к главе XIV ГЛАВА XV. Некоторые его применения Упражнения к главе XV ГЛАВА XVI. Доказательство существования решения дифференциального уравнения. Теорема единственности решения дифференциального уравнения Упражнения к главе XVI ГЛАВА XVII. Понятие о линейном функциональном пространстве. Аналогия между разложением функций в ряд Фурье и разложением векторов Упражнения к главе XVII ГЛАВА XVIII. Вывод уравнения колебаний струны. Уравнение распространения тепла в стержне. Задачи, приводящие к исследованию решений уравнения Лапласа. Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах. Решение задачи Дирихле методом конечных разностей Упражнения к главе XVIII ГЛАВА XIX. Изображение функции с измененным масштабом независимой переменной. Дифференциальные уравнения механических колебаний. Дельта-функция и ее изображение Упражнения к главе XIX ГЛАВА XX. Относительная частота случайного события. Плотность распределения непрерывной случайной величины. Функция распределения, или интегральный закон распределения. Вероятность попадания значения случайной величины в заданный интервал. Выражение нормального закона распределения через срединное отклонение. Определение параметров закона распределения. Теорема Лапласа Упражнения к главе XX ГЛАВА XXI. Полная вероятность Определение 1. Очевидно, что вероятность события А, если событие В произошло, будет Вероятность события Л при условии, что событие В не произошло при первом вынимании появился черный шар , будет Видим, что. А именно, условная вероятность события А при условии осуществления события В опрёделяется с помощью.
Как решать задачи на вероятность?
Высшая математика — просто и доступно! Если сайт упал, используйте ЗЕРКАЛО: Наш форум и библиотека: Не нашлось нужной задачи? Задайте вопрос на форуме! Высшая математика для чайников, или с чего начать? Векторы для чайников Скалярное произведение векторов Линейная не зависимость векторов. Базис векторов Переход к новому базису Векторное и смешанное произведение векторов Формулы деления отрезка в данном отношении Прямая на плоскости Простейшие задачи с прямой на плоскости Линейные неравенства Как научиться решать задачи по аналитической геометрии? Эллипс Гипербола и парабола Задачи с линиями 2-го порядка Как привести уравнение л. Полярные координаты Как построить линию в полярной системе координат? Уравнение плоскости Прямая в пространстве Задачи с прямой в пространстве Основные задачи на прямую и плоскость Треугольная пирамида. Множества и действия над ними Основы математической логики Формулы и законы логики Уравнения высшей математики Комплексные числа Выражения, уравнения и с-мы с комплексными числами Действия с матрицами Как вычислить определитель? Свойства определителя и понижение его порядка Как найти обратную матрицу? Матричные выражения Матричные уравнения Как решить систему линейных уравнений? Матричный метод решения системы Метод Гаусса для чайников Несовместные системы и системы с общим решением Как найти ранг матрицы? Однородные системы линейных уравнений Метод Гаусса-Жордана Решение системы уравнений в различных базисах Линейные преобразования Собственные значения и собственные векторы. Примеры решений Замечательные пределы Методы решения пределов Бесконечно малые функции. Эквивалентности Правила Лопиталя Сложные пределы Пределы последовательностей Пределы по Коши. Примеры решений Логарифмическая производная Производные неявной, параметрической функций Простейшие задачи с производной Производные высших порядков Что такое производная? Производная по определению Как найти уравнение нормали? Приближенные вычисления с помощью дифференциала Метод касательных. Графики и свойства элементарных функций Как построить график функции с помощью преобразований? Непрерывность, точки разрыва Область определения функции Асимптоты графика функции Интервалы знакопостоянства Возрастание, убывание и экстремумы функции Выпуклость, вогнутость и точки перегиба графика Полное исследование функции и построение графика Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке Экстремальные задачи. Область определения функции двух переменных. Линии уровня Основные поверхности Предел функции 2 переменных Повторные пределы Непрерывность функции 2п Частные производные Частные производные функции трёх переменных Производные сложных функций нескольких переменных Как проверить, удовлетворяет ли функция уравнению? Частные производные неявно заданной функции