О ПОНЯТИИ БЕСКОНЕЧНОСТИ

НАУКА и ЗДРАВЫЙ СМЫСЛ (конспект)

Вопросы, относительно которых существуют разногласия, не следует считать тривиальными; они представляют корни огромного дерева современной математики. (22)

Э. Т. Белл

На то чтобы провести должную уборку в математике и спасти, что удастся, после крушения последних двадцати лет, вероятно, потребуется одно поколение. (22)

Э. Т. Белл

Намерение теории доказательства [Давида] Гильберта заключается в том чтобы искупить вину единоразовым актом за нападки, которые математика и все математики совершали на разум и на принцип свидетельства; и этот акт состоит в глубоком понимании, что математика, если уж она не даёт нам истину, то позволяет, по меньшей мере, добиться последовательности и закономерности. Математика, как мы видели, изобилует пропозициями, которые на деле не представляют собой значимые суждения. (549)

Герман Вейль

Объективированное свойство в математике обычно называют множеством. (549)

Герман Вейл

Если объекты имеются в неопределённом количестве, иными словами, если человек оказывается в положении, в котором он постоянно видит возникновение новых и непредвиденных объектов, может случиться так, что нам придётся поменять классификацию, исходя из внешнего вида нового объекта, и таким образом человеку придётся столкнуться с антиномиями. Действительной (данной всецело) бесконечности не существует. (417)

А. Пуанкаре

Структурное понятие ‘бесконечного’, ‘бесконечности’ я отношу к существенно семантически важным. Не так давно это понятие стало предметом оживлённых дискуссий в сфере математики. Я провожу обзор этой темы с точки зрения A-системы, общей семантики и теории здравомыслия, в которых мы полностью исключаем отождествление. В Приложении III я привожу более подробный A анализ проблемы, которую уже предвидели [Лёйтзен] Брауэр, [Герман] Вейль, [Леон] Хвистек и другие. Эти проблемы остаются нерешёнными, потому что математики, в своём ориентировании и доводах, по-прежнему пользуются эл, A ‘логикой’, ‘психологией’ и эпистемологией, в которую включают и полагаются на ‘есть’ тождества, от чего согласие становится невозможным.

Математической бесконечностью впервые в письменной форме воспользовался римский поэт Тит Лукреций, который в далёком первом веке до н.э. красиво написал о ней в своей поэме De Rerum Natura [О Природе Вещей]. Он занимался поэзией, которую имели удовольствие читать небольшое количество образованных людей. Однако это открытие не удалось досконально сформулировать, из-за чего оно оставалось нерабочим и практически бесполезным для человечества на протяжении 2000 лет. Лишь около пятидесяти лет назад математикам удалось открыть математическую бесконечность заново и досконально её сформулировать. С тех пор математика, наряду со всеми другими науками, развивалась с беспрецедентной эффективностью. Мы смогли сделать это структурное языковое открытие так поздно, вероятно, в связи с обычными блокадами, старыми с.р, старыми привычками ‘мысли’ и предрассудками.

Во всех обсуждениях о бесконечности, с давних времён, до [Бернарда] Больцано (1781-1848), [Рихарда] Дедекинда (1831-1916) и [Георга] Кантора (1845-1918), бытовала особенная максима. Во всяком доводе против бесконечности фигурировало определённое структурное предположение, которое, на первый взгляд, казалось достоверным и ‘очевидным’, но, если следовать ему до конца, сказывалось весьма разрушительно на всей существовавшей на тот день математике. Доводы же в пользу бесконечности к таким трагическим последствиям не вели. Естественно, математики, в частности Кантор, начали исследовать эту конкретную максиму и с.р, которые создавали беспорядок. Мы говорим о структурном предположении, согласно которому ‘если группа приходится частью другой, та, что приходится частью, обладает меньшим количеством членов, чем та, частью которой она приходится’. Эта с.р глубоко укоренилась и даже получила свою академическую формулировку словами Эвклида в одной из его аксиом: ‘Целое — больше любой своей части’. Мы можем сказать, что в этой аксиоме, хоть она и не служит точным эквивалентом вышеуказанной максимы, неосторожными рассуждениями, которые практиковались в былые дни, подразумевается проблемная максима. Мы легко видим, что эта E аксиома, как и наша проблемная максима, выражает взятое из опыта структурное обобщение, которое мы можем применить только к конечным процессам, массивам,. Более того, и ту, и другую мы можем рассматривать как определение конечных процессов, массивов,. Отсюда, однако, не следует, что одно определение и структура обязательно согласуются с бесконечными процессами, массивами,. На деле, если разобрать эту максиму, мы получим точное определение математической бесконечности. Процесс образования массивов., называется бесконечным, когда он содержит, в качестве частей, другие процессы, массивы., которые обладают ‘стольким же числом’ членов, скольким обладает первый процесс, массив,.

