Олимпиадные задачи по математике за 8-9 классы - Математика курсовая работа

Главная

Математика
Олимпиадные задачи по математике за 8-9 классы

Комплексный обзор и систематизация задач математических школьных и районных олимпиад для 8-9 классов. Решение числовых ребусов, уравнений с неизвестными и восстановление цифр натуральных чисел. Логические задачи, стратегии, комбинаторика и тождества.


посмотреть текст работы


скачать работу можно здесь


полная информация о работе


весь список подобных работ


Нужна помощь с учёбой? Наши эксперты готовы помочь!
Нажимая на кнопку, вы соглашаетесь с
политикой обработки персональных данных

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

«Олимпиадные задачи по математике за 8-9 классы»
ГЛАВА 1. ШКОЛЬНЫЕ ОЛИМПИАДЫ 8-9 КЛАССОВ
1.2 Восстановление цифр натуральных чисел
1.6 Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное
1.8 Степень с натуральным показателем
1.9 Уравнения первой степени с двумя неизвестными в целых числах
1.10 Уравнения второй степени с двумя неизвестными в целых числах
1.11 Уравнения с несколькими неизвестными в натуральных числах
2.1 Принцип Дирихле. Принцип крайнего
2.8 Тождественные преобразования. Преобразования выражений
ГЛАВА 3. ЗАДАЧИ ПОВЫШЕННОЙ СЛОЖНОСТИ
математика задача олимпиада уравнение число
Олимпиады возникли в Древней Греции как состязания в ловкости, силе, красоте. Первая олимпиада состоялась 776 г. до н. э. Олимпиады проводились в Олимпии один раз в четыре года вплоть до 394 г. н. э., когда были запрещены в связи с распространением христианства. Вновь олимпиады возродились в 1896 г.
Различного рода состязания проводились не только в спорте. Хорошо известна любовь к состязаниям в решении задач как на Руси, так и во многих других странах мира. Математические соревнования по решению задач также называются олимпиадами, хотя они проводятся в настоящее время с периодом не в четыре года, а, как правило, ежегодно.
В России конкурсы по решению задач начали проводиться с 1886 г., в Венгрии и Румынии--с 1894 г., а в других странах значительно позже (в Беларуси - с 1950 г).
Развивающий потенциал олимпиадных задач неисчерпаем.
Несомненна польза занимательных заданий для того, чтобы сделать даже обычные уроки нескучными, душевно комфортными и при этом чрезвычайно насыщенными и эффективными. Бесспорна роль олимпиад в раскрытии творческого потенциала участника, в расширении его кругозора, развитии интереса к изучению предмета, в выявлении одаренных, творчески мыслящих учащихся.
Само словосочетание «одаренный ребенок» вызывает улыбку. В настоящее время ни у кого не вызывает сомнений важности и необходимости работы с одаренными детьми. Будущее страны зависит не столько от ее политических лидеров, сколько от наличия в данном обществе критической массы талантливых и одаренных людей, которые своей деятельностью обеспечивают общественный прогресс.
Хочется верить, что особая энергетика математических олимпиад всегда будет привлекать достаточное количество желающих в них участвовать. И любая квалифицированная помощь в этом направлении будет актуальна.
Решать самостоятельно и изучать решения других…Видимо, наивно полагать, что кто-то когда-то где-то даст окончательный универсальный рецепт решения любых олимпиадных нестандартных заданий. Если бы это произошло, само сочетание «нестандартная задача» потеряло бы смысл.
Говорить о методике подготовки к участию в олимпиадных соревнованиях можно только на основе обобщения собственного конкретного опыта, подкрепленного достаточно весомыми реальными результатами.
Решение олимпиадных задач служит хорошей подготовкой к будущей научной деятельности, заостряет интеллект. Роль олимпиад становится все более значимой.
Особенность олимпиадных задач состоит в том, что для их решения не требуется никаких знаний, выходящих за рамки школьной программы. Конечно, это верно лишь в некотором приближении -- такие «нешкольные» методы, как принцип математической индукции, уже давно не смущают составителей вариантов. Но если олимпиадные задачи не требуют специальных знаний, то что же тогда отличает олимпиаду по математике от соревнования по разгадыванию головоломок? Наше убеждение состоит в том, что, в отличие от головоломок, хорошие математические задачи глубоко связаны с важными разделами современной математики, иллюстрируют основополагающие математические принципы.
