О законе Бернулли

Основы

Приветствуем вас вновь, дорогие читатели. Сегодня желаем рассказать вам более конкретно о фундаментальном законе гидро и аэродинамики – законе Бернулли. Ранее на канале уже выходила статья с объяснением данного закона, но она была сложна для понимания, из-за чего не набрала должного внимания.

Напомним о том, Даниил Бернулли (29.1.1700, Гронинген, — 17.3.1782, Базель) - швейцарский физик, механик и математик, один из создателей кинетической теории газов, гидродинамики и математической физики, сын Иоганна Бернулли. Занимался физиологией и медициной, но больше всего математикой и механикой. В 1725-33 он работал в Петербургской АН сначала на кафедре физиологии, а затем механики. Впоследствии он состоял почётным членом Петербургской Академии Наук, опубликовал (с 1728-78) в её изданиях 47 работ. Профессор в Базеле по физиологии (1733) и по механике (1750). В математике Даниилу Бернулли принадлежат: метод численного решения алгебраических уравнений с помощью возвратных рядов, работы по дифференциальным уравнениям, по теории вероятностей с приложением к статистике народонаселения и, отчасти, к астрономии, по теории рядов.

Великим достоянием Диалектико-Материалистического мировоззрения является закон сохранения и превращения энергии, являющийся достоянием труда Ломоносова, немецкого физика Майера, английского физика Джоуля. Именно данный закон представляет убедительное свидетельство материального единства мира, вечности и неуничтожимости материи и движения. Вместе с тем данный говорит о том, что материя и движение качественно многообразны, изменчивы и способны превращаться из одних форм в другие.

Динамика движения реальной жидкости очень сложна. Для упрощения в некоторых случаях можно пренебречь силами внутреннего трения и сжимаемостью. Кстати, о сжимаемости.

Когда скорость течения воздуха близка к одному 1М, уже нельзя пренебрегать сжимаемостью. Стоит учитывать, что всякий газ при уменьшении давления стремится увеличить объем (закон Бойля-Мариотта – pV=const). С одной стороны, увеличение скорости требует сужения потока, а с другой – увеличение скорости приводит к уменьшению давления воздуха, что требует уже расширения потока. Оказывается, при дозвуковых скоростях сильнее первое явление, а при сверхзвуковых – второе. На практике, начинающие скачки уплотнения жидкости начинаются уже при достижении скорости в 120 м/с. Поэтому, мы будем рассматривать движение жидкости и газа со скоростями менее 120 м\с. Вот как, к примеру , выглядят скачки уплотнения на поверхности тел различной формы:

Линии, касательные к которым во всех точках совпадают с направлением скоростей жидкости в этих точках или же траектории, которые описывают отдельные частицы жидкости, называют линиями тока. Часть жидкости, ограниченная линиями тока, называется трубой тока. Именно в трубе тока и рассмотрим движение.

Как мы договорились, течение стационарно. S – площадь сечения в левой части трубы и S` - площадь в правой части, v – скорость в левой части и v`- скорость в правой части. Отметим положения сечения потока частиц в левой части как S1, а правой S2. Тогда получим, что:
v*S=v'*`S`
или v\v`= S`\S .

Мы получили выражение, называющееся уравнением неразрывности. В соответствии с ним скорость протекания жидкости обратно-пропорциональна площади её сечения. На такие трубки можно разбить все пространство, занимаемое жидкостью. Полученный результат справедлив для выбранной трубки тока. При изучении потоков жидкости. Если жидкость можно рассматривать как несжимаемую, то плотности обеих частей одинаковы. Уравнение неразрывности справедливо для всех сечений. А значит:
v*S = const

Собственно, последнее выражение и описывает в буквенном виде принцип неразрывной жидкости.

Давайте теперь посмотрим на то, что же будет происходить с давлениями в трубе.

Зададим единичный объём жидкости(к примеру, в 1СМ^3). Вспомним, что кинетическая энергия равна m*v^2\2, а потенциальная – pV. Величина pV представляет собой энергию давления При стационарном движении тока для двух произвольно выбранных сечений:
m*v^2\2+pV =m*v`^2\2+pV'

Вторая часть уравнения относится к другому сечению жидкости. Суммы при стационарном движении с двух сторон одинаковы. Поэтому:
m*v^2\2+ p*V=const

Собственно, это и есть частный случай уже знакомого закона сохранения: постоянства суммы потенциальной и кинетической энергии. Но нам необходим закон сохранения для идеальной несжимаемой жидкости, т.е нам необходимо адаптировать данное уравнение для давления

Т.к объем газа единичный, мы можем записать, что масса объема равна просто плотности:
m=p*1=p

Соответственно, кинетическая энергия единичного будет равна p*v^2\2. Это слагаемое называется динамическим давлением или напором.

Потенциальной энергией будет являться статическое давление, т.е атмосферное. Как это доказать? Давайте возьмем шприц, имеющий единичное поперечное сечение газом единичного объема. Пренебрежём трением. Отпустим поршень на расстояние одной выбранной единицы длины l. Что произойдет? Поршень совершит движение. Ясно, что для того, чтобы газ совершил работу, он должен обладать энергией. В данном случае работу против сил трения совершает сила давления газа pS, где S – поперечное сечение поршня, р – давление. Значит, работа газа равна:

A=pS∆l

Изменение потенциальной энергии газа равно работе газа. Это значит, что вся работа перешла в кинетическую энергию. Мы можем записать, что:

∆Еп=Екин= pS∆l

Из всего сказанного ясно, что:

P+p*v^2\2=const

Динамическое давление же можно измерить при помощи спец. прибора, названного трубкой Пито (её принцип действия и применение рассмотрим позже).

Также важно сказать, что уравнение которое мы получили, неразрывно связано с понятием полной механической энергии. Только здесь мы имеем дело с постоянством сохранения суммы потенциальной и кинетической энергии
для идеальной несжимаемой жидкости.

Практический вывод из закона Бернулли очевиден: при стационарном течении по трубе в участках сужения давление газа падает, а в участках расширения – повышено. Это ясно из самого уравнения : P+p*v^2\2=const: Если одно слагаемое увеличилось, то другое слагаемое обязано уменьшиться для сохранения постоянства суммы. На подобии того, как это происходит с достатком в капиталистическом обществе: избыток меньшинства эксплуататоров создаётся недостатком эксплуатируемого большинства; если где-то убыло, значит, где-то прибыло.

Следует еще раз отметить, что закон сохранения в таком виде, в котором мы его записали, справедлив только для идеальной\го ( газа или жидкости) и несжимаемой жидкости. Реальная материя обладает вязкостью, благодаря которой часть полной энергии уходит в тепло, нарушая справедливость уравнения. Однако, если вязкость невелика, как, к примеру, у воды или воздуха, это уравнение выполняется достаточно точно. Легко понять то, что уравнение Бернулли выполняется для неподвижных систем координат, так и для любых подвижных систем координат.

В соответствии с наукой Марксизм и диалектико-материалистическим мировоззрением, мы не в праве отрывать теорию от практики. Поэтому, практических аспектов, связанных с законом Бернулли, коснемся в следующей статье.