Обратная матрица а 1
Обратная матрица а 1Скачать файл - Обратная матрица а 1
В этой статье разберемся с понятием обратной матрицы, ее свойствами и способами нахождения. Подробно остановимся на решении примеров, в которых требуется построить обратную матрицу для заданной. Понятие обратной матрицы вводится лишь для квадратных матриц, определитель которых отличен от нуля, то есть для невырожденных квадратных матриц. Матрица называется обратной для матрицы , определитель которой отличен от нуля , если справедливы равенства , где E — единичная матрица порядка n на n. Во-первых, нам потребуются понятия транспонированной матрицы , минора матрицы и алгебраического дополнения элемента матрицы. Минор k-ого порядка матрицы A порядка m на n — это определитель матрицы порядка k на k , которая получается из элементов матрицы А , находящихся в выбранных k строках и k столбцах. Минор n-1 -ого порядка, который составляется из элементов всех строк, кроме i-ой , и всех столбцов, кроме j-ого , квадратной матрицы А порядка n на n обозначим как. Иными словами, минор получается из квадратной матрицы А порядка n на n вычеркиванием элементов i-ой строки и j-ого столбца. Для примера запишем, минор 2-ого порядка, который получаетсся из матрицы выбором элементов ее второй, третьей строк и первого, третьего столбцов. Также покажем минор, который получается из матрицы вычеркиванием второй строки и третьего столбца. Проиллюстрируем построение этих миноров: Алгебраическим дополнением элемента квадратной матрицы называют минор n-1 -ого порядка, который получается из матрицы А , вычеркиванием элементов ее i-ой строки и j-ого столбца, умноженный на. Алгебраическое дополнение элемента обозначается как. Например, для матрицы алгебраическое дополнение элемента есть. Во-вторых, нам пригодятся два свойства определителя, которые мы разобрали в разделе вычисление определителя матрицы:. На основании этих свойств определителя, определения операции умножения матрицы на число и понятия обратной матрицы справедливо равенство , где - транспонированная матрица, элементами которой являются алгебраические дополнения. Матрица действительно является обратной для матрицы А , так как выполняются равенства. Составим алгоритм нахождения обратной матрицы с использованием равенства. Вычислим определитель матрицы А , разложив его по элементам третьего столбца: Определитель отличен от нуля, так что матрица А обратима. Найдем матрицу из алгебраических дополнений: Выполним транспонирование матрицы из алгебраических дополнений: Теперь находим обратную матрицу как: Равенства выполняются, следовательно, обратная матрица найдена верно. Понятие обратной матрицы, равенство , определения операций над матрицами и свойства определителя матрицы позволяют обосновать следующие свойства обратной матрицы:. Существуют альтернативные методы нахождения обратной матрицы, например, метод Гаусса - Жордана. Суть метода Гаусса-Жордана заключается в том, что если с единичной матрицей Е провести элементарные преобразованиия, которыми невырожденная квадратная матрица А приводится к Е , то получится обратная матрица. Опишем алгоритм приведения матрицы А порядка n на n , определитель которой не равен нулю, к единичной матрице методом Гаусса - Жордана. После описания алгоритма разберем пример, чтобы все стало понятно. Сначала преобразуем матрицу так, чтобы элемент стал равен единице, а все остальные элементы первого столбца стали нулевыми. Строка с обязательно существует, в противном случае матрица А — вырожденная. Теперь умножаем каждый элемент первой строки на. Далее к элементам второй строки прибавляем соответствующие элементы первой строки, умноженные на. К элементам третьей строки — соответствующие элементы первой строки, умноженные на. И продолжаем такой процесс до n-ой строки включительно. Так все элементы первого столбца матрицы А , начиная со второго, станут нулевыми. Преобразуем матрицу А так, чтобы элемент стал равен единице, а все остальные элементы второго столбца, начиная с , стали нулевыми. Так получаем преобразованную матрицу А , у которой. Умножаем все элементы второй строки на. После этого к элементам третьей строки прибавляем соответствующие элементы второй строки, умноженные на. К элементам четвертой строки — соответствующие элементы второй строки, умноженные на. Так все элементы второго столбца матрицы А , начиная с третьего, станут нулевыми, а будет равен единице. Так продолжаем процесс, пока все элементы главной диагонали матрицы А не станут равными единице, а все элементы ниже главной диагонали не станут равными нулю. С этого момента начинаем обратный ход метода Гаусса-Жордана. Теперь преобразуем матрицу А так, чтобы все элементы n-ого столбца, кроме , стали нулевыми. Для этого к элементам n-1 -ой строки прибавляем соответствующие элементы n-ой строки, умноженные на. К элементам n-2 -ой строки — соответствующие элементы n-ой строки, умноженные на. И продолжаем такой процесс до первой строки включительно. Так все элементы n-ого столбца матрицы А кроме , станут нулевыми. Преобразуем матрицу А так, чтобы все элементы n-1 -ого столбца до , стали нулевыми. Для этого к элементам n-2 -ой строки прибавляем соответствующие элементы n-1 -ой строки, умноженные на. К элементам n-3 -ой строки — соответствующие элементы n-1 -ой строки, умноженные на. Так все элементы n-1 -ого столбца матрицы А кроме , станут нулевыми. Приведите матрицу к единичной с помощью