Общий Член Снежинки Коха
💣 👉🏻👉🏻👉🏻 ВСЯ ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻
Общий Член Снежинки Коха
Автор admin На чтение 18 мин Просмотров 1 Опубликовано 23.12.2021
Справка о составе семьи кто выдает и на каком основании
Справка о составе семьи через Госуслуги Справка о составе
Сколько действительна справка о составе семьи и как
Перемена имени Наименование услуги Размер госпошлины
© 2022 Информация, опубликованная на сайте, носит исключительно ознакомительный характер
Я решил начать знакомство с фракталами с простого классического примера – кривой Коха. Строится она по простому правилу: каждый ее линейный сегмент на последующей итерации заменяется ломаной:
Начинать можно с прямой линии. Затем, на 1-й итерации она заменяется ломаной, состоящей из 4-х линейных сегментов равной длины. Причем, длина этой ломаной в точности равна длине линейного сегмента. То есть, углы между прямыми составляют 60 градусов. На 2-й итерации каждый линейный сегмент заменяется точно такой же ломаной, только уменьшенной в три раза. И так далее. В результате, у нас получается самоподобная кривая, которая получила название кривой Коха в честь автора – шведского математика Хельге фон Коха:
В то время еще не было понятия фракталов и это был лишь пример кривой, которая всюду непрерывна, но нигде не дифференцируема. Математик Шарль Эрмит окрестил их «монстрами», а общее научное мнение полагало, что это пример некой математической «патологии» интересной, скорее, исследователям, чем настоящим ученым. Знали бы они тогда, что именно такие кривые лягут в основу описания многих реальных природных процессов и форм. Новые революционные идеи часто в истории встречали такое неприятие.
Но вернемся к кривой Коха. Это пример фрактальной формы. По каким признакам сделан такой вывод? Во-первых, это самоподобие. Здесь отчетливо видно, что на большем масштабе кривая будет оставаться визуально неизменной. Но одного самоподобия мало. Например, известная картина «Черный квадрат» Малевича тоже обладает самоподобием. Этот квадрат можно составить из четырех квадратов меньшей размерности:
Однако, гений Малевича все же не создал фрактала. Что еще не хватает для получения фрактальной формы? Дробной размерности! Квадрат принадлежит плоскости, имеет целую размерность 2, а кривая Коха – находится в дробной размерности, примерно, 1,2618. Я пока опущу вопрос как она была вычислена, мы к этому еще вернемся, главное, что фракталы должны принадлежать дробной размерности. Получаем два важных условия, которыми обладают фрактальные формы:
2) должна принадлежать дробной размерности.
Обратите внимание, это не определение фракталов. Сам термин (фрактал) все еще находится в развитии и пока полностью не определен. Но эти два условия, на мой взгляд, должны выполняться.
Итак, что же придает фракталам дробная размерность и почему она так важна? Давайте еще наз взглянем на кривую Коха.
Если ее представить в координатных осях, то получим, что одному значению x соответствует несколько значений y. Такие кривые уже не являются одномерными, когда одному значению x соответствует только одно значение y, например, функция cos(x) одномерна:
И в то же время, множество точек кривой Коха по вертикали не выстраиваются в непрерывную линии, а значит, не покрывают все двумерное пространство. Отсюда и получается дробная размерность между единицей и двойкой. Благодаря этой дробности, множество точек кривой Коха образуют узор, а не просто заполняют двумерное пространство, как это было в случае «Черного квадрата» Малевича. Поэтому дробность размерности – характерная черта, наверное, всех фракталов.
