Общий Член Разложения Бинома
💣 👉🏻👉🏻👉🏻 ВСЯ ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻
Общий Член Разложения Бинома
© Copyright 2022, Электричество. Все права защищены.
В школьном курсе известны формулы сокращенного умножения:
Можно раскрыть скобки при вычислении , и т.д., умножая полученный на предыдущем шаге результат на .
Однако, имеет место формула (1), которая носит название формула бинома Ньютона , хотя это название исторически не является справедливым, поскольку ее знали еще среднеазиатские математики Омар Хайям (1048-1131), Гийас ад-Дин Джешид ал-Коши (нач. XV в.). В западной Европе до Ньютона ее знал Паскаль (1623-1662). Итак, сформулируем теорему.
Теорема. Для любого справедливо равенство
В сокращенной форме формулу (1) можно записать в виде
Числа называют биномиальными коэффициентами , а сформулированная выше теорема называется биномиальной теоремой .
Доказательство. Для доказательства теоремы для всех натуральных значений воспользуемся методом математической индукции.
При получаем . Следовательно, при формула (1) верна.
Предположим, что формула (1) верна при , т.е. имеет место равенство
Докажем теперь, что формула (1) верна при , т.е.
Для этого представим в виде и для разложения множителя воспользуемся предположением индукции. Тогда, получим
Заметим, , и, кроме того, справедливо тождество , поскольку
Следовательно, формулу (3) можно записать в виде
Итак, имеет место равенство . В силу метода математической индукции отсюда вытекает справедливость формулы (1) для всех натуральных значений . Теорема доказана.
Перечислим основные свойства биномиальных коэффициентов.
7. или с использованием знака суммирования .
8. а) Если показатель бинома четный , то является наибольшим биномиальным коэффициентом и справедливы неравенства
б) Если показатель бинома нечетный , то имеется два наибольших биномиальных коэффициента и справедливы неравенства
Замечание. Свойство 8а и 8б являются следствие свойств 2 и 4.
Пример (для учащихся 11-го класса). Доказать, что справедливо равенство .
Доказательство. Запишем биномиальное разложение для :
Дифференцируя данное равенство, получим:
С другой стороны . Получаем равенство, справедливое при всех значениях :
При получаем доказываемое равенство:
Пример (для учащихся 11-го класса). Доказать равенство
Доказательство. Запишем биномиальное разложение для :
Обе части равенства представляют собой многочлены от , поэтому .
Первообразная функции равна , где произвольная постоянная.
Первообразная функции, стоящей в правой части разложения бинома, равна , где произвольная постоянная. Используя формулу Ньютона-Лейбница, получаем
Сравнивая правые части в (8) и (**), убеждаемся в справедливости доказываемого равенства.
Обычно вводится обозначение общий член разложения , который имеет вид , где . Индекс внизу у члена разложения означает его порядковый номер, считая слева направо, в разложении бинома.
Целесообразность представления порядкового номера определена тем, что при изменении от до получаются все члены разложения. Так 1-й член получим при , т.е. ;
2-й член получим при , т.е. ; …………………………………………….
Пример. Найти 8-й член разложения бинома .
Пример. В разложения бинома найти член, не зависящий от .
Решение. Используя формулу общего члена разложения, получим
Для того, чтобы член не зависел от требуется, чтобы показатель степени у равнялся 0, т.е. . Последнее равенство возможно только при . Следовательно, не зависит от и .
Свойство 3 биномиальных коэффициентов позволяет вычислять биномиальные коэффициенты, используя только операцию суммирования, записав их в виде следующей ниже треугольной таблицы, называемой треугольником Паскаля .
В -й строке треугольника Паскаля стоят коэффициенты разложения бинома , причем каждый коэффициент, кроме крайних двух, равных 1, получается как сумма соответствующих коэффициентов из предыдущей строки. Приведем некоторые свойства разложения бинома, т.е. правой части формулы (1). 1. Число всех членов разложения на единицу больше показателя степени бинома и равно .
2. Сумма всех показателей степени и каждого члена разложения равна показателю степени бинома, так как .
