Обход в
Обход вОбход в
Рады представить вашему вниманию магазин, который уже удивил своим качеством!
И продолжаем радовать всех!)
Мы - это надежное качество клада, это товар высшей пробы, это дружелюбный оператор!
Такого как у нас не найдете нигде!
Наш оператор всегда на связи, заходите к нам и убедитесь в этом сами!
Наши контакты:
Telegram:
ВНИМАНИЕ!!! В Телеграмм переходить только по ссылке, в поиске много фейков!
У меня же еще нет инвайта на хабре, подумал я, и решил опубликовать. В этой статье я расскажу, как разобраться в алгоритме Дейкстры поиска кратчайших путей из данной вершины в графе. При чем я приду к нему естественным образом от алгоритма обхода графа в ширину. В конце статьи приводится краткий рассказ и ее реализация. Обход графа в ширину Первый алгоритм, который хотелось бы описать, и который однозначно нельзя пропустить — это обход графа в ширину. Что же это такое? Давайте немного отойдем от формального описания графов, и представим себе такую картину. Выложим на земле веревки, пропитанные чем-нибудь горючим, одинаковой длины так, чтобы ни одна из них не пересекалась, но некоторые из них касались концами друг с другом. А теперь подожжем один из концов. Как будет вести себя огонь? Он равномерно будет перекидываться по веревкам на соседние пересечения, пока не загорится все. Нетрудно обобщить эту картину и на трехмерное пространство. Именно так в жизни будет выглядеть обход графа в ширину. Теперь опишем более формально. Пусть мы начали обход в ширину из какой-то вершины V. В следующий момент времени мы будем просматривать соседей вершины V соседом вершины V назовем вершины, имеющий общее ребро с V. И так до тех пор, пока все вершины в графе не будут просмотрены. Реализация обхода в ширину Пусть мы находимся в какой-то вершине в процессе обхода в ширину, тогда воспользуемся очередью, в которую будем добавлять всех соседей вершины, исключая те, в которых мы уже побывали. Здесь обход в ширину не делает ничего, кроме самого обхода в ширину. Однако его можно легко модифицировать для того, чтобы искать то, что нам нужно. Например расстояние и путь от какой-либо вершины до всех остальных. Следует заметить, что ребра не имеют веса, то есть граф не взвешенный. Приведем реализацию поиска расстояний и путей. Это сделать довольно легко, просто пройдя по массиву предков нужной нам вершины. Теперь перейдем к взвешенным графам, то есть ребра графа имеют вес. Или плата за проход по нему. Или время, которое требуется для прохода по нему. Задача — найти кратчайший путь из одной вершины, в какую-нибудь другую. В этой статье я буду отталкиваться от обхода в ширину, не помню, чтобы видел такой подход где-нибудь еще. Возможно я это пропустил. Итак, давайте посмотрим еще раз на реализацию обхода в ширину, а конкретно на условие добавления в очередь. В обходе в ширину мы добавляем в очередь только те вершины, в которых мы еще не были. Теперь же изменим это условие и будем добавлять те вершины, расстояние до которых можно уменьшить. Очевидно, что очередь опустеет тогда и только тогда, когда не останется ни одной вершины, до которой можно уменьшить расстояние. Процесс уменьшения пути из вершины V, назовем релаксацией вершины V. Следует заметить, что изначально путь до всех вершин равен бесконечности за бесконечность возьмем какую-нибудь достаточно большую величину, а именно: Этот алгоритм напрямую следует из обхода в ширину, и именно до него я дошел сам, когда решал первую в жизни задачу на кратчайшие пути в графе. Стоит упомянуть, что такой способ ищет кратчайший пути от вершины, из которой мы начали алгоритм, до всех остальных. Чуть позже станет понятно, когда мы усовершенствуем этот алгоритм, но, честно говоря, для данной реализации пары можно хранить и наоборот. Можно немного улучшить добавление в очередь. Для этого стоит завести массив bool, в котором будем помечать, находится ли сейчас вершина, которою нужно прорелаксировать, в очереди. Давайте грубо оценим это. В худшем случае нам придется проводить релаксацию каждый раз, когда мы проходим по какому-либо ребру. Оценка довольно грубая, но на начальном этапе этого вполне хватит. Стоит так же заметить, что это именно худший случай , а на практике даже такая реализация работает довольно быстро. А теперь, самое интересное! Алгоритм Дейкстры Первая оптимизация, которая приходит на ум. А давайте релаксировать те вершины, путь до которой сейчас минимальный? Собственно, именно эта идея и