Интересной особенностью кривой Коха является ее длина: она постоянно увеличивается по мере увеличения итераций. Действительно, вначале отрезок условно можно принять за 1. Затем, на 1-й итерации он заменяется ломаной, длина которой равна 4/3. На 2-й итерации каждый линейный сегмент заменяется уменьшенной ломаной длиной (4/3)/3 = 4/6 и таких сегментов ровно 4, то есть, суммарная длина линии, равна . На следующей итерации длина станет , и так далее. Получается, что при числе итераций, стремящихся к бесконечности, длина:
А что с площадью фрактальных фигур? Она тоже будет увеличиваться до бесконечности? Давайте посмотрим. Для этого сделаем построение уже не кривой Коха, а снежинки Коха. Здесь все делается аналогично, только начальная форма является равносторонним треугольником, а не линией:
Если начальную площадь равностороннего треугольника принять за единицу, то на первой итерации площадь увеличится на три малых треугольника, площади которых в раз меньше площади исходного треугольника. То есть, площадь составит:
На 2-й итерации имеем дополнительно 12 еще меньших треугольников с площадями в раз меньших, исходной площади:
И так далее, то есть, слагаемые в сумме стремительно уменьшаются при увеличении номера итерации и в пределе:
По-моему, неплохой способ предложить своим знакомым нарисовать фигуру с бесконечным периметром, но конечной площадью. У большинства задачка вызовет недоумение – как такое возможно? В школьной программе такого пока не проходят.
Итак, мы с вами познакомились с принципами формирования кривой Коха и снежинки Коха. Узнали о двух необходимых условиях, формирующих фрактальные формы: самоподобие и дробность размерности. И образно попытались уловить восприятие дробного пространства. Если эти моменты вам понятны, то цель этого занятия достигнута.
Для просмотра анимации необходимо включить JavaScript.
Эта фигура — один из первых исследованных учеными фракталов. Она получается из трех копий кривой Коха , которая впервые появилась в статье шведского математика Хельге фон Коха в 1904 году. Эта кривая была придумана как пример непрерывной линии, к которой нельзя провести касательную ни в одной точке. Линии с таким свойством были известны и раньше (Карл Вейерштрасс построил свой пример еще в 1872 году), но кривая Коха замечательна простотой своей конструкции. Не случайно его статья называется «О непрерывной кривой без касательных, которая возникает из элементарной геометрии».
Рисунок и анимация отлично показывают, как по шагам строится кривая Коха. Первая итерация — просто начальный отрезок. Потом он делится на три равные части, центральная достраивается до правильного треугольника и затем выкидывается. Получается вторая итерация — ломаная линия, состоящая из четырех отрезков. К каждому из них применяется такая же операция, и получается четвертый шаг построения. Продолжая в том же духе, можно получать всё новые и новые линии (все они будут ломаными). А то, что получится в пределе (это уже будет воображаемый объект), и называется кривой Коха.
1. Она непрерывна, но нигде не дифференцируема. Грубо говоря, именно для этого она и была придумана — как пример такого рода математических «уродцев».
3. Снежинка Коха ограничивает конечную площадь. И это при том, что ее периметр бесконечен. Это свойство может показаться парадоксальным, но оно очевидно — снежинка полностью помещается в круг, поэтому ее площадь заведомо ограничена. Площадь можно посчитать, и для этого даже не нужно особых знаний — формулы площади треугольника и суммы геометрической прогрессии проходят в школе. Для интересующихся вычисление приведено ниже мелким шрифтом.
Снежинка Коха «наоборот» получается, если строить кривые Коха внутрь исходного равностороннего треугольника.
Линии Чезаро. Вместо равносторонних треугольников используются равнобедренные с углом при основании от 60° до 90°. На рисунке угол равен 88°.
Квадратный вариант. Тут достраиваются квадраты.
Для просмотра анимации необходимо включить JavaScript.
Эта фигура — один из первых исследованных учеными фракталов. Она получается из трех копий кривой Коха , которая впервые появилась в статье шведского математика Хельге фон Коха в 1904 году. Эта кривая была придумана как пример непрерывной линии, к которой нельзя провести касательную ни в одной точке. Линии с таким свойством были известны и раньше (Карл Вейерштрасс построил свой пример еще в 1872 году), но кривая Коха замечательна простотой своей конструкции. Не случайно его статья называется «О непрерывной кривой без касательных, которая возникает из элементарной геометрии».
