OpenAI ha risolto uno dei problemi matematici del millennio.…

Uno dei sette Millennium Prize Problems individuati dal Clay Mathematics Institute potrebbe essere stato risolto. A raggiungere il traguardo non è stato uno studioso, ma un sistema di OpenAI che ha trovato la soluzione al problema dell’esistenza e regolarità delle equazioni di Navier-Stokes. Si tratta di uno dei problemi matematici più difficili al mondo e rimasto senza una risposta da decenni. Anche se la società di Sam Altman ha già festeggiato l’impresa, per essere consacrata è prima necessario il giudizio definitivo da parte della comunità scientifica. Che però è scettica.

Cosa sono le equazioni di Navier-Stokes

Le equazioni di Navier-Stokes descrivono il comportamento di liquidi e gas e vengono utilizzate per progettare aeromobili, elaborare le previsioni meteorologico o studiare il flusso sanguigno. La prima equazione di questo genere fu elaborata a metà del 700 da Leonard Euler, che descrisse come si muove un fluido in condizioni ideali. Si può prendere ad esempio un flusso d’acqua per capire il suo movimento, senza considerare però la viscosità e altri tipi di resistenza fisica. Questa condizione è stata poi studiata dall’ingegnere e scienziato francese Claude-Louis Navier, che ha cercato di capire sia come si muovessero nello spazio due flussi d’acqua sottoposti ad accelerazioni e resistenze diverse, sia come tenere in considerazione la viscosità interna di fluidi come il miele. Le sue ricerche furono fondamentali per la creazione di impianti e macchine che potessero lavorare i fluidi. A completare il quadro arrivarono le equazioni del matematico inglese Gabriel-George Stokes.

La domanda irrisolta

Nei secoli, però, era rimasta ancora una domanda aperta, chiamata la “versione 3D” del problema. Gli esperti non erano ancora arrivati a stabilire cosa accadesse matematicamente al fluido a seconda delle forze che interagiscono con esso come la resistenza al movimento o la direzione presa. In particolare, restava da capire se le soluzioni rimanessero stabili nel tempo o potessero invece sviluppare singolarità, un cosiddetto “blow up”, in un tempo finito. Proprio per questo le equazioni di Navier-Stokes sono uno dei sette problemi del millennio individuati dal Clay Mathematics Institute nel 2000.

Il lavoro di OpenAI

Ora il quesito sembra essere stato risolto da OpenAI, che ha pubblicato un documento con il risultato e la dimostrazione formalizzata nel linguaggio Lean, usato per la verifica automatica di prove matematiche. Il report della società dimostrerebbe l’esistenza di condizioni in cui le equazioni conducono a una singolarità. Inoltre, anche che le equazioni collasserebbero nel tempo, arrivando a non descrivere più una soluzione regolare. A spiegarlo a Nature è stato Ven Chandrasekaran, ricercatore di OpenAI. «La nostra prova mostra che esistono fluidi che partono in condizioni perfettamente normali e che, secondo le equazioni di Navier-Stokes, raggiungono effettivamente una velocità infinita in un tempo finito».

Come è stato risolto il problema da OpenAi

Il documento non si limita a rispondere al quesito, ma spiega anche come la società è arrivata a tale constatazione. Come ricostruito da Nature e Quanta Magazine, OpenAI ha inizialmente impiegato mille agenti per condurre una versione semplificata del problema. Le forze, però, non erano sufficienti. Per risolvere l’equazione Navier-Stokes sono stati necessari 10mila agenti, basati su un modello interno che non è stato ancora pubblicato. E se i numeri contato, è importante sottolineare anche i tempi impiegati: 88 ore per produrre la dimostrazione dell’esistenza della singolarità e 17 per formalizzare il risultato. Una risposta che è costata diversi milioni di dollari e che è solo l’inizio di questa storia.

Perché OpenAi non può ancora accaparrarsi la vittoria

OpenAI non può ancora accaparrarsi la vittoria del Millennium Prize Problems a causa di alcune regole interne del Clay Mathematics Institute. Non basta pubblicare soluzioni e dimostrazioni formalizzate. Ma è necessario che la risposta ai quesiti matematici venga pubblicata su una rivista scientifica qualificata e ottenere la convalida della comunità matematica internazionale. Poi, trascorsi almeno due anni dalla pubblicazione, l’Istituto può premiare con la ricompensa prevista di un milione di dollari. Il percorso di OpenAI è ancora in salita, ma la società ha già affermato che in caso di convalida non reclamerà il denaro del Clay.

C’è poi un problema più tecnico. La società ha fornito una versione “forzata” delle equazioni di Navier-Stokes, ovvero un fluido sottoposto a una forza esterna applicata in modo controllato. E questo potrebbe essere un problema in quanto il Clay tiene in considerazione solo le risposte “non forzate” ai problemi, quindi senza l’applicazione di forze esterne. L’annuncio di OpenAI, per quanto lodato dalla comunità scientifica, non soddisfa i criteri per il Millennium Prize.

La polemica dei matematici

A ciò si aggiunge una competizione tra la società di Altman e i matematici Levent Alpöge dell’Università di Harvard e Tristan Buckmaster della New York University, che stavano lavorando da circa un anno alla risoluzione del problema. I due si erano concentrati non sulle equazioni di Navier-Stokes complete, ma su quelle di Eulero. Per portare avanti i calcoli hanno usato più modelli di intelligenza artificiale, tra cui Claude di Anthropic e Codex di OpenAI. Dopo mesi di progressi lenti, il 15 agosto sono riusciti a dimostrare che anche le equazioni di Eulero, nella loro versione forzata, possono sviluppare un “blow up” in tempo finito.

Prima che il lavoro potesse essere pubblicato, secondo quanto dichiarato da Buckmaster in una nota diffusa personalmente, la voce del loro approccio sarebbe arrivata a OpenAI, che ha completato la propria dimostrazione e la relativa verifica in Lean. Inoltre, dato che Alpöge è dipendente di Anthropic, la società avrebbe chiesto esplicitamente a Buckmaster di escluderlo dal paper. La vicenda ha così acceso un ampio dibattito nella comunità scientifica, non solo sul piano matematico, ma anche su chi possa rivendicare la paternità di un risultato ottenuto con l’aiuto di più intelligenze artificiali sviluppate da aziende concorrenti tra loro.

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