преобразований Гаусса — Жордана. Так как , а , то переставим местами первую и вторую строки матрицы, получим матрицу. Умножим все элементы первой строки матрицы на: К элементам второй строки прибавляем соответствующие элементы первой строки, умноженные на 0 , а к элементам третьей строки прибавляем соответствующие элементы первой строки, умноженные на Элемент полученной матрицы уже равен единице, поэтому нет необходимости производить умножение элементов второй строки на. К элементам третьей строки прибавляем соответствующие элементы второй строки, умноженные на: Умножим элементы третьей строки на: Единицы на главной диагонали матрицы получены, так что приступаем к обратному ходу. К элементам второй строки прибавляем соответствующие элементы третьей строки, умноженные на -2 , а к элементам первой строки прибавляем соответствующие элементы третьей строки, умноженные на: В последнем столбце необходимые нулевые элементы получены, переходим к предпоследнему ко второму столбцу. К элементам первой строки прибавим соответствующие элементы второй строки, умноженные на: Так проведены все преобразования матрицы и получена единичная матрица. Найдите обратную матрицу для методом Гаусса — Жордана. В левой части страницы будем проводить преобразования Гаусса — Жордана с матрицей А , а в правой части страницы будем проделывать те же преобразования с единичной матрицей. Так как , а , то переставим первую и вторую строки местами: Умножим элементы первой строки матрицы на одну вторую, чтобы элемент стал равен единице: К элементам второй строки прибавим соответствующие элементы первой строки, умноженные на 0 , к элементам третьей строки прибавим соответствующие элементы первой строки, умноженные на 2 , к элементам четвертой строки — элементы первой строки, умноженные на 5: Так в первом столбце матрицы А мы получили нужные нулевые элементы. Переходим ко второму столбцу. Добьемся того, чтобы элемент стал равен единице. Для этого умножим элементы второй строки матрицы на , не забываем выполнять такие же преобразования с матрицей в правой части: Дальше нам нужно сделать элементы и нулевыми, для этого к элементам третьей строки прибавляем соответствующие элементы второй строки, умноженные на 0 , а к элементам четвертой строки прибавляем соответствующие элементы второй строки, умноженные на: Так второй столбец матрицы А преобразован к нужному виду. Переходим к третьему столбцу. Так как элемент нулевой, то меняем местами третью и четвертую строки: Умножаем элементы третьей строки на: Третий столбец матрицы А принял нужный вид элемент нулевой, поэтому не пришлось к элементам четвертой строки прибавлять соответствующие элементы третьей строки, умноженные на. Осталось умножить четвертую строку на чтобы все элементы главной диагонали стали равны единице: Прямой ход метода Гаусса-Жордана завершен, приступаем к обратному ходу. Получаем необходимые нулевые элементы в последнем столбце матрицы А. Для этого к элементам третьей строки прибавляем соответствующие элементы последней строки, умноженные на , к элементам второй строки — элементы последней строки, умноженные на , к элементам первой строки — элементы последней строки, умноженные на 0: Получаем нули в предпоследнем столбце прибавлением к элементам второй и первой строк соответствующие элементы третьей строки, умноженные на и 0 соответственно: К элементам первой строки прибавляем элементы второй строки, умноженные на: Итак, матрица А преобразованиями Гаусса — Жордана приведена к единичной матрице, а единичная матрица с помощью таких же преобразований приведена к обратной матрице. Таким образом, в правой части получена обратная матрица. Можете провести проверку, выполнив умножение матрицы А на обратную матрицу. Рассмотрим еще один способ нахождения обратной матрицы для квадратной матрицы А порядка n на n. Этот метод основан на решении n систем линейных неоднородных алгебраических уравнений с n неизвестными. Неизвестными переменными в этих системах уравнений являются элементы обратной матрицы. Обозначим обратную матрицу как X , то есть,. Так как по определению обратной матрицы , то. Приравнивая соответствующие элементы по столбцам, получим n систем линейных уравнений. Равенство дает нам три системы линейных неоднородных алгебраических уравнений: Не будем расписывать решение этих систем, при необходимости обращайтесь к разделу решение систем линейных алгебраических уравнений. Из первой системы уравнений имеем , из второй - , из третьей -. Следовательно, искомая обратная матрица имеет вид. Рекомендуем сделать проверку, чтобы убедиться в правильности результата. Охраняется законом об авторском праве. Ни одну часть сайта www. Матрицы, действия с матрицами Нахождение обратной матрицы. Обратная матрица - определение. Нахождение обратной матрицы с помощью матрицы из алгебраических дополнений. Нахождение обратной матрицы методом Гаусса-Жордана. Нахождение элементов обратной матрицы с помощью решения соответствующих систем линейных алгебраических уравнений. Поэтому Выполним транспонирование матрицы из алгебраических дополнений:
Обратная матрица
Нахождение обратной матрицы.
Результаты конкурса бобер 2016 беларусь
Электричка 1053 самара расписание
Функции желез внутренней секреции таблица
Нахождение обратной матрицы
Сколько городовв томской области
Горки молл кинотеатр расписание
Листья горчицы полезные свойства
Обратная матрица онлайн
Свойства текстильных материалов 6 класс технология