Рисунок и анимация отлично показывают, как по шагам строится кривая Коха. Первая итерация — просто начальный отрезок. Потом он делится на три равные части, центральная достраивается до правильного треугольника и затем выкидывается. Получается вторая итерация — ломаная линия, состоящая из четырех отрезков. К каждому из них применяется такая же операция, и получается четвертый шаг построения. Продолжая в том же духе, можно получать всё новые и новые линии (все они будут ломаными). А то, что получится в пределе (это уже будет воображаемый объект), и называется кривой Коха.
1. Она непрерывна, но нигде не дифференцируема. Грубо говоря, именно для этого она и была придумана — как пример такого рода математических «уродцев».
3. Снежинка Коха ограничивает конечную площадь. И это при том, что ее периметр бесконечен. Это свойство может показаться парадоксальным, но оно очевидно — снежинка полностью помещается в круг, поэтому ее площадь заведомо ограничена. Площадь можно посчитать, и для этого даже не нужно особых знаний — формулы площади треугольника и суммы геометрической прогрессии проходят в школе. Для интересующихся вычисление приведено ниже мелким шрифтом.
Снежинка Коха «наоборот» получается, если строить кривые Коха внутрь исходного равностороннего треугольника.
Линии Чезаро. Вместо равносторонних треугольников используются равнобедренные с углом при основании от 60° до 90°. На рисунке угол равен 88°.
Квадратный вариант. Тут достраиваются квадраты.
Фракталы – это объекты, части которых подобны целому. Например, ветка дерева подобна дереву, а каждый лист папоротника подобен ветке. Если снять с обычной капусты или луковицы несколько листов, то останется такое же растение, лишь уменьшится его размер. Но, пожалуй, самым интересным растением-фракталом является румынская капуста или капуста Романеско.
Выдающийся японский художник-иллюстратор Кацусика Хокусай (1760–1849) увидел фрактальные элементы в природных явлениях задолго до возникновения теории фракталов.
Интересным примером фрактала является так называемая кривая Коха или снежинка Коха . Она была построена в 1904 году шведским математиком Хельге фон Кохом (1870–1924). Строится эта кривая просто, но в результате выходит довольно причудливый объект.
Возьмём обычный равносторонний треугольник. На первом шаге разделим каждую сторону на три равные части, выбросим средний отрезок, вместо него построим два отрезка такой же длины, которые направлены вовне фигуры и касаются друг друга. В результате получим звезду Давида. И так далее, на каждом шаге среднюю часть каждого из отрезков периметра меняем на два такие же отрезка.
Оказывается, что если число шагов при построении кривой стремится к бесконечности, то площадь, ограниченная кривой, стремится к конечной величине, но периметр стремится к бесконечности. (Математики-современники Коха были этим настолько удивлены, что назвали кривую математическим уродцем.)
Показать это достаточно просто. Пусть p – периметр исходного треугольника. Заметим, что на каждом шаге исчезает отрезок, длина которого равна трети длины каждой стороны периметра, но вместо него добавляется два таких же отрезка.
Таким образом, на каждом шаге периметр фигуры множится на 4/3, и на n -м шаге периметр фигуры составляет . Поскольку , то P(n) стремится к бесконечности при n стремящемся к бесконечности.
Покажем теперь, что площадь фигуры стремится к конечной величине. Вспомним простой факт из геометрии, что отношение площадей подобных фигур равно отношению квадратов их любых соответствующих линейных элементов.
Например, если сторону равностороннего треугольника уменьшить в 3 раза, то его площадь уменьшится в 3 2 =9 раз. Пусть площадь исходного треугольника равна S. На первом шаге к фигуре прибавляется 3 треугольника, площадь каждого из которых равна S /9.