Нестандартные задачи могут быть побочными результатами математических исследований на переднем крае современной науки. В этом отношении составителям задач работать значительно проще, чем тем, кто отваживается на поиск решения. Более того, некоторые признанные сегодня педагогические авторитеты просто принципиально не возьмутся за решение нестандартных задач, считая для себя это занятие пустой тратой времени. И каждый из них будет по-своему прав. Ведь на самом деле на блестящее, всесторонне безупречное решение иной нестандартной задачи может уйти довольно много времени, а никакого нового знания и умения лично для них такое решение не принесет. Но тот, кто берется за подготовку учащихся, должен, по крайней мере, иметь в своем арсенале такие задачи собственного решения, которыми он мог бы гордиться.
С точки зрения вышесказанного, возможно, умеющим решать олимпиадные задания можно назвать того, кто этим заниматься достаточно регулярно, имеет опыт самостоятельного решения некоторых из них и большое желание решить еще хотя бы несколько. Как отмечал Джордж Пойа, нет ничего ценнее собственного опыта решений. [2, с.4]
Представляется возможность выделить семь основных взаимосвязанных факторов, способствующих успешному решению задач:
· развитые воображение, фантазия, интуиция;
· навыки владения основными математическими операциями;
· знание основных классов нестандартных задач;
· постоянное совершенствование логических навыков;
· умение изучать, понимать и оценивать решения, предлагаемые другими.
Способность долго думать над задачей - одно из главных условий успешной работы в математике. В этой науке можно освоится, только если сам процесс учения, в частности решение задач, может доставить радость, несмотря на трудности и неудачи.
ГЛАВА 1. ШКОЛЬНЫЕ ОЛИМПИАДЫ 8-9 КЛАССОВ
Задачи на числовые ребусы--это те же знакомые вам задачи на восстановление записи при выполнении действий над натуральными числами, только цифры обозначаются не звездочками, а буквами. При этом добавляется важное условие: в одной и той же задаче одинаковые буквы означают одинаковые цифры, разные буквы--разные цифры. Причем первая цифра каждого числа должна быть отлична от нуля. Если задача имеет не один ответ, требуется найти их все.
Присмотримся к последнему столбцу: в нем стоит одна и та же цифра А. Чему же она равна? Только нулю.
А теперь обратим внимание на второй столбец: в нем аналогичное положение с цифрой О. Отсюда О равна нулю или 9. Но первая возможность отпадает; остается О = 9.
Для нахождения К рассмотрим первый столбец. Очевидно, К отлична от нуля и не превосходит 4. Тогда К принимает одно из значений 1, 2, 3, 4. Разберем четыре случая.
Получаем, что в третьем столбце Л = 9, поскольку во втором столбце должно быть 9 + 9 + 1 = 19. Но тогда Д = 0, а это невозможно.
Подставим в ребус значения К = 2, А = О, О = 9.
Из третьего столбца 2 + Л=10 + Д, Л = 8 + Д.
Отсюда Д = 0 или Д = 1, соответственно Л = 8 или Л = 9. Но обе эти возможности исключаются.
Тогда 3 + Л=10 + Д, Л = 7 + Д, а значит, Д = 1, Л = 8. Кроме того, В = 7.
Следовательно, В = 9. Но последнее невозможно.
Итак, решение получается только в третьем случае.
Давайте подумаем: когда произведение АВ * АВ начинается той же цифрой А, что и число АВ? Это возможно только при А = 1.
А когда такое произведение оканчивается двумя одинаковыми цифрами? Это возможно в двух случаях: 10•10=100, 12•12=144.
Но первый вариант отпадает, так как тогда В = С = 0, а разные буквы должны обозначать разные цифры.
а) 90909+10101=101010 б) 8126+8126=16252
Всего различных цифр--10 (от 0 до 9), а в ребусе их 11
а) 6823+6823=13646 б) 18969+18969=37938 в) 649750*3=1949250
Из какого наименьшего количества елок может состоять ЛЕСОК?