Производная по направлению и градиент функции Касательная плоскость и нормаль к поверхности в точке Экстремумы функций двух и трёх переменных Условные экстремумы Наибольшее и наименьшее значения функции в области Метод наименьших квадратов. Примеры решений Метод замены переменной в неопределенном интеграле Интегрирование по частям Интегралы от тригонометрических функций Интегрирование дробей Интегралы от дробно-рациональных функций Интегрирование иррациональных функций Сложные интегралы Определенный интеграл Как вычислить площадь с помощью определенного интеграла? Теория для чайников Объем тела вращения Несобственные интегралы Эффективные методы решения определенных и несобственных интегралов S в полярных координатах S и V, если линия задана в параметрическом виде Длина дуги кривой S поверхности вращения Приближенные вычисления определенных интегралов Метод прямоугольников. Дифференциальные уравнения первого порядка Однородные ДУ 1-го порядка ДУ, сводящиеся к однородным Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах Уравнение Бернулли Дифференциальные уравнения с понижением порядка Однородные ДУ 2-го порядка Неоднородные ДУ 2-го порядка Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Метод вариации произвольных постоянных Как решить систему дифференциальных уравнений Задачи с диффурами Методы Эйлера и Рунге-Кутты. Ряды для чайников Как найти сумму ряда? Признаки Коши Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница Ряды повышенной сложности. Степенные ряды Разложение функций в степенные ряды Сумма степенного ряда Равномерная сходимость Другие функциональные ряды Приближенные вычисления с помощью рядов Вычисление интеграла разложением функции в ряд Как найти частное решение ДУ приближённо с помощью ряда? Вычисление пределов Ряды Фурье. Двойные интегралы Как вычислить двойной интеграл? Примеры решений Двойные интегралы в полярных координатах Как найти центр тяжести плоской фигуры? Тройные интегралы Как вычислить произвольный тройной интеграл? Криволинейные интегралы Интеграл по замкнутому контуру Формула Грина. Работа силы Поверхностные интегралы. Основы теории поля Поток векторного поля Дивергенция векторного поля Формула Гаусса-Остроградского Циркуляция векторного поля и формула Стокса. Примеры решений типовых задач комплексного анализа Как найти функцию комплексной переменной? Решение ДУ методом операционного исчисления Как решить систему ДУ операционным методом? Основы теории вероятностей Задачи по комбинаторике Задачи на классическое определение вероятности Геометрическая вероятность Задачи на теоремы сложения и умножения вероятностей Зависимые события Формула полной вероятности и формулы Байеса Независимые испытания и формула Бернулли Локальная и интегральная теоремы Лапласа Статистическая вероятность Случайные величины. Математическое ожидание Дисперсия дискретной случайной величины Функция распределения Геометрическое распределение Биномиальное распределение Распределение Пуассона Гипергеометрическое распределение вероятностей Непрерывная случайная величина, функции F x и f x Как вычислить математическое ожидание и дисперсию НСВ? Равномерное распределение Показательное распределение Нормальное распределение. Если Вы заметили опечатку, пожалуйста, сообщите мне об этом. Заказать контрольную Часто задаваемые вопросы Гостевая книга. Авторские работы на заказ. По высшей математике и физике. На предыдущем уроке мы ознакомились с основными теоремами сложения и умножения вероятностей , а также научились решать типовые задачи с независимыми событиями, и сейчас последует гораздо более интересное продолжение, которое позволит не только освоить новый материал, но и, возможно, окажет практическую житейскую помощь. Кратко повторим, что такое независимость событий: Простейший пример — подбрасывание двух монет. Вероятность выпадения орла либо решки на одной монете никак не зависит от результата броска другой монеты. Сначала рассмотрим традиционный набор, состоящий из двух событий: Из колоды в 36 карт последовательно извлекаются 2 карты. Найти вероятность того, что вторая карта окажется червой, если до этого:. Совершенно понятно, что вероятность этого события зависит от того, черву или не черву вытянули ранее. Всё логично — если вероятность извлечения червы из полной колоды составляет , то при извлечении следующей карты аналогичная вероятность изменится: Зависимых событий, разумеется, может быть и больше. Пока