Под термином ‘бесконечный’ [‘нефинитный’] мы имеем в виду процесс, который не заканчивается или прерывается; мы обычно обозначаем его знаком ∞. Этот термин мы также можем применять к массиву членов или других сущностей, образование [генерация] которых не заканчивается или прерывается. Таким образом, мы можем говорить о бесконечном процессе генерации чисел, потому что каждое положительное целое число, независимо от его величины, обладает элементом, который за этим числом следует. Мы также можем говорить о бесконечной дробности, потому что численные методы дают нам средства, чтобы это осуществить. Здесь я пользуюсь термином ‘бесконечный’ в качестве прилагательного для указания характеристик процесса; нам, однако, не следует пользоваться им в качестве существительного, потому что это ведёт к само-противоречиям. Я пользуюсь термином ‘бесконечность’ как существительным, только чтобы сократить фразу ‘бесконечный процесс генерации чисел’. Если пользоваться им не для сокращения этой фразы, термин утрачивает значение в науке (но не в психопатологии), и так им пользоваться не стоит никогда. Вышеуказанные семантические ограничения мы налагаем не по предпочтению и не на чисто этимологических основаниях, а чтобы согласованно следовать исключению ‘есть’ тождества в A-системе.

Прежде чем мы сможем применить термин ‘бесконечный’ [нефинитный] к физическим процессам, нам сначала следует максимально осветить этот термин теоретически, и только потом выяснить экспериментальным путём, получится ли у нас обнаружить физические процессы, к которым мы можем этот термин применить. К счастью, мы имеем в распоряжении семантический процесс генерации чисел, который, согласно общеизвестному опыту, определению и численным методам, проходит так, что за каждым числом идёт последующее. Схожим образом, наши семантические процессы могут, согласно общеизвестному опыту, определению и численным методам, делить финитное целое бесконечно. Таким образом, если мы не отождествляем внешние физические объективные процессы с внутренними семантическими процессами, а различаем их и применяем корректный символизм, мы чётко видим свой путь. Если мы прервём этот семантический процесс генерации чисел на каком-либо этапе, то мы имеем дело с финитным числом, неважно, насколько большим; однако процесс остаётся, согласно общеизвестному опыту, определению и численным методам, таким, что он может продолжаться неопределённо. В A смысле, под ‘бесконечным’, мы имеем в виду столько же, сколько под ‘неопределённым’. Стоит отметить, что нам не следует отождествлять семантический процесс генерации чисел с выбором некоего определённого числа, необходимо финитного, неважно, насколько большого. В основании всех текущих разногласий в сфере математики, которые делят мир на два враждебных лагеря, мы находим отождествление семантического процесса генерации чисел с определённым числом, отождествление семантического процесса бесконечной дробности финитных чисел по направлению убывания с генерацией чисел по направлению нарастания и отождествление семантических внутренних процессов со внешними физическими процессами,.