(Буквы Е и Ё обозначают одну и ту же цифру)
8.Решите ребусы: а) СИГ 2 =СЕМГА б) СОМ 2 =ОГОГО
9.Восстановите запись: ААА А =********
10.Решите ребусы: а) ЯП О =НИЯ б) И Н =ДИЯ в) С О =РОКА
а) 19 2 =361 б) 2 7 =128 в) 7 4 =2401
12.Число КУБ является кубом натурального числа, а число БУК простое. Какие это числа, если одинаковые буквы означают одинаковые цифры, а разные буквы--разные цифры?

13.Восстановить зашифрованные цифры: ТР И =ИКС
14.Заменить буквы цифрами так, чтобы равенство БЕСЫ=(Б+Е+С+Ы) 4 оказалось верным.
а) АВ•А=ССС б) А•В•АВ=ВВВ в) АА•АВС•ВС=АВСАВС
а) 37•3=111 б) 3•7•37=777 в) 77•713•13=713713
1.2 ВОССТАНОВЛЕНИЕ ЦИФР НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
Здесь мы встретимся с задачами на арифметические действия над натуральными числами, где часть цифр чисел известна, а большая часть нет. Будем обозначать неизвестные цифры звездочками. Нужно найти все цифры, обозначенные звездочками; если ответов несколько, то требуется найти их все.
Любопытно проследить, как в задаче, где порой известны две-три, а то и одна цифра, а неизвестных цифр много, удается найти эти цифры -- почти из ничего получить все.
В задачах этой темы предполагается, что первая цифра каждого числа отлична от нуля.
Сначала найдем вторую цифру делителя. Так как она при умножении на 7 дает число, оканчивающееся на 8, то эта цифра равна 4.
А чему равна первая цифра делителя? Очевидно, 1 или 2. Если первая цифра делителя 1, то 14 при умножении на 7 дает двузначное число 98, а должно давать трехзначное число. Значит, этот случай невозможен.
Пусть первая цифра делителя равна 2. Найдем первую цифру частного. Она равна 1, поскольку 24 при умножении на эту цифру дает число 2*. Наконец, делимое легко найти, умножая делитель 24 на частное 17.
Найдите неизвестные цифры в записи:
Первая цифра суммы может быть равна только 1. Тогда первая цифра второго слагаемого -- 9. Отсюда первая цифра второго множителя равна 5, а следовательно, второе слагаемое -- 95. Тогда первая цифра первого слагаемого равна 5. Поэтому вторая цифра второго множителя равна 3.
а) 97•11=1067 б) 23•34=782 в) 58•91=5278 г) 19•59=1121
а) 124•97=12028 б) 19•53=1007 в) 505•101=51005
4.Восстановите пример на умножение натуральных чисел, если известно, что сумма цифр у обоих сомножителей одинакова.
5. Можно ли какие-либо десять чисел расставить в кружки данной фигуры так, чтобы сумма чисел в вершинах любого черного треугольника была равна 1996, а сумма чисел в вершинах любого белого треугольника была равна 1997?
10.Восстановить записи: а) **•*-*=1 б) ***•9=***
а) 10•1-9=1 б) 101•9=909, 111•9=999
11.Сколько всех решений имеет задача ***•9=*** ?
12.В примере на умножение допущена ошибка. Откуда это видно?
Вторая цифра второго множителя ровна 9, но его первая цифра должна быть больше 9, а это невозможно
14.На какое наименьшее натуральное число нужно умножить число 7 для того, чтобы получить число, записывающимися одними девятками.
15.На какое наименьшее натуральное число нужно умножить число 12345679 для того, чтобы получить число, состоящее из одних пятерок.
Обычно четные и нечетные числа связывают только с натуральными числами. Здесь мы распространим их на любые целые числа.
Целое число называется четным, если оно делится на 2, и нечетным, если оно на 2 не делится.
Например, число 6 -- четное, число 0 -- четное, 5 -- нечетное, число --1 -- тоже.
Любое четное число можно представить в виде 2а, а любое нечетное -- в виде 2а + 1 (или 2а - 1), где число а -- целое.
Два целых числа называются числами одинаковой четности, если оба они четные или оба нечетные. Два целых числа называются числами разной четности, если одно из них четное, а другое нечетное.
Рассмотрим свойства четных и нечетных чисел, важные для решения задач.