задача не остыла, добавим ещё одно: Предположим, что произошло событие , а затем событие ; тогда в колоде осталось 34 карты, среди которых 7 черв. В конверте находится 10 лотерейных билетов, среди которых 3 выигрышных. Из конверта последовательно извлекаются билеты. Найти вероятности того, что:. А теперь обратим внимание на один принципиально важный момент: Но ведь в действительности и они являются случайными! На практике гораздо чаще требуется отыскать вероятность совместного появления зависимых событий. Как, например, найти вероятность события , состоящего в том, что из полной колоды будет извлечена черва и затем ещё одна черва? И, само собой, не нужно питать особых надежд, что из конверта с десятью лотерейными билетами Задача 2 вы вытяните 3 выигрышных билета подряд: Да, совершенно верно — теорема умножения вероятностей зависимых событий естественным образом распространяется и на бОльшее их количество. В урне 4 белых и 7 черных шаров. Из урны наудачу один за другим извлекают два шара, не возвращая их обратно. Найти вероятность того, что:. Этот комментарий дополнительно подчёркивает тот факт, что события зависимы. Действительно, а вдруг извлечённые шары возвращают обратно? В случае возвратной выборки вероятности извлечения чёрного и белого шара меняться не будут, а в такой задаче уже следует руководствоваться теоремой умножения вероятностей НЕзависимых событий. По классическому определению вероятности: Предположим, что белый шар извлечён, тогда в урне останется 10 шаров, среди которых 3 белых, поэтому: По теореме умножения вероятностей зависимых событий: Пусть извлечён чёрный шар, тогда в урне останется 10 шаров, среди которых 6 чёрных, следовательно: После извлечения белого шара с вероятностью в урне останется 10 шаров, среди которых 3 белых и 7 чёрных, таким образом: Данную задачу нетрудно проверить через теорему сложения вероятностей событий, образующих полную группу. Для этого найдём вероятность 4-го недостающего события: В урне 6 черных, 5 красных и 4 белых шара. Последовательно извлекают три шара. Найти вероятность того, что. Надо сказать, что многие из рассматриваемых задач разрешимы и другим способом, но чтобы не возникло путаницы, пожалуй, вообще о нём умолчу. Наверное, все заметили, что зависимые события возникают в тех случаях, когда осуществляется некоторая цепочка действий. Однако сама по себе последовательность действий ещё не гарантируют зависимость событий. Из урны, в которой находится 6 белых и 4 черных шара, извлекаются наудачу один за другим три шара. Событий в данной задаче будет многовато, и в этой связи целесообразнее использовать смешанный стиль оформления, обозначая прописными латинскими буквами только основные события. Надеюсь, вы уже поняли, по какому принципу подсчитываются условные вероятности. Данное событие состоит в 2 несовместных исходах: По теоремам сложения вероятностей несовместных и умножения вероятностей зависимых событий: На всякий случай озвучу примерный ход рассуждений при конструировании, например, произведения: По теореме сложения вероятностей несовместных событий: Из 20 экзаменационных билетов 3 содержат простые вопросы. Пять студентов по очереди берут билеты. Найти вероятность того, что хотя бы одному из них достанется билет с простыми вопросами. А почему бы и нет? Ситуация более чем реалистичная: Проведите самостоятельное исследование — какова вероятность того, что хоть кому-то из этих пяти добровольцев повезёт с билетом? В первой урне содержится 12 шаров, из них 7 белых, во второй — 6 шаров, из них 3 белых. Из первой урны во вторую наудачу перекладывают один шар, а затем из второй урны наудачу извлекают один шар. Найти вероятность того, что он окажется белым. В этой связи необходимо рассмотреть 2 несовместные гипотезы:. В первой урне находится 3 белых и 2 черных шара, во второй — 4 белых и 4 черных. Из первой урны во вторую наудачу перекладывают 2 шара. Найти вероятность того, что из второй урны будет извлечён белый шар. Для решения задания нужно рассмотреть 3 несовместные гипотезы, привлечь на помощь комбинаторику и воспользоваться типовой задачей на классическое определение вероятности. Желающие могут ознакомиться с более трудными примерами из сборника Чудесенко , в которых перекладываются несколько шаров. Особым любителям предлагаю задачи повышенной комбинационной сложности — с двумя последовательными перемещениями шаров из 1-й во 2-ю урну, из 2-й в 3-ю и финальным