На каждом следующем шаге количество треугольников, добавляющихся к фигуре, возрастает в 4 раза, а площадь каждого треугольника уменьшается в 9 раз. Таким образом, площадь фигуры, ограниченной кривой фон Коха, равна
Заметим, что в квадратных скобках стоит сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем , и её сумма равна .
Ерик Хайнес , современный специалист в области компьютерной графики и дизайна, построил трёхмерный аналог снежинки фон Коха.
Основателем математической теории фракталов является французский и американский математик Бенуа Мандельброт (1924–2010). Именно он ввёл в употребление термин «фрактал» от латинского слова fractus (ломанный).
Этот неординарный человек родился в Варшаве, потом его семья переехала в Париж, где он окончил Политехническую школу – знаменитое учебное заведение для подготовки инженеров, основанное ещё в 1794 году.
В ходе обучения в Политехнической школе обнаружилось, что Мандельброт обладает феноменальным пространственным воображением – даже для чисто алгебраических задач он находил геометрическую интерпретацию. Спасаясь от преследований нацистов, Мандельброт переезжает в США, где получает второе высшее образование в Калифорнийском технологическом институте.
С 1958 года Мандельброт работает в научно-исследовательском центре IBM. При создании персональных компьютеров одной из ключевых проблем было подавление шумов в проводах. Мандельброт заметил, что графики шумов за день, час и даже секунду идентичны, и это стало ключевой догадкой, которая помогла решить проблему.
Вместе с этим Мандельброт начинает изучать экономические процессы и замечает, что там также имеют место колебания, графики которых аналогичны графикам шумов в проводах. Он выяснил, что произвольные внешние колебания цены следуют скрытому математическому порядку, который нельзя описать при помощи стандартных математических кривых.
В рамках своих экономических исследований Мандельброт занялся изучением статистики цен на хлопок на протяжении длительного периода (более 100 лет). Мандельброт обнаружил похожесть кратковременных колебаний и колебаний на длительных интервалах времени. Это открытие оказалось неожиданным для экономистов.
Трёхмерный аналог снежинки фон Коха
По сути, Мандельброт применил основы своего рекурсивного (фрактального) метода.
Следует заметить, что Мандельброт исследовал преимущественно геометрические свойства случайных колебаний, а их строгое математическое обоснование дал другой выдающийся математик – Норберт Винер (1894–1964), который считается основателем кибернетики и теории искусственного интеллекта.
Математическая модель шумов, которые с разных сторон исследовали Винер и Мандельброт, называется винеровским процессом; он является составной частью современной теории вероятностей и математической экономики.
Другое интересное исследование, которое проводил Мандельброт и о котором стоит рассказать, – это проблема измерения береговой линии. Эта проблема оказалась совсем не банальной, как может показаться на первый взгляд.
В 1967 году в журнале Science Мандельброт публикует статью под названием «Какова длина побережья Великобритании». Казалось бы, всё очень просто – чтобы измерить длину побережья, нужно на карте вдоль периметра страны отложить отрезки, отвечающие определённым длинам (например, 100 км), а потом эту единичную величину умножить на количество отрезков, отложенных вдоль периметра (см. рисунок).
Но оказалось, что результат измерения существенно зависит от того, какую длину отрезка выбрать в качестве единицы измерения. Так, при длине отрезка в 200 км длина побережья оказалась равной 2400 км, при длине отрезка 100 км – 2800, а при длине отрезка 50 км суммирование отрезков даёт длину побережья 3400 км.
Результаты измерений сильно отличаются, и незначительными ошибками это назвать никак нельзя. Мандельброт приходит к выводу, что говорить о длине побережья в обычном понимании нет смысла, и что есть кривые, которые имеют дробную (фрактальную) размерность, т.е. больше, чем единица (как у линии), и меньше двух (как у плоскости). Например, снежинка Коха имеет фрактальную размерность log 3 4≈1,262.
Винеровский процесс Измерение длины береговой линии Великобритании отрезками 200 км, 100 км и 50 км Натан Коэн
Завершая рассказ о Бенуа Мандельброте, приведём несколько его высказываний:
– Основная идея состоит в том, что когда вы приближаете фрактальный объект к себе, он продолжает выглядеть по-прежнему.
