О том, как быть «Тёрстоновым»

Быть учеником Уильяма Тёрстона было одновременно вдохновляюще и фрустрирующе. На нашей второй встрече я сказал Биллу, что решил работать над пониманием фундаментальных групп отрицательно изогнутых многообразий с наконечниками. В ответ я столкнулся с известным «прищуром Тёрстона»: он смотрел на вас, прищуривал глаза, бросал на вас недоумевающий взгляд, а затем начинал задумчиво смотреть вдаль (всё ещё с прищуром). Спустя две минуты он повернулся ко мне и сказал: «О, я понял, это как пена из пузырей, где пузыри имеют ограниченное взаимодействие».

Будучи прилежным аспирантом, я добросовестно записал в свои заметки: «Пена из пузырей. Ограниченное взаимодействие». После нашей встречи я побежал в библиотеку, чтобы начать работу над задачей. Я посмотрел на свои записи. Пена? Пузыри? Это он сказал? Что это значит? Я был в тупике.

Три мучительных года работы спустя я решил задачу. Детально объяснить это сложно, но если бы мне пришлось резюмировать свою диссертацию в пяти словах или меньше, я бы сказал: «Пена из пузырей. Ограниченное взаимодействие».

Лекции Тёрстона обычно начинались с того, что Билл рисовал поверхность рода 4, медленно стирал отверстие, добавлял его обратно, возился с линиями и, в целом, тянул время, быстро придумывая лекцию, которую он не подготовил заранее. Почему мы всё равно ходили на его лекции? Потому что время от времени мы получали прекрасные озарения, которые были абсолютно недоступны из каких-либо других источников.

Вот пример. Рассмотрим набор игрушек Tinker Toy с жёсткими стержнями фиксированной длины, болтами и шарнирами. Стержни можно закрепить одним концом на столе или соединить друг с другом с помощью шарниров. Для любого набора игрушек T , закреплённого на столе в одной точке, существует пространство C(T) , представляющее все возможные конфигурации T. Если T – это один стержень, то C(T) является окружностью. Если на конце добавляется шарнирный стержень, то результирующее пространство конфигураций – это тор. Какие ещё гладкие компактные многообразия можно получить таким способом? Я до сих пор помню общий восторг, когда Билл объяснил нам, как можно получить все компактные гладкие многообразия как компоненту некоторого C(T) . Более того, каждую гладкую функцию между многообразиями можно представить с помощью стержней, соединяющих два соответствующих набора игрушек Tinker Toy.

Тёрстон полностью преобразил несколько областей математики, включая теорию 3-многообразий, теорию расслоений, геометрическую теорию групп и теорию рациональных отображений. Его работы содержат головокружительное множество глубоких, оригинальных и влиятельных идей. Всё это широко известно. Однако, на мой взгляд, влияние Тёрстона недооценено: оно выходит далеко за пределы (огромного) содержания его математики. Как писал сам Билл в своей статье «О доказательстве и прогрессе в математике»:

> «То, что математикам больше всего было нужно от меня, – это научиться моим способам мышления, а не, собственно, моему доказательству гипотезы геометризации для многообразий Хакена».

Мы действительно научились его способам мышления, или, по крайней мере, некоторой их приближённой версии. Билл изменил наше представление о том, что значит «встречать» и «взаимодействовать» с математическим объектом. Фраза «я понимаю X» приобрела совершенно новый смысл. Математические символы и даже изображения недостаточны для истинного понимания, особенно в геометрии и топологии. Мы должны стремиться как-то «жить внутри» объектов, которые мы изучаем, переживать их как трёхмерные сущности. Я думаю, что это изменение теперь почти невидимо; оно стало структурной особенностью того, как многие из нас занимаются математикой. Этот вид всеобъемлющего влияния можно сравнить с тем, как Гротендик изменил способ мышления многих людей о математике, даже в темах, которые сам Гротендик никогда не затрагивал.

Изменение подхода, описанное выше, многие ученики Тёрстона перенесли за пределы топологии, «тёрстоннизировав» множество других областей математики, заметно их изменив. Работы Одеда Шрамма – наглядный пример. В начале своей карьеры Шрамм решил множество крупных открытых задач о круговых упаковках. Эта теория позволяет по-настоящему понять (в тёрстоновском смысле) теорему о конформном отображении Римана как предел итерационного процесса. Затем Шрамм применил своё геометрическое понимание к исследованию пределов масштабирования для многих двумерных решётчатых моделей в статистической физике. Эволюция Шрамма–Лёвнера даёт геометрическое, «визуальное» понимание этих пределов.

Билл, вероятно, был лучшим геометрическим мыслителем в истории математики. Поэтому меня удивило, когда я узнал, что у него не было стереоскопического зрения, то есть восприятия глубины. Возможно, именно это каким-то образом способствовало его выдающимся способностям? Однажды я упомянул эту теорию Биллу. Он не согласился, утверждая, что все его навыки – результат принятого им, судя по всему, ещё в первом классе решения «ежедневно практиковать визуализацию вещей».

Я не могу закончить этот текст, не затронув одно основное недоразумение, которое, кажется, существует относительно работ Тёрстона. В частности, подвергается сомнению полнота доказательств в его поздних работах. Такие жалобы необоснованны. Можно указать на недостаток должных ссылок у Тёрстона и на некоторую краткость его математических аргументов. Но, по большей части, он давал полные, хотя и лаконичные, доказательства. Каждый раз, когда я просил Билла объяснить мне теорему, он всегда был готов и способен предоставить столько деталей, сколько мне было нужно, вплоть до эпсилонов. Тёрстон – один из немногих математиков, которых я знаю, кто никогда (насколько мне известно) не делал ошибочных утверждений или предположений, которые оказались бы неверными. Люди, не имеющие личного опыта общения с ним, часто говорят о своём разочаровании в том, что не могли понять, что Билл пытался донести, и о желании получить больше деталей, чтобы потом понять, что они уже были.

У меня были сложные отношения с Биллом. Однако, как и у стольких других людей, мой математический взгляд был сформирован его способом мышления. При взаимодействии с другими великими математиками возникает ощущение, что эти люди такие же, как мы, но в 100 (ладно, 500) раз лучше. В отличие от этого, Тёрстон был уникален. Он был инопланетянином. Здесь нет никакого коэффициента: Тёрстон был просто ортогонален всем остальным. С его смертью математика теряет измерение.