Процесс бесконечной дробности состоит в тесной связи с процессом бесконечной генерации чисел. Мы можем взять массив конечных чисел 1, 2, 3, … n. Семантический процесс перехода от n к n+1 не представляет собой число, а составляет характеристику семантического процесса. Результатом этого семантического процесса, — конкретно, n+1 — опять, становится финитное число. Если мы возьмём дробь, a/n, чем большее значение мы выбираем для n, тем меньше становится дробь, но с каждым выбором, дробь, опять же, остаётся финитной, независимо от того, насколько малой становится её величина.

Не смотря на то, что формально эти процессы состоят в тесной связи, с семантической точки зрения, они сильно отличаются. Процесс генерации чисел может проходит неопределённо или ‘бесконечно’; он не имеет максимального предела, и мы не можем присвоить такой предел, не путаясь при этом в само-противоречии терминов. С процессом неопределённой или бесконечной дробности дела обстоят иначе. В этом случае, мы начинаем с финитного числа. Имеющийся математический символизм и формализм ведут к отождествлению обоих фундаментально разных семантических процессов, из-за чего возникает серьёзная путаница, которой удалось бы избежать. A ориентирование позволит нам сохранить математический символизм и формализм, но воспрепятствует отождествлению семантического процесса перехода от одного числа к другому, при том что переход не есть число, с результатом этого процесса, который, в каждом случае, становится определённым и финитным числом.

Становится очевидно, что в A терминологии и при настоящих стандартных понятиях ‘числа’ мы отождествляем семантический процесс с его результатом, и это отождествление ведёт к катастрофе. Семантический процесс, таким образом, потенциально идёт бесконечно, но переход от n к n+1 характеризует семантический процесс, а не число; числа, при этом, представляют лишь финитные результаты неопределённо продлевающегося семантического процесса.

Таким образом, в A анализе без отождествления мы выявляем, что неопределённо продлеваться может только семантический процесс, а результаты этого процесса, или число в каждом случае, обязательно остаётся финитным. Разговор о ‘бесконечном’ или, как его называют, ‘трансфинитном’ [‘бесконечном порядковом’] ‘числе’ представляет собой отождествление совершенно разных вещей, и предполагает чётко определённые само-противоречия во м.п терминах. Существующую математическую терминологию разрабатывали без осознания A аспектов и многопорядковости терминов, из-за чего она автоматически ведёт к таким отождествлениям. До тех пор пока математики не рассмотрят и не учтут A аспекты, проблемы математической бесконечности останутся нерешёнными и безнадёжными; и тем не менее, без научной теории бесконечности, вся математика и большая часть науки не могли бы существовать. В A прояснении этих проблем мы подразумеваем новое семантическое определение чисел и математики, приведённое в Главе XVIII, в котором мы исключаем множество тайн, связанных с математикой, и не допускаем опасных и спутывающих отождествлений.

С A точки зрения, нам следует понимать бесконечностью в её первом канторовом смысле, и сообразно с ней обращаться; в частности, как с переменным финитным числом, обозначая термином переменный семантический процесс, но не число, а термином финитный — семантическую прерванность и, таким образом, одновременно характеризуя её результат; конкретно — некоторое число.

Вместе с этим, численные методы допускают неопределённую гибкость в том смысле, что независимо от того, насколько большое число мы возьмём, мы всегда можем, за счёт семантического процесса, произвести число больше, и независимо от того, с насколько малой разницей между двумя числами мы имеем дело, мы всегда можем найти третье число, больше меньшего, и меньше данного большего числа. Таким образом, мы видим, что численные методы характеризуются тем, что согласуются в гибкости точно с семантическими процессами, но ни о какой гибкости не идёт речи в отношении определённого числа, как только мы его выбрали. То, что мы уже сказали о переменных, мы также можем применить к числу; в частности то, что ‘переменная’ не претерпевает ‘перемен’ в обыкновенном смысле, а применяем мы этот термин только к семантическим процессам данного математика. Прежнее интенсиональное A определение ‘числа’, по-видимому, приводило к прежним отождествлениям. В A, экстенсиональном и не-эл семантическом определении чисел таких отождествлений мы не допускаем. A термин ‘число’ применялся к определённому числу, но также к интенсиональному определению чисел. A или семантическое определение чисел отличается в том смысле, что с его помощью мы находим экстенсиональные характеристики каждого числа, применимые ко всем числам, и таким образом не отождествляем определённое число с процессом генерации чисел, что следует предполагать под применением одного термина в отношении двух совершенно разных сущностей.

