Общий Член Разложения Бинома Ньютона Шпаргалки

👉🏻👉🏻👉🏻 ВСЯ ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻

Общий Член Разложения Бинома Ньютона Шпаргалки
Samsung Galaxy S6: утечки, секреты, обзор, характеристики, аксессуары и цены.

Опубликовано 15.12.2019 автором admin
Читайте также: Бесплатные фаерволы на русском
Читайте также: Витая пара обжим схема в розетке
Читайте также: Генеалогическое дерево своими руками в школу

© 2022 Блог Samsung Galaxy S6. All rights reserved.

Рассмотрим следующие выражения со степенями (a + b) n , где a + b есть любой бином, а n – целое число. Каждое выражение – это полином. Во всех выражениях можно заметить особенности.
1. В каждом выражении на одно слагаемое больше, чем показатель степени n.
2. В каждом слагаемом сумма степеней равна n, т.е. степени, в которую возводится бином.
3. Степени начинаются со степени бинома n и уменьшаются к 0. Последний член не имеет множителя a. Первый член не имеет множителя b, т.е. степени b начинаются с 0 и увеличиваются до n.
4. Коэффициенты начинаются с 1 и увеличиваются на определенные значения до "половины пути", а потом уменьшаются на те же значения обратно к 1.
Давайте рассмотрим коэффициенты подробнее. Предположим, что мы хотим найти значение (a + b) 6 . Согласно особенности, которую мы только что заметили, здесь должно быть 7 членов a 6 + c 1 a 5 b + c 2 a 4 b 2 + c 3 a 3 b 3 + c 4 a 2 b 4 + c 5 ab 5 + b 6 . Но как мы можем определить значение каждого коэффициента, c i ? Мы можем сделать это двумя путями. Первый метод включает в себя написание коэффициентов треугольником, как показано ниже. Это известно как Треугольник Паскаля : Есть много особенностей в треугольнике. Найдите столько, сколько сможете. Возможно вы нашли путь, как записать следующую строку чисел, используя числа в строке выше. Единицы всегда расположены по сторонам. Каждое оставшееся число это сумма двух чисел, расположенных выше этого числа. Давайте попробуем отыскать значение выражения (a + b) 6 путем добавления следующей строки, используя особенности, которые мы нашли: Мы видим, что в последней строке
первой и последнее числа 1 ; второе число равно 1 + 5, или 6 ; третье число это 5 + 10, или 15 ; четвертое число это 10 + 10, или 20 ; пятое число это 10 + 5, или 15 ; и шестое число это 5 + 1, или 6 .
Таким образом, выражение (a + b) 6 будет равно (a + b) 6 = 1 a 6 + 6 a 5 b + 15 a 4 b 2 + 20 a 3 b 3 + 15 a 2 b 4 + 6 ab 5 + 1 b 6 .
Для того, чтобы возвести в степень (a + b) 8 , мы дополняем две строки к треугольнику Паскаля: Тогда (a + b) 8 = a 8 + 8a 7 b + 28a 6 b 2 + 56a 5 b 3 + 70a 4 b 4 + 56a 3 b 5 + 28a 2 b 6 + 8ab 7 + b 8 .
Мы можем обобщить наши результаты следующим образом.
Для любого бинома a+ b и любого натурального числа n, (a + b) n = c a n b 0 + c 1 a n-1 b 1 + c 2 a n-2 b 2 + . + c n-1 a 1 b n-1 + c n a 0 b n , где числа c , c 1 , c 2 . c n-1 , c n взяты с (n + 1) ряда треугольника Паскаля.
Пример 1 Возведите в степень: (u – v) 5 .