1. Если хотя бы один множитель произведения двух (или нескольких) чисел четен, то и все произведение четно.
2. Если каждый множитель произведения двух (или нескольких) чисел нечетен, то и все произведение нечетно.
3. Сумма любого количества четных чисел -- число четное.
4. Сумма четного и нечетного чисел -- число нечетное.
5. Сумма любого количества нечетных чисел -- число четное, если число слагаемых четно, и нечетное, если число слагаемых нечетно.
В пятиэтажном доме с четырьмя подъездами подсчитали число жителей на каждом этаже и, кроме того, в каждом подъезде. Могут ли все полученные 9 чисел быть нечетными?
Обозначим число жителей на этажах соответственно через a 1 ,a 2 ,a 3 ,а 4 ,a 5 , a число жителей в подъездах соответственно через b 1 ,b 2 ,b 3 ,b 4 . Тогда общее число жителей дома можно подсчитать двумя способами -- по этажам и по подъездам: а 1 + а 2 + а 3 + а 4 + а 5 = b 1 + b 2 + b 3 + b 4 .
Если бы все эти 9 чисел были нечетными, то сумма в левой части записанного равенства была бы нечетной, а сумма в правой части -- четной. Следовательно, это невозможно.
1.Можно ли число 1 представить в виде суммы + + + , где a , b , c , d --натуральные числа?
2.Найдите все целые p и q при которых трехчлен f ( x )= x 2 + px + q принимает при всех целых х : а) четные б) нечетные значения.
а) p нечетно q четно б) p и q нечетно
3. Дано 125 чисел, каждое из которых равно 1 или 3. Можно ли их разбить на
две группы так, чтобы суммы чисел, входящих в каждую группу, были равны?
4.Страницы книги пронумерованы подряд, от первой до последней. Гриша вырвал из разных мест книги 15 листов и сложил номера всех 30 вырванных страниц. У него получилось число 800. Когда он сказал об этом Мише, тот заявил, что Гриша при подсчете ошибся. Почему Миша прав?
5.По кругу сцепили несколько шестеренок. Смогут ли они одновременно
6. В шести коробках лежат шарики: в первой -- 1, во второй -- 2, в третьей -- 3, в четвертой -- 4, в пятой -- 5, в шестой -- 6. За один ход разрешается в любые две коробки прибавить по одному шарику. Можно ли за несколько ходов уравнять количество шариков во всех коробках?
7.Числа a и b нечетные. Каким будет число a 2 + b +1 ?
8.Кузнечик прыгал вдоль прямой и вернулся в исходную точку (длина прыжка 1 м). Докажите, что он сделал четное число прыжков.
Поскольку кузнечик вернулся в исходную точку, количество прыжков вправо равно количеству прыжков влево, поэтому общее количество прыжков четно.
9.Существует ли замкнутая 7-звенная ломаная, которая пересекает каждое свое звено ровно один раз?
10.Петя купил общую тетрадь объемом 96 листов и пронумеровал все ее страницы от 1 до 192. Его младший брат вырвал из тетради все листы и разбросал по комнате. Петя подобрал наугад с пола 25 листов и сложил все 50 чисел, которые на них написаны. Могло ли у него получиться 2006?
11.Сколько существует четырехзначных чисел, не делящихся на 1000, у которых первая и последняя цифры четны?
12. Можно ли разменять 125 рублей при помощи 50 купюр достоинствами 1, 3, и 5 рублей?
13.Вдоль забора растут 8 кустов малины. Число ягод на соседних кустах отличается на 1. Может ли на всех кустах вместе быть 225 ягод?
14. Можно ли выпуклый 13-угольник разрезать на параллелограмм?
15. Сумма нескольких последовательных четных чисел ровна 100. Найти эти числа.
22+24+26+28=100, 16+18+20+22+24=100
Вспомним известное из школьного курса математики определение: говорят, что целое число а делится на целое число b, не равное нулю, если существует такое целое число m, что а = bm.
Число а называется делимым, число b -- делителем, число m -- частным. В этом случае говорят также, что число а кратно числу b. Тот факт, что число а делится на число b, будем обозначать так: аb.