пришла мне в один прекрасный день в голову. Но, как оказалось, эта идея пришла первому далеко не мне. Первому она пришла замечательному ученому Эдсгеру Дейкстре. Более того, именно он доказал, что выбирая вершину для релаксации таким образом, мы проведем релаксацию не более, чем n раз! На интуитивном уровне понятно, что если до какой-то вершины путь сейчас минимальный, то еще меньше сделать его мы не сможем. Более формально можно прочитать здесь или на Википедии. Теперь дело осталось за малым, понять как эффективно искать вершину с минимальным расстоянием до нее. Для этого воспользуемся очередью с приоритетами куча, heap. Приведу реализацию, которая, опять же, напрямую следует из предыдущего описанного в этой статье алгоритма. Начнем с объявления очереди с приоритетами. Здесь первый аргумент шаблона — данные, которые хранятся в очереди, а конкретно пары вида расстояние до вершины, номер вершины , второй аргумент шаблона — это контейнер, в котором будут храниться данные, третий аргумент, компаратор находится, кстати, в заголовочном файле functional. Почему нам нужен какой-то другой компаратор? Действительно, всего у нас n релаксаций, а вершину с минимальной длиной пути до нее, мы ищем за log n именно такая асимптотика у стандартной очереди с приоритетами stl. Так же следует заметить, что у нас может получится так, что мы добавили в очередь одну и ту же вершину, но с разными путями до нее. Например, мы провели релаксацию из вершины A, у которой в соседях вершина C, а потом провели релаксацию из вершины B, у которой так же в соседях вершина C, для ухода от проблем, связанных с этим, будем просто пропускать те вершины, которые мы достали из очереди, но расстояние из очереди до которых не актуально, то есть больше, чем текущее кратчайшее. Для этого в реализации присутствует строчка if u. Пусть перед нами стоит следующая задача как в алгоритме Дейкстры. Нужно поддерживать структуру данных, которая удовлетворяет следующим требованиям: Вообще говоря, куча — это дерево. Давайте рассмотрим свойства этого дерева подробнее. Пусть у нас уже построена куча, тогда определим ее следующим образом — для каждой вершины в куче верно, что элемент в этой вершине не больше, чем элементы в ее потомках. Тогда в корне дерева лежит минимальный элемент, что позволяет нам в дальнейшем искать минимум за O 1. Теперь доопределим нашу кучу так, чтобы и остальные свойства выполнялись. Назовем уровнем вершины в дереве расстояние от корня до нее. Запретим добавлять новый уровень в куче, до тех пор пока не заполнен целиком предыдущий. Действительно, при таких условиях высота кучи всегда не более, чем O log n. Осталось научиться добавлять и удалять элементы в кучу. Реализовывать кучу будем на бинарном дереве, в котором будет не более одной вершины с количеством потомков меньшим двух. Это значит, что пока родитель добавленного элемента больше, чем сам элемент, то поменять позиции добавленного элемента и родителя, повторять рекурсивно до корня. Докажем, что при этом не нарушаются свойства кучи. Это просто, так как текущий элемент меньше, чем родитель, то он так же и меньше, чем все потомки родителя. Начинаем от корня рекурсивно: Заметим, что после этой операции, свойства кучи выполняются. У вас есть синдром ученика? О нет, где фреймворки, где классы, код нечитаем, паттернов нет…. А теперь подожжем одно из пересечений. Откуда вы взяли лишнее log n при m? Ну и да, легко это писать, когда за вас куча реализована фреймворком, а вот когда вы эту кучу делаете ручками, все не так радужно. А вот и нет, интуитивно понятно, но неверно. Точнее, верно только в том случае, если вы соблюдаете ограничение применимости этого алгоритма, про которое в посте ни слова. Если использовать фибоначчиеву кучу, то да. При использовании обычной кучи, асимптотика именно такая, как я показал. Согласен, это верно только при не отрицательных весах ребер, сейчас допишу об этом в посте. Будем считать, что на верхушке кучи лежит минимум, тогда O log n на добавление, O log n на удаление минимума, O 1 на поиск минимума. Кучу писать совсем не сложно. Вы либо троллите, либо действительно не знаете. Буду исходить из второго и добавлю реализацию кучи в пост. Ваша реализация больше по объему, чем реализация самого алгоритма. Так, в общем-то, и должно бы быть; логика там тоже сложнее внутри особенно когда вы все-таки добавите произвольный доступ. Собственно, вот полная реализация: По моему опыту, написать