3. Биномиальные коэффициенты членов разложения, равноотстоящих от концов разложения, равны между собой, так как для любого справедливо равенство . Это свойство называется правилом симметрии .
Пример. Найти наибольший член разложения .
Решение. Рассмотрим отношение к . В данном случае поскольку непосредственно используется номер члена разложения. Тогда .
Если , то , а если , . Так как при (члены возрастают), а при (члены убывают), то наибольший член .
Ответ на вопрос, как раскрывать скобки при вычислении выражения дает следующая теорема, которая носит название полиномиальной теоремы .
Теорема. Выражение равно сумме всех возможных слагаемых вида
Коэффициенты иначе называются полиномиальными коэффициентами и обозначаются , т.е.
Доказательство . Для доказательства утверждения теоремы для всех натуральных значений , как и в случае доказательства формулы бинома Ньютона, воспользуемся методом математической индукции.
При получаем. Так как , то правая часть полиномиальной формулы представляет сумму слагаемых, в которых поочередно одно , а остальные равны 0, т.е.
Соответственно, и левая часть . Следовательно, при формула (5) верна.
Предположим, что формула (5) верна при , т.е. имеет место равенство
Докажем теперь, что, что формула (5) верна при , т.е.
Для этого представим в виде произведения и для множителя воспользуемся предположением индукции. Тогда, получим
После приведения подобных в этом выражении, получим сумму слагаемых вида , где , коэффициенты при которых – результат суммирования членов
Следовательно, имеет место равенство
В силу метода математической индукции отсюда вытекает справедливость формулы (5) для всех . Теорема доказана.
Замечание. Следует отметить, что формула бинома Ньютона – частный случай полиномиальной формулы при , т.е. и
Ответим на вопрос о количестве неподобных членов в правой части формулы (5). Для этого выясним, какой еще имеют смысл числа , кроме того, что они являются полиномиальными коэффициентами.
Рассмотрим элементов . Пусть для начала рассуждений они все различны. Будем из этих элементов составлять различные произведения, в которых присутствуют все элементы и никакое из них не повторяется. Различаются произведения только порядком следования элементов. Так на первую позицию можно поместить любой из элементов , на вторую уже любой из элементов, а различных вариантов для заполнения первых двух позиций получается . Далее аналогично, на третью – любой из элементов, а различных вариантов для заполнения первых трех позиций получается , и т.д. Окончательно получаем, что общее число произведений из элементов равно , т.е. . Говорят, что дает общее число перестановок из различных элементов . Пусть теперь имеется различных элементов и из них составлено произведение из элементов, где может быть, как больше, так и меньше . Будем считать, что в произведении содержится раз, содержится раз, и т.д., причем . Учтем, что в произведений из элементов имеются одинаковые.
Так выберем из произведений произвольное произведение элементов. В позициях находятся элементы (считая первоначально их элементами , их можно переставить способами), в позициях – элементы (считая их элементами , их можно переставить способами) и т.д..
Поскольку, в действительности, отмеченные внутри каждой указанной группы элементы неразличимы, то получается, что всего произвольно выбранному произведению из элементов соответствует таких же.
Следовательно, общее число различных произведений, имеющих после группировки одинаковых множителей вид , равно .
Говорят, что дает общее число перестановок с повторениями элементов из видов элементов.
Общее число членов в разложении равно количеству способов представления числа в виде суммы целых неотрицательных слагаемых , т.е. .
Представим как единиц разбитых на групп, причем группа может и не содержать единиц, для этого между группами поставим нули (всего получится нулей). Тогда каждому разложению в виде суммы слагаемых будет соответствовать набор из и нулей, т.е.
(и наоборот каждому такому набору – разложение).
Так разложение содержит неподобных членов, а содержит членов и
Разложение содержит уже и становится достаточно сложно выписать все его члены.
1. Найти сумму биномиальных коэффициентов, если известно, что степень бинома равна 9. (Ответ. ).
2. Найти сумму биномиальных коэффициентов, если известно, что биномиальный коэффициент третьего члена равен 45. (Ответ. )
3. Найти член разложения , не содержащий . (Ответ. ).
4. Найти член разложения , содержащий . (Ответ. ).
5. Найти наибольший члена разложения . (Ответ. ).