Канторовы а̀лефы, в таком случае, становятся результатом отождествления или спутывания совершенно разных вещей, и поэтому их стоит полностью исключить. Чтобы отказаться от алефов, потребуется основательно пересмотреть те математические и физические дисциплины, в которых ими пользуются; насколько я знаю на текущий момент, за очень малым количеством исключений, алефы не применяют и не нуждаются в них, но пользуются ‘названием’, соответствующий которому орфографический знак стал популярен в кругах математиков и физиков. В случае алефов, история может повториться и их, как термин ‘инфинитезимальный’, когда мы поймём их само-противоречащий характер, придётся исключить без особых последствий для великой основы математики, но с последствиями лишь для малых частей, построенных на алефах.

Что касается существования бесконечных процессов, мы можем уверенно говорить только о своём знании о семантическом процессе генерации чисел и семантическом процессе бесконечной дробности. Мы можем наблюдать эти процессы. Мы не можем априори знать, можем ли мы найти такие бесконечные процессы в мире; эти поиски следует проводить путём исследований и экспериментов.

Существующая терминология по-прежнему относится к A, основывается на отождествлении и к нему же ведёт, поэтому в своей A презентации я не могу, воспользовавшись ей, ожидать, что мне удастся прояснить некоторые вопросы по этой теме. Под такими терминами как ‘класс’, ‘агрегат’, ‘множество’., мы подразумеваем определённый статичный набор, тогда как термином ‘бесконечный’ мы можем корректно и значимо пользоваться применимо к динамическому семантическому процессу. Мы не можем говорить о ‘бесконечных’ классах, агрегатах, множествах., избегая при этом проблемы отождествления совершенно разных сущностей. Термину ‘ряд’ мы придаём техническое значение в связи с числами, поэтому для общего обсуждения процессов он видится слишком конкретным. Термин ‘массив’ представляется более общим, но при этом экстенсиональным, а ‘ряд’ выступает его особым случаем. Общим термином ‘число’ мы пользуемся как многопорядковым и интенсиональным, поэтому, в A экстенсиональной системе, он становится ∞-значным, и употреблять его стоит во множественном числе; конкретно, ‘числа’. Термином ‘число’ в единственном числе мы воспользуемся для обозначения определённого числа. Термин ‘исчислимый’ ввёл Кантор; он означает любой экстенсиональный массив членов, фактов, состояний, наблюдаемых., который мы можем привести к зависимости один-к-одному с бесконечным массивом положительных целых чисел.

Я повторю ещё раз: мы можем продолжать семантический процесс без пределов, а бесконечный ряд положительных целых чисел представляет собой экстенсиональное, техническое выражение этого семантического процесса и единственный бесконечный массив о существовании которого мы можем уверенно говорить.

Мы сможем объяснить и дать более подходящее определение математической бесконечности, если мы воспользуемся весьма полезным структурным термином ‘эквивалентность’. Два процесса, массива., между которыми мы можем установить, каким-либо законом преобразования, зависимость один-к-одному, мы называем эквивалентными. Процесс, массив., эквивалентный собственной части, мы называем бесконечным. Иными словами, процесс, массив., который мы можем привести в зависимость один-к-одному с собственной частью, мы называем бесконечным. Мы можем определить финитный процесс, массив., (класс, агрегат.,) отнеся его к не бесконечным [нефинитным]. Следующее далее мы обосновываем исключительно применением ‘и т. д.’