кучу хотя бы на основе бинарного дерева сложнее, чем просто реализовать алгоритм Дийкстры — больше неочевидных мест, где можно ошибиться. Поэтому, при замене веса я сразу беру индекс в массиве кучи, и начинаю двигать элемент с этим индексом вверх если надо. Операции добавления вершины в кучу мне не понадобилось вообще — куча сразу создаётся со всеми вершинами, имеющими максимальный вес кроме стартовой, у которой вес равен нулю — она кладётся в начало массива. Реализация приоритетной очереди — строк, ненамного больше остальной части алгоритма. Заметим, что в статье ни разу не говорилось, что такое n и m. Можно догадаться, что одно из них — вершины, а другое — рёбра, но что есть что — непонятно. При данной реализации — когда вершины со старыми весами остаются в куче до тех пор, пока не дойдёт очередь до их старого веса — размер кучи может доходить до O E , где E — число рёбер. Например, так будет для графа с вершинами Кстати, а где в вашем алгоритме замена весов ранее вставленных вершин? Иными словами, если на шаге один в кучу добавлена вершина u с весом 15, а на шаге три в кучу добавлена эта же вершина с весом 3 — сколько записей о вершине u будет в куче? Нужно не проводить релаксацию, если из кучи достали неактуальный путь. При такой реализации, как уже написано выше, вы получаете высоту кучи в O log E , что для полного графа равно O log V 2 это в расчете на то, что дублирующиеся ребра вы оптимизируете на предварительном этапе , против O log V в стандартной реализации. Память на кучу проигрываем, причём сильно — это верно. Если граф у нас не хранится в памяти, а как-то вычисляется, то это может быть плохо. Определение O f x даётся так, что изменение f x в константу раз на результат не влияет. А если f x умножается на величину, зависящую от x, то класс алгоритмов и их асимптотика может измениться. А если мы умеем быстро искать элемент, то изменить его вес так же просто, как добавить новый: Это не сложно, но тоже требует аккуратности. Собственно, здесь и накапливается сложность не алгоритмическая реализации кучи. Когда мы добавляем новый элемент или удаляем минимум , то при реализации через массив у нас меняется положение части элементов в массиве. И для них всё равно приходится отслеживать изменение информации для поиска. Ну, как я это в свое время реализовывал: При снятии верха — bubble-down. При вытаскивании элемента из середины — не важно, для удаления или для перевесовки, — нужно сделать либо то, либо другое, в зависимости от отношения весов элементов. Но я, правда, говорю про generic heap, который просто структура данных, отвязанная от алгоритма. Дешевле всего вызвать и то и другое. В случае бинарной кучи это безумно дорого. Обычно при уменьшении веса объект либо не надо двигать вообще он уже тяжелее своего родителя , либо его надо переставить на ступеньки вверх. И сравнивать на каждом этапе только с родителем. И то и другое — это вызвать метод всплытия а потом метод утопления. Потому что когда вы удаляете объект из середины, вы меняете удаляемый объект с последним элементом, после этого элемент нужно расположить на нужном уровне. И этот уровень может быть как выше так и ниже. При этом один из вызовов в данном случае делает только проверку что перемещать объект не надо и выходит. На самом деле эта ситуация не так редка как может показаться. Она может возникнуть, когда последний элемент находится в другой ветке относительно элемента который мы удаляем. Я просто оставлю это здесь: В статье есть ссылки на e-maxx, так что автор знает о существовании этого замечательного сайта. Сейчас Вчера Неделя Нет, у меня нет сторонних проектов, чтобы вам показать 28,9k Нет, у меня нет сторонних проектов, чтобы вам показать 28,9k Вашим пользователям не нужны пароли 40k Интересные публикации Хабрахабр Geektimes. Главы 7, 8, 9, 10 GT. Дайджест интересных материалов для мобильного разработчика 30 октября — 5 ноября. Инверсия зависимостей в мире фронтенда. Никто не знает, куда девается информация из чёрных дыр GT. Поприветствуем наших новых хозяев — роботов — глава вторая GT. Почему визуальное программирование и D3NE могут быть Вам полезны. Услуги Реклама Тарифы Контент Семинары.
Рекурсия. Обход в глубину (DFS)
Обход в глубину, цвета вершин
Способы обхода блокировки сайтов
Купить закладки россыпь в Наволоке
Способы обхода блокировки сайтов!
Действующие вещества марихуаны
GitLab Community Edition
Поиск в ширину
Какие наркотики употреблял высоцкий