извлечением шара из последней урны — смотрите последние задачи файла Дополнительные задачи на теоремы сложения и умножения вероятностей. Кстати, там немало и других интересных заданий. Выкладки в общем виде будут слишком громоздкие, поэтому рассмотрим конкретный пример:. Петя сдаёт экзамен по теории вероятностей, при этом 20 билетов он знает хорошо, а 10 плохо. Предположим, в первый день экзамен сдаёт часть группы, например, 16 человек, включая нашего героя. В общем, ситуация до боли знакома: Очевидно, что последовательное извлечение билетов представляет собой цепь зависимых событий, и возникает насущный вопрос: Как изменится вероятность извлечения удачного билета, если пропустить вперёд отличницу Настю? В этом случае возможны две несовместные гипотезы:. Вероятность… осталось той же! Здесь гипотез будет побольше: Если провести аналогичные рассуждения, воспользоваться теми же теоремами, то… получится такое же значение вероятности! Таким образом, чисто с математической точки зрения, без разницы, когда идти — первоначальные вероятности останутся неименными. Зачастую эти факторы могут быть даже решающими, но в заключительных рассуждениях я постараюсь не сбрасывать со счетов и дополнительные вероятностные аспекты:. А то, что два неудачных билета на отдельно взятом экзамене а не по средней теоретической оценке! В этом случае целесообразно пропустить вперёд человек, и ожидать подходящего момента вне аудитории. Довольно скоро начнёт поступать информация, какие билеты вытянули однокурсники снова зависимые события! Постарайтесь не упускать момент — всего несколько пропущенных вперёд человек, и преимущество, скорее всего, растает. Трудных билетов теперь не десять, а восемь! С удвоенной энергией штудируем материал! Какой можно сделать вывод? Тогда в конверте осталось 9 билетов, среди которых 2 выигрышных. Данные события являются противоположными, поэтому. При осуществлении данной гипотезы во 2-й урне станет 6 белых и 4 чёрных шара. При осуществлении данной гипотезы во второй урне станет 5 белых и 5 черных шаров. При осуществлении данной гипотезы во второй урне станет 4 белых и 6 черных шаров. Как можно отблагодарить автора? Качественные работы без плагиата — Zaochnik. Копирование материалов сайта запрещено. Уравнение плоскости Прямая в пространстве Задачи с прямой в пространстве Основные задачи на прямую и плоскость Треугольная пирамида Элементы высшей алгебры: Однородные системы линейных уравнений Метод Гаусса-Жордана Решение системы уравнений в различных базисах Линейные преобразования Собственные значения и собственные векторы Пределы: Приближенные вычисления с помощью дифференциала Метод касательных Функции и графики: Непрерывность, точки разрыва Область определения функции Асимптоты графика функции Интервалы знакопостоянства Возрастание, убывание и экстремумы функции Выпуклость, вогнутость и точки перегиба графика Полное исследование функции и построение графика Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке Экстремальные задачи ФНП: Частные производные неявно заданной функции Производная по направлению и градиент функции Касательная плоскость и нормаль к поверхности в точке Экстремумы функций двух и трёх переменных Условные экстремумы Наибольшее и наименьшее значения функции в области Метод наименьших квадратов Интегралы: Дифференциальные уравнения первого порядка Однородные ДУ 1-го порядка ДУ, сводящиеся к однородным Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах Уравнение Бернулли Дифференциальные уравнения с понижением порядка Однородные ДУ 2-го порядка Неоднородные ДУ 2-го порядка Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Метод вариации произвольных постоянных Как решить систему дифференциальных уравнений Задачи с диффурами Методы Эйлера и Рунге-Кутты Числовые ряды: Признак Лейбница Ряды повышенной сложности Функциональные ряды: Примеры решений Кратные интегралы: Работа силы Поверхностные интегралы Элементы векторного анализа: Основы теории поля Поток векторного поля Дивергенция векторного поля Формула Гаусса-Остроградского Циркуляция векторного поля и формула Стокса Комплексный анализ: Подготовка к ЕГЭ По высшей математике и физике Помогут разобраться в теме, подготовиться к экзамену.
Как определить зависимость/независимость событий?
Общая характеристика низших хордовых
Правила безопасностипри использовании газового оборудования
Учебник по теории вероятностей
Новости тау 9 1 2 шеремет видео