Мы проясним это определение, приведя несколько примеров. Если мы возьмём ряд положительных целых чисел, 1, 2, 3, 4, … и т. д., мы всегда можем удвоить каждое число этого ряда если мы сохраним процессуальный характер, но никак иначе. Давайте выпишем под этим рядом положительных целых чисел соответствующий ряд их удвоенных значений:

1, 2, 3, 4, 5, …. и т. д.

2, 4, 6, 8, 10, … и т. д.

Мы также можем их утроить, или помножить на n, и получим:

1, 2, 3, 4, 5, …. и т. д.

3, 6, 9, 12, 15, .. и т. д.

Мы видим столько чисел в каждом нижнем ряду, сколько видим в каждом верхнем ряду, если мы сохраняем ‘и т. д.’; поэтому числа чисел в обоих рядах при сравнении остаются равными. Все числа в каждом нижнем ряду также встречаются в соответствующем верхнем ряду, не смотря на то, что они представляют лишь часть верхнего ряда, опять же, если мы сохраняем ‘и т. д.’

По примерам выше мы видим ещё одну характеристику бесконечных процессов, массивов,. В первом примере мы рассматриваем зависимость один-к-одному между натуральными числами и количественно равными им на каждом этапе чётными числами. Однако второй ряд получается в результате изъятия всех нечётных чисел из первого ряда, что само по себе представляет бесконечные числа чисел.

Этим примером воспользовался Лейбниц, чтобы доказать, что бесконечные массивы не могут существовать, и он ошибся в этом заключении, потому что не осознал, что как финитные, так и бесконечные массивы зависят от определений. Нам следует проявлять осторожность, чтобы не подойти к бесконечным процессам, массивам., с предрассудками или немыми доктринами и предположениями, или, в целом, с.р, на основе которых мы обращались с финитными процессами, массивами,.

Таким образом, мы видим, что процесс генерации натуральных чисел структурно представляет собой бесконечный процесс, потому что мы можем привести его результаты в зависимость один-к-одному с результатами процесса генерации чётных чисел., который представляет собой лишь часть себя. Схожим образом, прямая AB обладает бесконечным числом точек, потому что мы можем привести её точки в зависимость один-к-одному с точками на отрезке CD от AB. В качестве другого примера мы можем привести парадокс Тристрама Шенди, который позаимствуем у [Бертрана] Рассела. Тристрам Шенди писал свою автобиографию, и на описание одного дня у него уходил один год. Следует вопрос: «Закончил бы когда-либо Шенди свою биографию?» Закончил бы, если бы не умер или жил бесконечные числа лет. Сотый день он бы описал за сотый год, тысячный день — за тысячный год, и т. д. Ни один день его жизни не остался бы не описанным, опять же, если бы процесс жизни и написания никогда не прерывался.

Мы можем продолжать приводить такие примеры без конца, и мы приведём ещё один, который позволит пролить некоторый свет на проблемы ‘вероятности’, ‘шанса’,. Теория вероятностей сформировалась из рассмотрений игр случая. Не так давно она стала крайне важной дисциплиной математического знания и попала в основу структурного применения в физике, общей семантике и в других дисциплинах науки. Например, на соображениях о вероятности, [Людвиг] Больцман основал второй закон термодинамики. Булевы ‘законы мышления’ и много-значная ‘логика’ [Яна] Лукасевича и [Альфреда] Тарского тоже состоят в близких отношениях с вероятностью. Её также постоянно применяют в квантовой механике,.

Мы можем приблизительно определить термин ‘вероятность’ следующим образом: если событие может произойти a разными способами, и у него не получается произойти b разными способами, и все эти способы могут реализоваться с равной степенью вероятности, то вероятность того, что это событие произойдёт составит, а вероятность того, что у него не получится произойти, составит.

