О проверке работ профильного ЕГЭ — 3
Вызывает вопросы и разумность критериев оценки двух последних задач.
Начнём с задания № 18. В одном из проверяемых мною вариантов оно выглядело так:
Критерии проверки:
4 балла — обоснованно получен верный ответ;
3 балла — с помощью верных рассуждений получено множество значений a, отличающееся от искомого только включением/исключением одной из двух точек: a = 1 или a = 9;
2 балла — с помощью верных рассуждений получено множество значений a, отличающееся от искомого включением/исключением обеих точек: a = 1 и a = 9 ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом выполнены все шаги решения;
1 балл — задача верно сведена к исследованию взаимного расположения прямых и окружности (аналитически или графически);
0 баллов — решение не соответствует ни одному из критериев.
Что означает сведение задачи к исследованию взаимного расположения прямых и окружности (решение на 1 балл)? Скажем, достаточно ли написать, что первое уравнение системы равносильно совокупности уравнений y = x и y = –x при условии x² < a, а второе переписать в виде (x – 1)² + (y – 2)² = 5? Глава предметной экзаменационной комиссии пояснил, что нет: должны быть явным образом просчитаны точки пересечения этих прямых и окружности (которые в этой задаче являются целочисленными:
(0; 0), (–1; 1) и (3; 3)), что, в принципе, у меня не вызывает никакого несогласия. А далее мы имеем дело с огромным количеством работ, в которых получен верный ответ a ∊ (1; 9], но нахождение точек пересечения прямых и окружности никак не объяснено, поскольку в реальности они были взяты из графика, по клеточкам. И эксперт оказывается перед проблемой оценки работы по критериям: 4 балла не подходят под «обоснованное» получение ответа; 2 и 3 балла — вообще не в тему; и даже 1 балл поставить нельзя из-за указанного выше требования. Остаётся 0 баллов! Или всё же, «наступая на горло собственной песне», ставим 4 балла?
Обратимся к заданию № 19. Рассмотрим пример.
Критерии проверки:
4 балла — обоснованно получен ответ в пунктах а, б, в;
3 балла — обоснованно получен ответ в пункте в и в одном из пунктов — а или б;
2 балла — обоснованно получен ответ в пунктах а и б ИЛИ обоснованно получен ответ в пункте в, при этом пункты а и б не выполнены или выполнены неверно;
1 балл — обоснованно получен ответ в одном из двух пунктов — а или б;
0 баллов — решение не соответствует ни одному из критериев.
Для решения пункта а этой задачи достаточно предъявить пример: 150 = 10∙11 + 40∙1 (нужно взять десять слагаемых, равных 11, и сорок слагаемых, равных 1).
Пункт б имеет отрицательный ответ. Для доказательства этого факта можно сперва показать, что число 111 не может входить в разложение в требуемую сумму, поскольку оставшуюся разность 150 – 111 = 39 придётся составить из 80 – 3 = 77 единиц, что невозможно. А после представить число 150 в виде 150 = x∙11 + y∙1, где натуральные x и y связаны соотношением 2x + y = 80. В результате придём к уравнению 9x = 70, не имеющему натурального корня.
Для решения пункта в нужно сперва рассмотреть все случаи вхождения числа 111 в разложение числа 150 в сумму, их всего 4: 150 = 111 + 3∙11 + 6∙1, 150 = 111 + 2∙11 + 17∙1, 150 = 111 + 1∙11 + 28∙1 и 150 = 111 + 39∙1; соответствующие им значения n равны 15, 24, 33 и 42. А затем рассмотреть случаи разложения, в которых нет числа 111, эти разложения имеют вид: 150 = 11x + y, где x ∊{0; 1; …; 13} — всего 14 значений, y = 150 – 11x, n = 2x + y. При этом при значениях (x; y), равных (13; 7) и (12; 18) , получаем n, равным соответственно 33 и 42, — эти два значения совпадают с уже найденными в разложении 150 в сумму, содержащую число 111. Таким образом, получаем 4 + 14 – 2 = 16 различных значений n, для которых можно получить сумму 150.
Теперь рассмотрим ситуацию — не гипотетическую, но реально имевшую место, — когда ученик провёл приведённое выше рассуждение в пункте в, расписав явным образом все случаи представления числа 150 в виде суммы 150 = 11x + y для всех x ∊{0; 1; …; 13}, но при подсчёте количества возможных значений n, т.е. 4 + 14 – 2, обсчитался и получил 17. Пункты а и б он отдельно не решал, но сослался на их следствие из пункта в. Какую он заслуживает оценку согласно данным критериям? Пункт в не решён, значит, не более двух баллов; но пункты а и б выводятся из пункта в, который не решён, получаем 0 баллов. Даже если зачесть пункты а и б как вытекающие из приведённых рассуждений пункта в, всё равно по факту данная задача решена явно больше, чем наполовину.
Проанализируем оценивание ещё одного задания № 19 (пункт в) из варианта КИМ ЕГЭ-2016.
Рассмотрим ученическое решение из Методических материалов. Сначала ученик вводит свои обозначения и в пункте а записывает и упрощает выражение для разности рейтингов:
А затем применяет его в решении пункта в:
Комментарий составителей: «Кристально ясный случай… Пример в в не обеспечивает «точность предыдущей оценки», так как никакой оценки нет, а есть только эвристическое наблюдение об оценке». Таким образом, за пункт в 0 баллов.
Согласно критериям получается, действительно, ноль баллов. Конечно, здесь речь не может идти о полном балле. Но, без сомнения, ребёнок понял, как устроена данная конструкция, и построенный им пример заслуживает какого-то положительного оценивания. Может, всё-таки стоит пересмотреть критерии?
Ещё один пример вопиющей несправедливости действующих критериев (задание № 19 ЕГЭ-2017). Приведём условие задачи (снова пункт в), её официальное решение и ученическое решение, а затем сравним их.
Видим, что ученическое решение практически полностью копирует решение официальное, данное экспертам в качестве образца. Ошибочным в ученическом решении является число 636 в неравенстве 0 ≥ 10k² – 176k + 636 — должно быть 656. На ответ эта ошибка (или описка?) никак не повлияла, и построенный пример у ученика тот же, что в официальном решении. Однако, по критериям снова выставляем за пункт в ноль баллов: с формальной позиции оценка неверна, и потому пример не может подтвердить её точность.
Для усиления осознания необходимости пересмотра критериев проверки приведём ещё только один комментарий к задаче № 18 из Методических материалов (без текста задачи и её решения): «Деликатный случай. С одной стороны, есть явное и полное понимание ситуации. С другой стороны, в самом начале допущена ошибка с включением прямой x = –3 во множество решений. И только из-за этого в дальнейшем был произведен отбор, давший неверный ответ. Более 1 балла поставить нельзя. На 1 балл условие критерия «Задача верно сведена…» не выполнено, и условие «получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения» не выполнено. Всё-таки, ставить 0 баллов». Даже если не вдаваться в суть задачи и сделанной ошибки, в моём сознании плохо сочетаются «явное и полное понимание ситуации» и «0 баллов»…
Бюрократизация системы приводит к вымыванию смыслов. Наша задача — привлечь внимание разработчиков заданий и критериев ЕГЭ, экспертов и других специалистов к существующей проблеме оценивания решений экзаменационных работ. Не следует отделять содержание контрольно-измерительных материалов ЕГЭ от содержания школьной программы, а критерии оценивания экзаменационной проверки от традиционных критериев «обычной» проверки. Участие в проверке ЕГЭ не должно переводить учителя в «касту посвящённых».