6. При каких положительных значениях наибольшим слагаемым в разложении является шестой член разложения? (Ответ. ).
7. Найти члены разложения, не содержащие иррациональности в разложении . (Ответ. .)
8. Сколько рациональных членов содержится в разложении . (Ответ. .)
9. Найти 5-й член разложения бинома , если известно, что биномиальный коэффициент его четвертого члена относится к биномиальному коэффициенту его третьего члена, как . (Ответ. .)
10 (для учащихся 11-го класса). Доказать, что справедливо равенство .
11 (для учащихся 11-го класса). Доказать равенство
1. Найти сумму биномиальных коэффициентов четных членов разложения, если известно, что степень бинома равна 11. (Ответ. ).
2. Найти сумму биномиальных коэффициентов, если известно, что биномиальный коэффициент третьего от конца члена равен 45. (Ответ. )
3. Найти номер члена разложения , не содержащего . (Ответ. ).
4. Найти биномиальный коэффициент члена разложения , не содержащего . (Ответ. ).
5. Найти наибольший члена разложения . (Ответ. ).
6. Найти наибольший члена разложения . (Ответ. ).
10 (для учащихся 11-го класса). Доказать равенство
1. Ежов И.И., Скороходов А.В., Ядренко М.И. Элементы комбинаторики. Перев. с укр. – М.: «Наука», 1977, – 80 стр.
2. Болтянский В.Г., Савин А.П. Беседы по математике. Книга 1. Дискретные объекты. – М.: ФИМА, МЦНМО, 2002, – 368 стр.
3. Олимпиады, алгебра, комбинаторика / Под ред Л.Я. Савельева. – Новосибирск: «Наука», 1979, – 178 стр.
3. Цыпкин А.Г., Пинский А.Н. Справочник по методам решения задач по математике для средней школы. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. – 576 стр.
Источник: http://birmaga.ru/dosta/%D0%9B%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F%20%E2%84%964.%20%D0%91%D0%B8%D0%BD%D0%BE%D0%BC%20%D0%9D%D1%8C%D1%8E%D1%82%D0%BE%D0%BD%D0%B0.%20%D0%92%20%D1%88%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%BC%20%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81%D0%B5%20%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%BD%D1%8B%20%D1%84%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D1%8B%20%D1%81%D0%BE%D0%BA%D1%80%D0%B0%D1%89%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%20%D1%83%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F:%20%D0%B8a/main.html
Частные случаи утверждений о биномах были известны примерно с IV века до нашей эры, когда знаменитый греческий математик Евклид упомянул особый случай такой теоремы для показателя 2.
Существует доказательство того, что подобие теоремы о биномах для кубов было известно уже в VI веке в Индии.
Биномиальные коэффициенты, как комбинаторные величины, выражающие число способов выбора k объектов из n без замены, представляли интерес для древнеиндийских математиков.
Самое раннее упоминание этой комбинаторной проблемы встречается у индийского математика Пингала (ок. 200 г. до н. э.) . В нём, кстати, содержится и метод её решения. В X веке нашей эры эту теорию прокомментировал и расширил Халаюдх, используя метод, который сейчас известен как треугольник Паскаля.
К VI веку н. э. индийские математики, вероятно, знали способ выразить общее правило, как частное, и выражали это примерно в таком виде: n! / (n – k)!k!.
Чёткое его изложение можно найти в тексте XII века, автор которого — Бхаскар.
Насколько известно, первая формулировка биноминальной теоремы и соответствующая таблица коэффициентов найдена в работе Аль-Караджи, которая цитируется Аль-Самавалем в его трудах.
Аль-Караджи описал треугольную структуру биномиальных коэффициентов, а также представил доказательство как теоремы о биноме, так и правила треугольника Паскаля, используя раннюю форму математической индукции. Персидский поэт и математик Омар Хайям, вероятно, был знаком с формулой более высокого порядка, хотя многие из его математических работ не дошли до современных учёных.
В 1544 году Майкл Стифель ввёл термин «биномиальный коэффициент» и показал, как его использовать для выражения (1 + a)n с точки зрения (1 + a)n – 1 через «треугольник Паскаля». Блез Паскаль всесторонне изучил треугольник в трактате «Traité du triangle arithmétique» (1653).