Предположим, что в определённом городе каждый день проводится лекция, и что, несмотря на то, что слушатели каждый день меняются, они всегда присутствуют в равном количестве. Предположим также, что у одного из каждых двадцати жителей этого города имя начинается на букву М. С какой вероятностью произойдёт событие, при котором ‘случайно’ все присутствующие на лекции слушатели окажутся жителями с именем, начинающимся на букву М? Назовём это М-событием. В самом простом случае, когда каждый день на лекцию приходит всего один слушатель, вероятность М-события составит 1 из 20, или 1/20. Вероятность М-события для аудитории из 2 слушателей составит 1 из 20 × 20 = 400, или 1/400. Вероятность того, что в аудитории из трёх слушателей окажутся все, у кого имя начинается на М, снизится ещё в двадцать раз, и М-событие произойдёт, в среднем, лишь один раз из 8000 лекций. При пяти слушателях вероятность составит 1 из 20 × 20 × 20 × 20 × 20 = 3.200.000 дней, или 1/3.200.000, или один раз за, приблизительно, 9000 лет; при десяти слушателях — примерно, один раз за тридцать миллиардов лет; при двадцати слушателях — примерно, один раз за треть квадриллиона лет. При ста слушателях, период М-события составит один раз за число лет, выражение которого состоит из более чем сотни цифр. Если город в этом примере просуществовал столько же, сколько солнечная система, и если лекции при этом проводились для аудитории в сто человек на протяжении этого непостижимо долгого периода, вероятность, что М-событие вообще случится, становится крайне низкой.2

С человеческой, антропоморфной, точки зрения, мы бы назвали такое событие невозможным, но стоит помнить, что мы говорим лишь с антропоморфной точки зрения, и на наши суждения влияет временной масштаб наших жизней. Видится глупым задействовать такую антропоморфную точку зрения в космических догадках, поддерживая тем самым выживание примитивной структуры языка и её порождений — метафизики и мифологий.

Теорией бесконечности мы проливаем значительный структурный свет на такие примитивные догадки. В этом внешнем мире мы имеем дело с процессами, и подобно тому, как мы измеряем ‘длину’, сравнивая её со свободно выбранными, удобными единицами ‘длины’, например, дюймами, или подобно тому, как мы измеряем ‘объём’ сравнением со свободно выбранными, удобными единицами ‘объёма’, мы сравниваем процессы с некоторым свободно выбранным и удобным единицо-процессом. Суточное вращение нашей земли представляет собой такой процесс, и, если мы решим, мы можем воспользоваться им в качестве единицы измерения или стандартом для сравнения. Недавно стало известно, что вращение земли происходит не совсем регулярно, и поэтому, для точных измерений, прежний единицо-процесс дня, или его части, секунды, больше нам не подходит. В научных целях, мы пытаемся подыскать некий более подходящий единицо-процесс, но испытываем трудности, потому что проблема представляется естественно круговой. Когда мы говорим в рамках ‘числа лет’, или секунд, мы говорим лучшее, что мы знаем в 1933 году, об экспериментальных фактах, которые мы можем наблюдать и о вполне определённых отношениях. Мы не делаем никаких заявлений о ‘времени’ и нам не стоит удивляться, когда мы понимаем, что высказывания о ‘годах’ в общем относятся к пропозициям, а высказывания о ‘времени’ часто — нет. Об этом стоит помнить, чтобы понять то, о чём мы поговорим в следующем абзаце.

Теория бесконечности позволит убрать с дороги проблемный камень преткновения. Мы воспользуемся выражением ‘бесконечные числа лет’, помня определение ‘бесконечных чисел’ и о том, что мы сказали о еденицо-процессе, который мы называем годом. Мы помним из примера выше, что если всего сто индивидуумов посетят лекцию, и ‘случайно’ имя каждого из них начинается на М, такое событие, в среднем, происходит всего один раз в непостижимо большое число лет, которое мы выражаем числом из ста цифр. Если бы мы спросили, сколько раз произошло бы какое-то событие, нам бы пришлось высказать период в годах, к которому мы спрашиваем сколько. Мы ясно видим, что за бесконечные числа лет, это человечески крайне редкое событие произошло бы в точности бесконечное число раз, или, иными словами, ‘так же часто’, и это последнее высказывание относится к таковым с не-антропоморфной точки зрения. Событие, которое с нашей человеческой, ограниченной, антропоморфной точки зрения выглядит ‘редким’, или ‘случайностью’, преобразованное от уровней финитных, процесса, массива., в уровень бесконечных процессов, массивов., становится настолько же ‘регулярным’, настолько же ‘законом’, в котором действует ‘порядок’, насколько что-либо другое. Мы, по своим старым примитивным с.р, предполагаем, что человек выступает единственной мерой вещей.