А теперь вспомним признаки делимости натуральных чисел:
-делимость натурального числа на 2 равносильна тому, что его последняя цифра четная;
-делимость натурального числа на 5равносильна тому, что его последняя цифра -- 0 или 5;
-делимость натурального числа на 10 равносильна тому, что оно оканчивается цифрой 0;
-делимость натурального числа на 25 равносильна делимости на 25 числа, образованного двумя его последними цифрами;
-остаток от деления натурального числа на 3 (на 9) совпадает с остатком от деления суммы его цифр на 3 (на 9);
-делимость натурального числа на 4равносильна делимости на 4 числа, образованного двумя его последними цифрами;
-делимость натурального числа на 8равносильна делимости на 8 числа, образованного тремя его последними цифрами;
-делимость натурального числа на 11 равносильна делимости на 11 разности между суммой его цифр, стоящих на нечетных местах, и суммой цифр, стоящих на четных местах (другими словами, делимости на 11 знакочередующейся суммы всех его цифр).
К числу 43 припишите слева и справа по одной цифре так, чтобы полученное четырехзначное число делилось на 45. Найдите все решения.
Обозначим неизвестные цифры через а и b. Тогда четырехзначное число можно записать в виде.
По признаку делимости на 5 b = 0 или b = 5. Рассмотрим оба случая.
1) Пусть 6 = 0. Полученное число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр, равная а + 7, делится на 9. Отсюда а =2.
2) Пусть b = 5. Аналогично находим, что а = 6.
четырехзначное число равно 2430 или 6435
1.Найдите все значения цифр, обозначенных звездочками, если число 4•8•2 делится на 88.
2.Найдите все значения цифр х и у, при которых число делится на 198.
3.Из натурального числа вычли сумму его цифр, а затем у полученной разности вычеркнули одну цифру. Сумма оставшихся цифр разности равна 131. Какую цифру вычеркнули?
4. У трехзначного числа, делящегося на 45, разность между второй и первой цифрами равна разности между третьей и второй. Найдите все такие трехзначные числа.
5.Найдите все трехзначные числа, делящиеся на 11, у которых сумма цифр делится на 11.
209, 308, 407, 506, 605, 704, 803, 902
6.Найдите все значения цифр а и b, при которых число делится на 99.
7.Найдите все значения цифры а, если число делится на 11.
8.Найдите наименьшее натуральное число, которое записывается одинаковыми цифрами и делится на 18.
9.Найдите наименьшее натуральное число, которое записывается
одинаковыми цифрами и делится на: а) 72, б) 693.
10.Пятизначное число делится на 72, причем три его цифры -- единицы.
11.Пятизначное число делится на 315, причем три его цифры -- четверки.
12.Найдите значения х и у в числе 12х3у4, если оно кратно 599.
13.Какие две цифры можно приписать к числу 1313 справа, чтобы полученное шестизначное число делилось на 53?
14.Найти наименьшее натуральное число вида n 3 +3n 2 -4, делящееся на 19.
15.Сколько существует двузначных чисел, делящихся на произведение своих цифр?
При решении многих задач на делимость деление с остатком используется часто.
Теорема о делении с остатком читается следующим образом.
Для любых натуральных чисел а и b существует, и притом единственная, такая пара целых неотрицательных чисел q и r , где r b. Тогда
Вычтем почленно эти равенства: a-b=(a-b) (q 1 -q 2 )+(r 1 -r 2 )
Отсюда разность r 1 - г 2 делится на a-b.
Но r 1 < a-b, r 2 < a-b, поэтому разность г 1 - г 2 по модулю меньше а-b. Следовательно, она может делиться на а-b только в одном случае, когда г 1 -г 2 = 0, г 1 =г 2 .
1.При делении натурального числа а на 2 в остатке получается 1, а при делении на 3 -- остаток 2. Какой остаток получится при делении а на 6?
2. Натуральное число n при делении на 6 дает остаток 4, а при делении на 15 -- остаток 7. Найдите остаток отделения n на 30.
3. Натуральное число а -- четное, не делящееся на 4. Найдите остаток от деления а 2 на 32.
4. Какой остаток дает 5 1000 при делении на 11?
5. Чему равен остаток от деления числа на 6?
6. Найдите остаток от деления: а) 2 1000 на5; б) З 128 на 11; в) 4 93 на 13.
7.Найдите остаток от деления 2003•2004•2005+2006 3 на 7.
