Об матане.

Маркс и я были едва ли не единственными людьми, которые спасли из немецкой идеалистической философии сознательную диалектику и перевели её в материалистическое понимание природы и истории. Но для диалектического и вместе с тем материалистического понимания природы необходимо знакомство с математикой и естествознанием.»
Ф. Энгельс.

Категорически приветствую. Эта статья будет посвящена становлению математики в её историческом контексте, а также тому, как в математике совершаются открытия.

До того как у человечества сложилось представление о числе и счёте, необходимому усвоению подлежали более широкие, а потому более простые категории, такие как меньше, дальше, ближе, раньше, равно и т.д.

В этих словах выражались общее количественные соотношения между различными вещами, явлениями и событиями. И уже затем, когда обнаружилась потребность не просто в сравнении величин, а наиболее остро возник вопрос, насколько именно больше-меньше возникла потребность в возникновении счёта и чисел.

Древнейшим счётным инструментом, который предоставила сама природа человеку, стали его руки. Для облегчения счёта люди стали использовать пальцы.
Появление частной собственности, а за ней и государства, дало ещё один толчок развитию математики. Например, операция сложения развилась до операции умножения.

В древнем Египте умножение понадобилось для того, чтобы рассчитать площадь земель. Египетские жрецы хоть и имели представление о том, как практически использовать математику для предсказания, например, разливов Нила, солнечного затмения и прочего, но при этом египтяне теоретическими доказательствами себя не обременяли. За них это сделали древние греки, которые доказательства своей позиции считали обязательным условием.

Натуральные числа и дроби в том или ином виде существовали в каждой цивилизации. Однако привычные нам цифры появились в Индии, которые позже ошибочно назовут арабскими. И десятичная система счисления также была изобретена в Индии, это стало возможным с открытием нуля.
При учёте доходов и долгов, складывая которые между собой при их равенстве, как раз таки можно было получить ничего. Это ничего в последствии и стало оформлено как ноль, который далее сыграет значительную роль в математических уравнениях.

Современные очертания математика начинает обретать после трудов Исаака Ньютона и Готфрида Лейбница, которые в свою очередь базировались на открытие Рене Декарта его системы координат.

И здесь стоит выделить одну важную характерную деталь. Ньютон и Лейбниц практически одновременно открывают интегральные и дифференциальные исчисления, которые составляют основу текущего аппарата математического анализа.

Необходимость этого открытия, как и любого другого, буквально витала в воздухе и ждала своего гения. Гению достаточно сделать два недостающих логических шага, и если открытие не сделает один человек, то его обязательно сделает кто-то другой. И такое очень часто происходит, и не только в математической науке. Потому многие законы носить именования сразу двух учёных. Например, формула Ньютона-Лейбница, уравнение Менделеева-Клайперона, Неравенство Коши-Буняковского и т.д.

Развитие математики, как и любой другой науки, напрямую зависит от развития самого общества. Занятие наукой при сохранении классового деления в обществе можно скорее отнести к роскоши, чем к необходимости. Это относится как к эпохе античности, к эпохе возрождения, так и к современности.

«Когда в математику были введены переменные величины и когда их изменяемость была распространена до бесконечно малого и бесконечно большого, — тогда и математика, вообще столь строго нравственная, совершила грехопадение: она вкусила от яблока познания, и это открыло ей путь к гигантским успехам, но вместе с тем и к заблуждениям. Девственное состояние абсолютной значимости, неопровержимой доказанности всего математического навсегда ушло в прошлое; наступила эра разногласий, и мы дошли до того, что большинство людей дифференцирует и интегрирует не потому, что они понимают, что они делают, а просто потому, что верят в это, так как до сих пор результат получался правильный.»

Если рассматривать математику как статичную систему, то можно прийти к вполне резонному выводу, что она является сугубо формально-логической системой. Однако расширение математического аппарата формулирования новых теорем и прочие манипуляции, направленные на приращение знаний, напрямую уже связано с логикой диалектической.

Именно ею математики и занимаются на переднем крае математической науки, даже если и не отдают себе в этом отчёт и ссылаются на озарение или инсайд, который по своей сути является ничем иным, как диалектический синтез.

Текущие, как и все предшествующие, нерешённые проблемы математики могут быть решены только при помощи выхода за рамки текущей математической системы, за рамки формальной логики, путём синтеза решения из накопленных проблем для последующего вписывания недостающих логических выкладок в уже обновлённую систему.

Даже банальное деление на ноль, пусть и в пределе, это уже выход за рамки формальных правил. А без этого допущенного нарушения был бы немыслим современный математический анализ.

Ещё одним явным открытием, рождённого в противоречии, можно смело назвать комплексные числа. Сама постановка - проблематики это уже половина решения. Выявить проблематику и уж тем более её решить при помощи одной лишь формальной логики - занятие далеко благодарное.

Одним из самых изящных и одновременно вопиющих противоречий на данный момент является ряд 1+2+3+..., который устремляется к бесконечности, одновременно с этим, предположительно в очень конкретных условиях совершенно неожиданно может сходиться к -1/12.

Итог.

В определённых обстоятельствах даже строгая математика может вести себя удивительно и контринтуитивным образом. Наиболее явное маразму в математике можно отследить в кольцах и группах, где ожидаемо не работают некоторые свойства алгебраических операций. Но и случается и так, что математика предательски ломается, обнажая противоречия в самых неожиданных ситуациях. Если такое происходит, то с этим нужно разбираться намного подробней.

И тут главное не впадать в крайности, за формально-логическими ошибками в рассуждениях, не следует начинать видеть якобы диалектические противоречия, а также формализовать и формально же снимать, на деле маскировать, уже реальные диалектические противоречия.

А как отличить одно от другого?

Ответ прост. Учить матчасть и математическую и диалектически-материалистическую. Простые рецепты и решения по аналогии здесь увы не работают, тут надо думать.

А на сегодня всё. До новых встреч. 1. Деление на ноль: https://www2.math.su.se/reports/2001/11/2001-11.pdf
2. О появлении комплексных чисел: https://habr.com/ru/post/246747/
3. Дзета-функция Римана: https://habr.com/ru/post/452964/ и https://www.youtube.com/watch?v=YuIIjLr6vUA&ab_channel=Mathologer
4. Конечные поля и “поломка” математики в кольцах и группах - https://www.youtube.com/watch?v=nm_o0IS2gK4&t=0s