Решение У нас есть (a + b) n , где a = u, b = -v, и n = 5. Мы используем 6-й ряд треугольника Паскаля: 1 5 10 10 5 1 Тогда у нас есть (u – v) 5 = [u + (-v)] 5 = 1 (u) 5 + 5 (u) 4 (-v) 1 + 10 (u) 3 (-v) 2 + 10 (u) 2 (-v) 3 + 5 (u)(-v) 4 + 1 (-v) 5 = u 5 – 5u 4 v + 10u 3 v 2 – 10u 2 v 3 + 5uv 4 – v 5 . Обратите внимание, что знаки членов колеблются между + и -. Когда степень -v есть нечетным числом, знак -.
Пример 2 Возведите в степень: (2t + 3/t) 4 .
Решение У нас есть (a + b) n , где a = 2t, b = 3/t, и n = 4. Мы используем 5-й ряд треугольника Паскаля: 1 4 6 4 1 Тогда мы имеем
Предположим, что мы хотим найти значение (a + b) 11 . Недостаток в использовании треугольника Паскаля в том, что мы должны вычислить все предыдущие строки треугольника, чтобы получить необходимый ряд. Следующий метод позволяет избежать этого. Он также позволяет найти определенную строку – скажем, 8-ю строку – без вычисления всех других строк. Этот метод полезен в вычислениях, статистике и он использует биномиальное обозначение коэффициента . Мы можем сформулировать бином Ньютона следующим образом.
Для любого бинома (a + b) и любого натурального числа n, .
Бином Ньютона может быть доказан методом математической индукции. Она показывает почему называется биноминальным коэффициентом .
Пример 3 Возведите в степень: (x 2 – 2y) 5 .
Решение У нас есть (a + b) n , где a = x 2 , b = -2y, и n = 5. Тогда, используя бином Ньютона, мы имеем Наконец, (x 2 – 2y) 5 = x 10 – 10x 8 y + 40x 6 y 2 – 80x 4 y 3 + 80x 2 y 4 – 35y 5 .
Пример 4 Возведите в степень: (2/x + 3√ x ) 4 .
Решение У нас есть (a + b) n , где a = 2/x, b = 3√ x , и n = 4. Тогда, используя бином Ньютона, мы получим Finally (2/x + 3√ x ) 4 = 16/x 4 + 96/x 5/2 + 216/x + 216x 1/2 + 81x 2 .
Предположим, что мы хотим определить тот или иной член термин из выражения. Метод, который мы разработали, позволит нам найти этот член без вычисления всех строк треугольника Паскаля или всех предыдущих коэффициентов.
Обратите внимание, что в биноме Ньютона дает нам 1-й член, дает нам 2-й член, дает нам 3-й член и так далее. Это может быть обощено следующим образом.
(k + 1) член выражения (a + b) n есть .
Пример 5 Найдите 5-й член в выражении (2x – 5y) 6 .
Решение Во-первых, отмечаем, что 5 = 4 + 1. Тогда k = 4, a = 2x, b = -5y, и n = 6. Тогда 5-й член выражения будет
Пример 6 Найдите 8-й член в выражении (3x – 2) 10 .
Решение Во-первых, отмечаем, что 8 = 7 + 1. Тогда k = 7, a = 3x, b = -2 и n = 10. Тогда 8-й член выражения будет
Предположим, что множество имеет n объектов. Число подмножеств, содержащих k элементов есть . Общее число подмножеств множества есть число подмножеств с 0 элементами, а также число подмножеств с 1 элементом, а также число подмножеств с 2-мя элементами и так далее. Общее число подмножеств множества с n элементами есть . Теперь давайте рассмотрим возведение в степень (1 + 1) n : . Так. общее количество подмножеств (1 + 1) n , или 2 n . Мы доказали следующее.
Полное число подмножеств множества с n элементами равно 2 n .
Пример 7 Сколько подмножеств имеет множество ?
Решение Множество имеет 5 элементов, тогда число подмножеств равно 2 5 , или 32.
Пример 8 Сеть ресторанов Венди предлагает следующую начинку для гамбургеров: < кетчуп, горчица, майонез, помидоры, салат, лук, грибы, оливки, сыр >. Сколько разных видов гамбургеров может предложить Венди, исключая размеры гамбургеров или их количество?
