О проверке работ профильного ЕГЭ — 4. Всегда ли 1 процент равен 0,01?
Вам кажется странным поставленный вопрос? Но такое же странное ощущение возникло у меня во время проверки профильного ЕГЭ по математике 2019 г. от данной всем экспертам установки, как необходимо оценивать задание № 17.
Сначала приведу саму задачу.
15 января планируется взять кредит в банке на срок 14 месяцев. Условия его возврата таковы:
- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;
- с 2-го по 14-е число необходимо выплатить часть долга;
- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше чем на 15-е число предыдущего месяца.
Найдите r, если известно, что за весь период выплатили на 15% больше, чем взяли в кредит.
Оставим в стороне вопросы о том, зачем вообще нужна на экзамене такая типовая задача, разобранная во многих сборниках подготовки к ЕГЭ, какое отношение к математике имеют все эти псевдоэкономические задачи на банковские кредиты и как освоение схем решения подобного рода задач характеризует именно математические компетенции выпускников…
Задача имеет шаблонное решение. Пусть начальная сумма кредита равна S, тогда переплата за первый месяц равна rS∕100. По условию ежемесячный долг перед банком должен уменьшаться равномерно. Этот долг состоит из двух частей: постоянной ежемесячной выплаты, равной S∕14, и ежемесячной равномерно уменьшающейся выплаты процентов, равной
Полная переплата по кредиту равна:
По условию общая сумма выплат на 15% больше суммы, взятой в кредит, поэтому
Традиционные критерии оценивания задачи 17 имели вид (раньше эта задача оценивалась в 3 балла):
3 балла — обоснованно получен верный ответ;
2 балла — верно построена математическая модель, решение сведено к исследованию этой модели и получен результат: неверный ответ из-за вычислительной ошибки или верный ответ, но решение недостаточно обоснованно;
1 балл — верно построена математическая модель, решение сведено к исследованию этой модели, при этом решение может быть не завершено;
0 баллов — решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.
Приведём теперь ученическое решение этой задачи и спросим читателя, на сколько баллов он оценил бы его.
Данное решение содержит одну очевидную погрешность: оно работает не с использованной в условии задачи величиной r%, а со своим новым коэффициентом r = 0,02 = 2%, отличающимся от введённого в условии в 100 раз. Составляя модель задачи, ученик вводит переменную r, но выбирает её неудачно, так что она совпадает с переменной в условии задачи. Эту свою правильно построенную модель он безошибочно доводит до верного ответа. Сколько же баллов заслуживает такое решение? Наверное, я не поверил бы, если бы сам не был экспертом ЕГЭ — оно оценивается в ноль баллов!
Данную неточность в обозначении переменной, которую я лично даже затрудняюсь назвать ошибкой, высшей экспертной инстанцией было определено расценивать как отсутствие понимания того, что такое проценты, и, в следствие этого, построение неверной математической модели. На апелляции этого задания был дважды повторён ответ: «Ваш ответ 2% соответствует Вашему введённому r, а не тому, о котором спрашивалось в задаче».
Стоит заметить, что подобных решений на экзамене было довольно много. Вот ещё пример такой работы другого варианта с аналогичным результатом оценки.
Формально, согласно действующему критерию, приведённые решения можно подвести под оценку «0 баллов», но я считаю, что такое решение несправедливо. Имеющее здесь место недоразумение можно пояснить таким примером. Пусть некая вещь стоит 2 рубля. Тогда на вопрос: «Сколько рублей стоит эта вещь?» правильно отвечать «2», но ответы «2 рубля» и «2 рубля стоит эта вещь» вряд ли кто назовёт ошибочными, поскольку сделанные уточнения не могут привести к недоразумениям. Однако ситуация изменится, если речь будет идти не о рублях, а о процентах. Пусть теперь некий товар подорожал на 2%. И пусть на вопрос «На сколько процентов подорожал товар?» получен ответ: «На 2%». Что имел в виду отвечающий: «на 2 (процента)» или «на 2% процентов», т.е. «на 0,02%»? Вряд ли второй вариант понимания кому-то придёт в голову, но, к сожалению, именно таким формальным подходом руководствовался высший экспертный совет ЕГЭ, не признав за учащимися право интерпретировать искомые r = 2 (%) как коэффициент 0,02.
Более того, я считаю, что ученик, использующий запись rS (разумеется, при правильной интерпретации величины r) разбирается в задаче не хуже ученика, выполняющего её в символике rS∕100, хотя бы потому что решает её менее шаблонно.