– Во всей математике гладкость – вот что было главным. Я же предложил изучать неровности и шероховатости.
– Математика описывает гладкий мир, построенный человеком. А шероховатый мир, созданный природой, оказался за пределами нашей математики.
– Математики пишут формулы, я же всю жизнь рассматривал картинки.
Рассказывая о фракталах, стоит вспомнить их важное применение – фрактальные антенны и их изобретателя – Натана Коэна . История его изобретения, изменившая его биографию, довольно забавная.
Он жил в Бостоне, работал в должности профессора в Бостонском университете, областью его научных интересов были астрономия и астрофизика. Но кроме того он был радиолюбителем и на крыше его дома стояла большая антенна.
Эволюция мобильных телефонов. Внешняя антенна постепенно исчезает превращается в ковёр Серпинского Забавные примеры фракталов
В 1988 году городские власти заставили его и других жителей убрать с крыш большие антенны, поскольку те портили внешний вид центра города. Коэн был сильно огорчён и в отчаянии заменил большую и дорогую антенну на небольшой кусок проволоки, который согнул в форму, подобную снежинке Коха. И вдруг обнаружилось, что такая примитивная антенна работает не хуже той, что была раньше!
Заинтересовавшись этим, Коэн меняет направление своих научных интересов и через несколько лет ставит дело на коммерческую основу – в 1995 году он основывает компанию Fractal antenna systems.
Наряду с разработкой внешних антенн небольших размеров, компания начинает заниматься разработкой антенн для мобильных телефонов. Изначально мобильные телефоны (равно как и радиотелефоны) были громоздкими, к тому же из них торчали внешние антенны.
Идеи Натана Коэна позволили спрятать антенну внутрь телефона. При этом элементы микросхемы, расположенные на плате, имеют форму фрактальной фигуры, называемой « ковёр Серпинского ».
Фракталы также применяются в современной рекламе и дизайне. Теория фракталов в сочетании с возможностями современной компьютерной графики открывают безграничные возможности для креатива, иногда весьма забавного.
Тем, кто заинтересовался фракталами, автор советует посмотреть фильм «Фракталы. Поиски новых размерностей» (он есть на youtube.com), или просто посмотреть причудливые фрактальные картинки, для этого нужно лишь зайти в google-картинки и в поисковой строке набрать «fractals».
В Бостоне была необыкновенно теплая зима, но мы все-таки дождались первого снегопада. Наблюдая за снегопадом в окно, я задумался о снежинках и о том, что их структуру совсем непросто описать математически. Существует однако одна, особого рода снежинка, известная как снежинка Коха, которая может быть описана сравнительно просто. Сегодня мы рассмотрим, как её форма может быть построена с помощью Среды разработки приложений COMSOL Multiphysics.
Как мы уже упоминали в нашем блоге, фракталы могут быть использованы в интересных инженерных приложениях. Снежинка Коха является фракталом, который примечателен тем, что для его построения существует очень простой итерационный процесс:
Данная процедура иллюстрируется на рисунке ниже для первых четырех итераций отрисовки снежинки.
Первые четыре итерации снежинки Коха. Изображение от Wxs — собственная работа. Лицензия CC BY-SA 3.0, в Wikimedia Commons.
Поскольку теперь мы знаем, какой алгоритм использовать, то давайте посмотрим, как создать такую структуру с помощью Среды разработки приложений COMSOL Multiphysics. Мы откроем новый файл и создадим двумерный объект геометрическая часть (geometry part) в узле Глобальные определения . Для этого объекта зададим пять входных параметров: длина стороны равностороннего треугольника; х – и y – координаты средней точки
Массажистка умело дрочит фаллос клиента руками и заставляет кончить
Фото сисястой мамки в колготках
Провел презентацию и поимел в попку одну из жопастых дамочек