Решение Начинки на каждый гамбургер являются элементами подмножества множества всех возможных начинок, а пустое множество это просто гамбургер. Общее число возможных гамбургеров будет равно . Таким образом, Венди может предложить 512 различных гамбургеров.
учитель математики МОУ «СОШ №36», г. Ангарск
Бином Ньютона – одна из тем, рассмотрение которых способствует глубинному пониманию учащимися на только комбинаторных понятий, но и формул сокращенного умножения. В данной статье представлен один из вариантов лекции для старшеклассников по теме «Бином Ньютона».
План лекции 1. Понятие бинома Ньютона
2. Свойства бинома и биномиальных коэффициентов
3. Типовые задачи по теме «Бином Ньютона»
4. Задачи, сводящиеся к использованию формулы бинома Ньютона (нестандартные задачи по теме «Бином Ньютона»)
1. Сборник конкурсных задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М.И.Сканави: Учеб. пособие. Санкт-Петербург, 1995. – с.84.
2. Супрун В.П. Избранные задачи повышенной сложности по математике. Мн.: Полымя, 1998. – 108с.
Биномом Ньютона называют разложение вида:
Но, строго говоря, всю формулу нельзя назвать биномом, так как «бином» переводится как «двучлен». Кроме того, формула разложения была известна еще до Ньютона, Исаак Ньютон распространил это разложение на случай n Цель изучения бинома Ньютона – упрощение вычислительных действий.
Компоненты формулы «бином Ньютона»:
правая часть формулы – разложение бинома;
– биномиальные коэффициенты, их можно получить с помощью треугольника Паскаля (пользуясь операцией сложения).
Практическая значимость треугольника Паскаля заключается в том, что с его помощью можно запросто восстанавливать по памяти не только известные формулы квадратов суммы и разности, но и формулы куба суммы (разности), четвертой степени и выше.
Например, четвертая строчка треугольника как раз наглядно демонстрирует биномиальные коэффициенты для бинома четвертой степени:
перемножить почленно четыре скобки:
вспомнить разложение бинома Ньютона четвертой степени:
общий член разложения бинома n-й степени: ,
где Т – член разложения; – порядковый номер члена разложения.
Свойства бинома и биномиальных коэффициентов
Число всех членов разложения на единицу больше показателя степени бинома, то есть равно
Сумма показателей степеней a и b каждого члена разложения равна показателю степени бинома, то есть n
Биномиальные коэффициенты членов разложения, равноотстоящих от концов разложения, равны между собой: (правило симметрии)
Сумма биномиальных коэффициентов всех членов разложения равна
Сумма биномиальных коэффициентов, стоящих на нечетных местах, равна сумме биномиальных коэффициентов, стоящих на четных местах и равна
Любой биномиальный коэффициент, начиная со второго, равен произведению предшествующего биномиального коэффициента и дроби
Типовые задачи по теме «Бином Ньютона»
К типовым (стандартным) заданиям по данной теме можно отнести задачи на вычисление, среди которых:
Найти член (номер члена) разложения бинома
Вывести бином по известным членам разложения (по известной сумме)
Вычислить сумму биномиальных коэффициентов разложения бинома
Продемонстрируем на примерах (их решение несложное, поэтому большинство предлагаем решить самостоятельно).
ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ на знакочередование!
Лучше начинать рассуждения со следующего:
Найдите два средних члена разложения
ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ на то, что эти члены равноотстоят от конца, поэтому их биномиальные коэффициенты будут равны.
НЕ ЗАБУДЬТЕ в процессе решения проводить преобразования степеней с одинаковыми основаниями (то есть упрощать).
В биномиальном разложении найти член разложения, не содержащий х
Так как в разложении мы ищем член не содержащий х , то
Задачи, сводящиеся к использованию формулы бинома Ньютона
(нестандартные задачи по теме «Бином Ньютона»)
К нестандартным заданиям по данной теме можно отнести такие, в которых нет явного намека на необходимость использования бинома. Однако в итоге, решение сводится к нему и выглядит очень интересным.