Здесь читатель может сказать, что бесконечные числа лет представляется довольно значительным предположением, чтобы принимать его так легко. Я считаю это возражение серьёзным, но метод, которым мы можем от него избавиться, мы приведём позднее. На этом этапе нам хватит сказать, что, с одной стороны, эта проблема состоит в связи с семантическим нарушением, которое мы называем отождествлением (овеществлением ‘времени’), от которого страдает большинство из нас, за исключением нескольких молодых последователей Эйнштейна, и что, с другой стороны, в этой проблеме фигурирует структурно переформулированный закон ‘сохранения энергии’, ‘энтропии’,.

Прежде чем мы пойдём дальше от проблемы бесконечности, стоит сказать пару слов о понятии ‘непрерывности’, которое в математике мы считаем фундаментальным. Математическая непрерывность служит структурной характеристикой, связанной с упорядоченными рядами. Трудности возникли в связи с тем, что ‘непрерывные’ ряды обязательно содержат бесконечные числа членов между любыми двумя членами. Сообразно, эти трудности возникают в связи с бесконечностью. То что математикам требуется некоторая непрерывность, становится очевидным на примере двух пересекающихся линий. Если у линий имеются пробелы, существует возможность, что два пробела совпадут, а две линии не пересекутся, хотя на плоскости первая линия перейдёт к другой стороне второй. На данный момент, в математике мы имеем дело с двумя видами ‘непрерывности’. Один, предположительно, включает ‘высокие’ непрерывности, а другой ‘низкие’ непрерывности, которые называют ‘компактностью’ или ‘плотностью’, с потенциалом возникновения пробелов. Я специально пользуюсь не совсем ясным языком, потому что эти базовые понятия сейчас пересматривают, с вероятностью, что нам придётся принять ‘плотный’ или ‘компактный’ ряд и оставить прежнюю, возможно, бредовую, ‘высокую’ непрерывность. Стоит заметить, что дифференциальное исчисление и интегральное исчисление, предположительно, основываются на ‘высокой’ непрерывности, но исчисление не подвергнется изменениям, если мы примем ‘низкую’ компактность, и всё это сводится к вопросу об A или A ориентировании.

Человек испытывает смутные ощущения ‘бесконечности’ в своих с.р со времен, когда о них начали говорить. Структурно, мы считаем это естественным, потому что термином «бесконечность» мы, в основном, выражаем важнейший семантический процесс. Мы можем переформулировать большинство наших высказываний на языке, в котором открыто задействуется термин ‘бесконечность’. Мы уже приводили пример, когда говорили об универсальных пропозициях, которые, предположительно, характеризовались перманентной обоснованностью, а в другом языке, обоснованностью на протяжении ‘бесконечных чисел лет’. Мы видим, как это делается — неясное якобы качественное выражение, такое как ‘перманентный’ или ‘универсальный’ переводится в количественный язык, в термины ‘чисел лет’. Такой перевод качественного языка в количественный язык оказывается весьма полезным, потому что он позволяет придать большей точности и определённости неясным, примитивным структурным предположениям, от которых возникают огромные семантические трудности. Это обращает наше внимание и позволяет яснее увидеть структурные предположительно высказанные факты, а также помогают анализу и пересмотру. Во многих случаях в таких переводах выявляется неправомерность предположений о ‘бесконечных скоростях’, тем самым позволяя избавиться от недопониманий и оказывая полезное влияние на с.р.