8.Найдите остаток от деления 9 100 на 8.
9.При делении чисел 1108, 1453, 1844 и 2281на натуральное число а получится один и тот же остаток. Найти все значения а.
10.Если числа 826 и 4373 разделить на одно и тоже натуральное число, то получатся соответственно остатки 7 и 8. Найти все значения делителя.
11.Частное от деления трехзначного числа на сумму его цифр равно 13, а остаток 15. Найти все такие трехзначные числа.
12.Найти наименьшее натуральное число, которое при делении на 1997 дает в остатке 97, а при делении на 1998--остаток 98.
13.Четырехзначчное число делится на 7 и 29. После умножения на 19 и деления нового числа на 37 получится остаток 3. Найти все такие четырехзначные числа.
14.Двузначное число при делении на цифру единиц дает в частном цифру единиц, а в остатке цифру десятков. Найти все такие двузначные числа.
15.Когда трехзначное число, у которого две первые цифры одинаковые, а третья равна 2, разделили на однозначное число, то в остатке получили 8. Найти делимое, делитель и частное. Укажите все решения.
1.6 НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ И НАИМЕНЬШЕЕ ОБЩЕЕ КРАТНОЕ
Вспомним определения наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного.
Наибольшим общим делителем двух или нескольких натуральных чисел называется наибольшее из натуральных чисел, на которое делится каждое из данных чисел.
Обозначение наибольшего общего делителя чисел а и b: НОД(а, d).
В частном случае, когда наибольший делитель двух чисел равен 1, эти числа называются взаимно простыми.
Наименьшим общим кратным двух или нескольких натуральных чисел называется наименьшее из натуральных чисел, которое делится на каждое из данных чисел.
Обозначение наименьшего общего кратного двух чисел а и b: НОК(а, b).
Найдите наибольший общий делитель всех девятизначных чисел, в записи которых каждая из цифр 1, 2, 3,..., 9 встречается по одному разу.
Обозначим этот наибольший общий делитель через d.
Из всех девятизначных чисел указанного вида возьмем только два -- 123456798 и 123456789.
Так как эти числа делятся на d, то и их разность, которая равна 9, делится на d:
9:d. Отсюда d = 1, d = 3 или d = 9.
Какой из этих случаев дает ответ? Для выяснения истины определим с помощью признаков делимости на 3 и на 9, делится ли каждое из девятизначных чисел на 3 или 9. С этой целью найдем сумму цифр любого из них: 1 + 2 + 3+...+ 9 = 45.
Поскольку 45 делится на 9, то каждое из девятизначных чисел делится на 9. Из предыдущего следует, что 9 является их наибольшим делителем.
Найдите наименьшее общее кратное натуральных чисел п и п + 3.
Ответ зависит от того, чему равен наибольший общий делитель чисел n и n + 3.
Он равен 1, если n не делится на 3, и 3, если n делится на 3.
n(n + 3), если п не делится на 3, и (n + 3), если n делится на 3.
1.Найти наибольший общий делитель чисел 111111 и 111111111.
2.Найдите все пары натуральных чисел, сумма которых ровна 288, а наибольший общий делитель--36.
3. Найти наибольший общий делитель чисел 121212 и 121212121212.
4.Среди первых ста натуральных чисел найти 3 различные числа, наименьшее общее кратное которых наибольшее из всех возможных.
5. Три теплохода заходят в порт после каждого рейса. Первый теплоход совершает рейс за 4 дня, второй -- за 6, третий -- за 9. Однажды они встретились в порту все вместе. Через какое наименьшее число дней они снова встретятся в порту все вместе?
6. Отец и сын шли по занесенной снегом дороге друг за другом. Длина шага отца -- 80 см, сына -- 60 см. Их шаги совпали 601 раз, в том числе в самом начале и в конце пути. Какое расстояние они прошли?
7. Покупатель хотел купить у продавщицы все имеющиеся у нее яйца и спросил, сколько у нее яиц. Та ответила, что не помнит, но знает, что если яйца раскладывать по 2, 3, 4, 5 или 6, то каждый раз в остатке остается одно яйцо. Какое наименьшее число яиц могло быть у продавщицы?