Доказать, что для любых и для любых верно неравенство Бернулли :
Переформулируем требование: Доказать, что , где
Так как , значит в разложении как минимум три члена разложения, тогда:
(Подсказка: используйте неравенство Бернулли)
Доказать, что при любом натуральном n число делится на 9
Начнем рассматривать бином в общем виде:
Применим формулу бинома к левой части уравнения:
 Дополнительные задания для самостоятельного выполнения
Найти номер члена разложения бинома , не содержащего х.
Найти пятый член разложения бинома .
Найти сумму биномиальных коэффициентов членов, стоящих на нечетных местах в разложении бинома , если биномиальный коэффициент третьего члена на 9 больше биномиального коэффициента второго члена.
Найти седьмой член разложения бинома , если биномиальный коэффициент третьего члена равен 36.
Сколько членов разложения бинома являются целыми числами?
Найти алгебраическую сумму коэффициентов многочлена относительно х , получаемого в разложении бинома .
Сумма нечетных биномиальных коэффициентов разложения равна 512. Найти слагаемое, не содержащее х .
При каких значениях х четвертое слагаемое разложения больше двух соседних с ним слагаемых?
При каком значении х четвертое слагаемое разложения в двадцать раз больше m, если биномиальный коэффициент четвертого слагаемого относится к биномиальному коэффициенту второго слагаемого как 5 : 1?
В какую наибольшую степень следует возвести бином чтобы отношение четвертого слагаемого разложения к третьему было равно ?
С натуральным n формула Бинома Ньютона принимает вид a + b n = C n 0 + a n + C n 1 + a n – 1 · b + C n 2 + a n – 2 · b 2 + . . . + C n n – 1 + a · b n – 1 + C n n · b n , где имеем, что C n k = ( n ) ! ( k ) ! · ( n – k ) ! = n ( n – 1 ) · ( n – 2 ) · . . . · ( n – ( k – 1 ) ) ( k ) ! – биномиальные коэффициенты, где есть n по k , k = 0 , 1 , 2 , … , n , а " ! " является знаком факториала.
В формуле сокращенного умножения a + b 2 = C 2 0 · a 2 + C 2 1 · a 1 · b + C 2 2 · b 2 = a 2 + 2 a b + b 2 просматривается формула бинома Ньютона, так как при n = 2 является его частным случаем.
Первая часть бинома называют разложением ( a + b ) n , а С n k · a n – k · b k – ( k + 1 ) -ым членом разложения, где k = 0 , 1 , 2 , … , n .
Представление биномиальных коэффициентов для различных n осуществляется при помощи таблицы, которая имеет название арифметического треугольника Паскаля. Общий вид таблицы:
При натуральных n такой треугольник Паскаля состоит из значений коэффициентов бинома:
Боковые стороны треугольника имеют значение единиц. Внутри располагаются числа, которые получаются при сложении двух чисел соседних сторон. Значения, которые выделены красным, получают как сумму четверки, а синим – шестерки. Правило применимо для всех внутренних чисел, которые входят в состав треугольника. Свойства коэффициентов объясняются при помощи бинома Ньютона.
Имеются равенства, которые справедливы для коэффициентов бинома Ньютона:
Равенство вида a + b n = C n 0 + a n + C n 1 + a n – 1 · b + C n 2 + a n – 2 · b 2 + . . . + C n n – 1 + a · b n – 1 + C n n · b n считается справедливым. Докажем его существование.
Для этого необходимо применить метод математической индукции.