Надо сказать, что структура чисел уже была известна европейским математикам позднего ренессанса, включая:
К слову, Исааку Ньютону обычно приписывают обобщённую теорему о биномах, справедливую для любого рационального показателя.
Согласно теореме, можно разложить любую степень x + y в сумму вида (x + y)n = (nₒ) x n y 0 + (n1) x n – 1 y 1 + (n2) x n – 2 y 2 + ··· + (n n – 1) x1y n – 1 + (n n) x1y n – 1+ (n n) x0 y n , где каждый (nk) является положительным целым числом, известным как коэффициент бинома.
Когда показатель степени равен нулю, соответствующее выражение степени принимается равным 1 и этот мультипликативный фактор часто исключается из формулы. Нередко можно видеть правую сторону уравнения, записанную в виде (nₒ) x n + ···. Эта формула также называется биноминальным тождеством.
Наиболее простой пример формулы бинома Ньютона — решение для квадрата из х + у, например, (x + y)2 = x2 + 2xy + y2. Биномиальные коэффициенты 1, 2, 1, фигурирующие в этом расширении, соответствуют второму ряду треугольника Паскаля. Следует обратить внимание на общепринятые нормы, где верхняя «1» треугольника считается строкой 0.
Коэффициенты более высоких степеней x + y соответствуют нижним строкам паскалевского треугольника. Из расчётов можно наблюдать несколько закономерностей . В общем случае для разложения (x + y) n:
Теорема может быть применена к степеням любого бинома.
Для положительных значений a и b теорема с n = 2 является геометрически очевидным фактом.
Это значит, что квадрат стороны a + b может быть разделён: на квадрат стороны a и b, на два прямоугольника со сторонами a и b.
При n = 3 теорема утверждает, что из куба со стороной a + b можно получить: два куба со сторонами a и b, соответственно, три прямоугольника a × a × b и столько же a × b × b.
Если установить a = x, b = ∆x, интерпретируя b как бесконечно малое изменение в a, то вырисовывается следующая картина: бесконечно малое изменение объёма n-мерного гиперкуба (x + ∆x) n, где коэффициент линейного члена (в ∆x ) является nx n-1, площадь n граней, каждое из измерений (n – 1), (x + ∆x) n = x n + nx n-1 ∆x + (n2)x n-2 (∆x) 2 + ··· .
Подстановка этого уравнения в определение производной через разность и принятие пределов означает, что члены более высокого порядка, (∆x) 2 и выше, становятся незначительными, и даёт формулу (x n)′ = nx n-1. Всё это интерпретируется как «бесконечно малая скорость изменения объёма n-куба, при изменении длины его стороны, равна площади n (n – 1)».
Биномиальные коэффициенты появляются в разложении бинома Ньютона. Обычно их записывают как (n k) и интерпретируют, как количество способов выбора k элементов из n строки треугольника Паскаля. Коэффициент x n – k y k находят по формуле: (n k) = n! / k! (n-k)!, которая определяется в терминах факториальной функции n!.
Доказательств теоремы несколько. Для примера можно рассмотреть комбинаторное. Его алгоритм — один из самых простых. Коэффициент xy 2 в (x + y) 3 равен:
Вычисления выглядят так, потому что есть три x и y строки, а именно: xyy, yxy, yyx. Они соответствуют трём двухэлементным подмножествам {1, 2, 3}, а конкретно: {2,3}, {1,3}, {1,2}, где каждое подмножество определяет позиции y в соответствующей строке треугольника.
Или, например, общий случай. Расширение (x + y) n дает сумму 2 n произведений вида e1 e2 … en, где каждый ei равен x или y. Коэффициенты перестановки показывают, что каждый продукт равен x n – k y k для некоторого k между 0 и n. Для заданного k следующие значения равны по порядку:
Доказывают биномиальную теорему либо по определению, либо по короткому комбинаторному аргументу, если (n k) представлено как n! / k! (n-k)!.
Около 1665 года Исаак Ньютон обобщил свою теорему, касающуюся бинома. Сделал он это для того, чтобы разрешить вещественные показатели, отличные от неотрицательных целых чисел.