8. Найдите все пары натуральных чисел, если их сумма равна 60, а наименьшее общее кратное -- 72.
9. Найдите все пары натуральных чисел, наибольший общий делитель которых равен 24, а наименьшее общее кратное -- 360.
10. Найдите наименьшую дробь, при делении которой на каждую из дробей -- и
11. Два школьника вышли одновременно из пункта А и отправились друг за другом по занесенной снегом тропинке. Шаг одного из них равен 75 см, другого -- 65 см. В первый раз их шаги совпали через 18 сек. после начала движения, а после 10 мин. движения их шаги совпали впервые в пункте В. Найдите расстояние АВ.
12.Найдите наибольший общий делитель чисел 2 1995 -1 и 2 1998 -1.
13.На какое число и при каких натуральных n сократим дробь ? Найдите все решения.
14. Пусть а и b -- натуральные числа, а > b и числа а + b и а-b взаимно просты. Найдите все значения наибольшего общего делителя чисел а и b.
15. Натуральные числа аи b взаимно просты. Найдите все значения наибольшего общего делителя чисел 11а + 2b и 18а + 5b.
Вспомним соответствующие определения.
Натуральное число, большее 1, называется простым, если оно делится только на 1 и на само себя. Натуральное число называется составным, если оно имеет больше двух различных делителей.
Принято считать, что число 1 не относится ни к простым, ни к составным числам. Отсюда следует, что множество натуральных чисел можно разбить на такие три подмножества: множество простых чисел, множество составных чисел и множество, содержащее единственный элемент 1.
Любое натуральное число, большее 1, можно, и притом единственным образом, представить в виде произведения простых чисел.
Это предложение называется основной теоремой арифметики натуральных чисел.
Среди простых делителей натурального числа могут быть равные, и их произведение можно записать в виде степени. Тогда разложение натурального числа а на простые множители можно представить в следующем виде:
где -различные простые числа, -натуральные.
Натуральные числа а и b таковы, что 31 a =54 b . Докажите, что число а + b составное.
Так как число 31а делится на 54 и числа 31 и 54 -- взаимно простые, то а делится на 54: а = 54n, где nN. Тогда 31•54•n = 54b, b= 31n.
Отсюда a+b=54n+31n=85n, а следовательно, число а + b является составным.
Найдите все натуральные n , при которых число а 2 - 10 a + 21 простое.
Разложим этот квадратный трехчлен на линейные множители:
Отсюда видно, что данное число, вообще говоря, составное. А когда оно простое? Когда один из множителей равен 1, а другой -- простому числу или когда один из них равен -- 1, а другой равен --p, где число р -- простое. Переберем все случаи.
Тогда а = 4, откуда а -7 = -3. Получилось, что число а 2 - 10a + 21 отрицательно. Значит, этот случай невозможен.
Тогда а = 8, а - 3 = 5, где 5 -- число простое. Следовательно, значение а = 8 удовлетворяет требованию задачи.
В этом случае а = 2, а-7 = -5. Так как число 5 -- простое, то значение а = 2 также
Тогда а = 6, а-3 = 3. Поскольку здесь (а -- 3)(а -- 7) < 0, то этот случай невозможен.
1.Простое число разделено на 21 с остатком. Найдите все значения остатка, являющиеся составными числами.
2.Может ли быть составным числом остаток от деления простого числа на а) 30 б) 60
а) не может б) может, если остаток равен 49
3.Простое или составное число 2 80 +3 80 ?
4.Натуральные числа a, b, c, d таковы, что ab=cd. Может ли число a+b+c+d быть простым?
5.Является ли число 4 9 +6 10 +3 20 простым?
6.Найти такое простое число p, что p 2 +9 тоже простое.
7.Простым или составным является число 20 2007 +1?
8.Найти все целые n, при которых модуль числа n 2 -7n+10--число простое.
9. Найти все натуральные n, при которых число n 4 +4 составное.
10.Найти все целые х, для которых 8•3-12•2+6х-217 простое число.
11.На какое наибольшее число натуральных слагаемых можно разложить число 96 так, чтобы все слагаемые были больше 1 и попарно взаимно просты?
12.Доказать, что для любого натурально n найдется такое число а, что an+4 составное.
13.P и Q--различные простые числа. Сколько делителей у числа
а) PQ б) P 2 Q в) P 2 Q 2 г) P n Q m ?