Для доказательства необходимо выполнить несколько пунктов:
a + b n = a + b a + b n – 1 = = ( a + b ) C n – 1 0 · a n – 1 · C n – 1 1 · a n – 2 · b · C n – 1 2 · a n – 3 · b 2 + . . . + C n – 1 n – 2 · a · b n – 2 + C n – 1 n – 1 · b n – 1
Необходимо раскрыть скобки, тогда получим a + b n = C n – 1 0 · a n + C n – 1 1 · a n – 1 · b + C n – 1 2 · a n – 2 · b 2 + . . . + C n – 1 n – 2 · a 2 · b n – 2 + + C n – 1 n – 1 · a · b n – 1 + C n – 1 0 · a n – 1 · b + C n – 1 1 · a n – 2 · b 2 + C n – 1 2 · a n – 3 · b 3 + . . . + C n – 1 n – 2 · a · b n – 1 + C n – 1 n – 1 · b n
a + b n = = C n – 1 0 · a n + C n – 1 1 + C n – 1 0 · a n – 1 · b + C n – 1 2 + C n – 1 1 · a n – 2 · b 2 + . . . + + C n – 1 n – 1 + C n – 1 n – 2 · a · b n – 1 + C n – 1 n – 1 · b n
Имеем, что C n – 1 0 = 1 и C n 0 = 1 , тогда C n – 1 0 = C n 0 . Если C n – 1 n – 1 = 1 и C n n = 1 , тогда C n – 1 n – 1 = C n n . При применении свойства сочетаний C n p + C n p + 1 = C n + 1 p + 1 , получаем выражение вида
C n – 1 1 + C n – 1 0 = C n 1 C n – 1 2 + C n – 1 1 = C n 2 ⋮ C n – 1 n – 1 + C n – 1 n – 2 = C n n – 1
Произведем подстановку в полученное равенство. Получим, что
a + b n = = C n – 1 0 · a n + C n – 1 1 + C n – 1 0 · a n – 1 · b + C n – 1 2 + C n – 1 1 · a n – 2 · b 2 + . . . + + C n – 1 n – 1 + C n – 1 n – 2 · a · b n – 1 = C n – 1 n – 1 · b n
После чего можно переходить к биному Ньютона, тогда a + b n = C n 0 · a n + C n 1 · a n – 1 · b + C n 2 · a n – 2 · b 2 + . . . + C n n – 1 · a · b n – 1 + C n n · b n .
Для полного понятия использования формулы рассмотрим примеры.
Разложить выражение ( a + b ) 5 , используя формулу бинома Ньютона.
По треугольнику Паскаля с пятой степенью видно, что биноминальные коэффициенты – это 1 , 5 , 10 , 10 , 5 , 1 . То есть, получаем, что a + b 5 = a 5 + 5 a 4 b + 10 a 3 b 2 + 10 a 2 b 3 + 5 a b 4 + b 5 является искомым разложением.
Ответ: a + b 5 = a 5 + 5 a 4 b + 10 a 3 b 2 + 10 a 2 b 3 + 5 a b 4 + b 5
Найти коэффициенты бинома Ньютона для шестого члена разложения выражения вида a + b 10 .
По условию имеем, что n = 10 , k = 6 – 1 = 5 . Тогда можно перейти к вычислению биномиального коэффициента:
C n k = C 10 5 = ( 10 ) ! ( 5 ) ! · 10 – 5 ! = ( 10 ) ! ( 5 ) ! · ( 5 ) ! = = 10 · 9 · 8 · 7 · 6 ( 5 ) ! = 10 · 9 · 8 · 7 · 6 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 252
Ниже приведен пример, где используется бином для доказательства делимости выражения с заданным числом.
Доказать, что значение выражения 5 n + 28 · n – 1 , при n , являющимся натуральным числом, делится на 16 без остатка.
Необходимо представить выражение в виде 5 n = 4 + 1 n и воспользоваться биномом Ньютона. Тогда получим, что
5 n + 28 · n – 1 = 4 + 1 n + 28 · n – 1 = = C n 0 · 4 n + C n 1 · 4 n – 1 · 1 + . . . + C n n – 2 · 4 2 · 1 n – 2 + C n n – 1 · 4 · 1 n – 1 + C n n · 1 n + 28 · n – 1 = = 4 n + C n 1 · 4 n – 1 + . . . + C n n – 2 · 4 2 + n · 4 + 1 + 28 · n – 1 = = 4 n + C n 1 · 4 n – 1 + . . . + C n n – 2 · 4 2 + 32 · n = = 16 · ( 4 n – 2 + C n 1 · 4 n – 3 + . . . + C n n – 2 + 2 · n )
Ответ: Исходя из полученного выражения, видно, что исходное выражение делится на 16 .
Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *
Сохранить моё имя, email и адрес сайта в этом браузере для последующих моих комментариев.


Автор На чтение 19 мин. Просмотров 82 Опубликовано 01.04.2021

Добавить комментарий Отменить ответ
Обзор различных сервисов для бизнеса и инструкции по их использованию.
Частные случаи утверждений о биномах были известны примерно с IV века до нашей эры, когда знаменитый греческий математик Евклид упомянул особый случай такой теоремы для показателя 2. Существует доказательство того, что подобие теоремы о биномах для кубов было известно уже в VI веке в Индии. Биномиальные коэффициенты, как комбинаторные величины, выражающие число способов выбора k объектов из n без замены, представляли интерес для древнеиндийских математиков.
Самое раннее упоминание этой комбинаторной проблемы встречается у индийского математика Пингала (ок. 200 г. до н. э.) . В нём, кстати, содержится и метод её решения. В X веке нашей эры эту теорию прокомментировал и расширил Халаюдх, используя метод, который сейчас известен как треугольник Паскаля.
К VI веку н. э. индийские математики, вероятно, знали способ выразить общее правило, как частное, и выражали это примерно в таком виде: n! / (n – k)!k!. Чёткое его изложение можно найти в тексте XII века, автор которого — Бхаскар. Насколько известно, первая формулировка биноминальной теоремы и соответствующая таблица коэффициентов найдена в работе Аль-Караджи, которая цитируется Аль-Самавалем в его трудах.
Аль-Караджи описал треугольную структуру биномиальных коэффициентов, а также представил доказательство как теоремы о биноме, так и правила треугольника Паскаля, используя раннюю форму математической индукции. Персидский поэт и математик Омар Хайям, вероятно, был знаком с формулой более высокого порядка, хотя многие из его математических работ не дошли до современных учёных.
Биноминальные разложения малых степеней были известны в математических работах XIII века Ян Хуэя и Чу Ши-Цзе. Ян Хуэй ссылается на более ранний текст Цзя Сяня, написанный в XI в., однако и эти записи в настоящее время также утрачены.
В 1544 году Майкл Стифель ввёл термин «биномиальный коэффициент» и показал, как его использовать для выражения (1 + a) n с точки зрения (1 + a) n – 1 через «треугольник Паскаля». Блез Паскаль всесторонне изучил треугольник в трактате «Traité du triangle arithmétique» (1653).
Надо сказать, что структура чисел уже была известна европейским математикам позднего ренессанса, включая:
К слову, Исааку Ньютону обычно приписывают обобщённую теорему о биномах, справедливую для любого рационального показателя.
Согласно теореме, можно разложить любую степень x + y в сумму вида (x + y) n = ( n ₒ) x n y + ( n 1) x n – 1 y 1 + ( n 2) x n – 2 y 2 + ··· + ( n n – 1) x 1 y n – 1 + ( n n) x 1 y n – 1 + ( n n) xy n , где каждый ( n k) является положительным целым числом, известным как коэффициент бинома.
Когда показатель степени равен нулю, соответствующее выражение степени принимается равным 1 и этот мультипликативный фактор часто исключается из формулы. Нередко можно видеть правую сторону уравнения, записанную в виде ( n ₒ) x n + ···. Эта формула также называется биноминальным тождеством.
Наиболее простой пример ф
Смотреть порно: Блондинка потратила бюджет мужика и за это он дерзко ее трахнул
Красивая подборка, где отцы учат дочек сосать пенисы
Профессиональная съемка толстухи в лесу порно фото бесплатно