В этом обобщении конечная сумма заменяется бесконечным рядом.
Чтобы сделать это, нужно придать смысл коэффициентам бинома с произвольным верхним индексом, что невозможно сделать с помощью обычной формулы с факториалами.
Однако для произвольного числа r можно вычислить (r k) = r(r – 1) ··· (r – k + 1) / k! = (r)k / k!, где (·) k является символом Похгаммера, который здесь означает падающий факториал. Это согласуется с обычными определениями.
Когда r – неотрицательное целое число, биномиальные коэффициенты при k > r равны нулю, поэтому это уравнение сводится к обычной биномиальной теореме, где существует не более r + 1 ненулевых членов.
Для других значений r ряд обычно имеет бесконечно много ненулевых членов.
Обобщения можно распространить на случай, когда x и y – комплексные числа. Для этой версии следует снова принять | х | > | у | и определить степени x + y и x, используя голоморфную ветвь логарифма, определённую на открытом диске радиуса | х | с центром в х. Обобщённая теорема бинома справедлива и для элементов х и у в банаховой алгебре, пока х = ух, х является обратимым, а || у / х ||
Источник: https://nauka.club/matematika/binom-nyutona.html
Выведемформулу, позволяющую возводить двучлен(бином) ( а+ b )в любую целую неотрицательную степень.Это формула бинома Ньютона. Она имеетследующий вид:
Докажемданную формулу методом математическойиндукции по n ,где n ≥0.
Формула верна при n = 0, 1, 2. В самом деле,
Пусть формула верна при n = k . Докажем ее при n = k + 1 .
Раскрывскобки и сгруппировав слагаемые постепеням а ,получим:
Сучетом свойства 4 и того, что и ,имеем:
Итак, индукциязавершена, значит истинность формулыдоказана.
Вформуле бинома Ньютона для (а + b)nсумма степеней а и b в каждом слагаемом равна n .Числа называютсябиномиальными коэффициентами. Привычислении биномиальных коэффициентовудобно применять треугольник Паскаля.
Вкачестве примера найдем: а) (a+ b)5; б) (х2-1)4:
Легкоубедиться, что хорошо известные формулысокращенного умножениядля (a+ b)2и (a+ b)3представляют собой частные случаиформулыбинома Ньютона.
Напишите разложение по формуле бинома Ньютона и упростите при необходимости:
а)(a + b)4; б)(a ― b)4; в)(a + 2b)5; г)(a – 2b)5;
а)шестой член разложения (1 ― 2z)21;
д)двасредних члена разложения (a3-ab)23;
е)в разложении член,не содержащий x;
ж)в разложении член,не содержащий z;
з)в разложении коэффициентпри а8;
и)в разложении коэффициентпри х4;
к) x ,если третий член разложения ( х + x lg x )5равен 106 .
В конкурсе красоты участвуют 20 девушек. Сколько может быть вариантов распределения пяти призовых мест в этом конкурсе?
Сколькими способами 10 человек могут встать в очередь друг за другом?
б)два средних члена разложения бинома .
В селении проживают 2000 жителей. Доказать, что по крайней мере двое имеют одинаковые инициалы.
Основныезнания, умения и навыки ,которыми должны овладеть студенты впроцессе изучения этой темы:
Основныепонятия темы :соответствие, отношение.
Пустьданы два произвольных множества Aи B.
Оп р е д е л е н и е 1. Декартовым(прямым) произведением множеств А и В называют множество, состоящее извсех упорядоченных пар вида ,где и .
Символически этомножество записывают так:
Пр и м е р 1: Если А={1, 2, 3}, а В={0, 4}, то
Пустьданы два произвольных множества X,Y.
Тройкамножеств ,где ,будем называть бинарным соответствиеммежду множеством Xи Y,множество A― его графиком, множество X― областью отправления, Y― областью прибытия.
Если,то говорят, что элемент x находитсяс эле
Жопастая тёлочка на порно кастинге стонет от кайфа, сжимая в руке простынь
Секретарша Hannah Hays набросилась на хуй своего босса и приговорила его к ебле
Видео Ебут Чеченку