14.P--простое число. Сколько существует натуральных чисел
а) меньших P и взаимно простых с ним
б) меньших P 2 и взаимно простых с ним
а) условия выполняются для Р-1 числа б) выполняются для Р(Р-1) числа
15.Натуральные числа а и b удовлетворяют условию 15а=32b. Может ли число а-b быть простым?
1.8 СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ
Здесь мы встретимся с задачами на степени целых, главным образом натуральных чисел с натуральными показателями.
Назовем точной степенью степень целого числа с натуральным показателем, большим 1. В частности, квадрат и куб целого числа будем называть точным квадратом и точным кубом .
Сумма двузначного числа и его обращенного -- точный квадрат. Найдите все такие числа .
Сложим двузначное число ab с его обращенным:
+ = (10а + b) + (10b + а) = 11(а + b)
Так как число 11(а + b) -- точный квадрат, то сумма а + b делится на 11. Но поскольку а и b являются цифрами, то она равна 11: а + b = 11.
Далее нетрудно перебрать все возможные случаи, связанные с а и b.
Натуральное число записывается с помощью 10 шестерок и нескольких нулей. Может ли оно быть точной степенью?
Сумма цифр этого числа равна 60. Тогда на основании признаков делимости на 3 и на 9 число делится на 3, но не делится уже на 3 2 = 9. Следовательно, оно не является ни точным квадратом, ни точным кубом, ни вообще точной степенью с каким-либо натуральным показателем, большим 1.
1.Какой точный квадрат равен произведению четырех последовательных нечетных чисел?
2.Может ли произведение n(n+1) при каком-либо натуральном n быть точной степенью?
3. Четырехзначное число -- точный квадрат, причем две первые его цифры одинаковы и две последние тоже одинаковы. Найдите все такие числа.
4. Натуральное число оканчивается на 316. Может ли оно быть точным кубом?
5.Найдите наибольшее значение n, при котором последовательность с общим членом х n =n 2 -n+19 является точным квадратом?
6.Разность между трехзначным числом и суммой его цифр есть полный квадрат. Найти
Олимпиадные задачи по математике за 8-9 классы курсовая работа. Математика.
Доклад по теме Д.Б.Элъконин "К проблеме периодизации психического развития в детском возрасте"
Курсовая работа: Краткий очерк экономического и политического развития СССР в 1917-1971 гг. Военно-политическая оценка отношений СССР - Запад. Скачать бесплатно и без регистрации
Дипломная работа по теме Проектирование станции технического обслуживания с разработкой участка по ремонту двигателей внутреннего сгорания легковых автомобилей в городе Норильске
Может Ли Отзывчивость Принести Разочарование Сочинение
Реферат: Хлестаков и хлестаковщина 3
Сочинение Про Колобка 2 Класс
Контрольная работа по теме Основы конституционного строя
Дипломная работа: Формирование ценностных ориентаций в младшем школьном возрасте
Реферат: Оптимальная волноводно-щелевая решетка. Скачать бесплатно и без регистрации
Курсовая работа по теме Особенности межличностных отношений детей старшего дошкольного возраста в группе детского сада
Курсовая Работа На Тему Финансовая Оценка И Управление Проектами Энергосбережения
Реферат На Тему Коптский Солнечный Календарь
Курсовая работа по теме Створення електронної анкети для заповнення даних
Реферат по теме Об аргументах в пользу теории информационной целенаправленности эволюции
Дипломная работа по теме Разработка системы антикризисных стратегий на основе диагностики экономического и финансового состояния организации
Реферат по теме Развитие монотеистической религиозности и победа христианства
Вако Диссертации
Сочинение по теме «Последние песни» — завещание Н. А. Некрасова потомкам
Реферат по теме Вода как важнейший стратегический ресурс во внешней политике Ирана
Кризисы Профессионального Становления Реферат
Анализ готовых программных решений автоматизации маркетинговой деятельности (по функциям маркетинга) - Маркетинг, реклама и торговля курсовая работа
Учет и анализ дебиторской и кредиторской задолженности на примере ОАО "Сибирьтелеком" - Бухгалтерский учет и аудит дипломная работа
Географическое положение Эстонии - География и экономическая география реферат