Нормированное пространство. Банахово пространство. Реферат. Математика.
🛑 👉🏻👉🏻👉🏻 ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻
Вы можете узнать стоимость помощи в написании студенческой работы.
Помощь в написании работы, которую точно примут!
Похожие работы на - Нормированное пространство. Банахово пространство
Скачать Скачать документ
Информация о работе Информация о работе
Скачать Скачать документ
Информация о работе Информация о работе
Скачать Скачать документ
Информация о работе Информация о работе
Скачать Скачать документ
Информация о работе Информация о работе
Скачать Скачать документ
Информация о работе Информация о работе
Скачать Скачать документ
Информация о работе Информация о работе
Нужна качественная работа без плагиата?
Не нашел материал для своей работы?
Поможем написать качественную работу Без плагиата!
Кустанайский государственный педагогический
институт
Естественно-математический
факультет
Нормированное пространство.
Банахово пространство
В данной работе
изучаются такие важные элементы функционального анализа как
линейно-нормированные пространства.
Изучение пространств
актуально в современном процессе изучения теорий функций и поэтому необходимо
рассмотреть все основные аспекты теории нормированных пространств.
Цель: изучить структуру
построения нормированного пространства, рассмотреть банахово пространство.
Для того чтобы
определить роль нормированных пространств, необходимо рассмотреть понятие
линейного пространства и что оно собой представляет. На основе линейного
пространства можно перейти к изучению нормы, а затем ввести понятие
«нормированного пространства», определить, что является его подпространством.
Одной из поставленных
задач является: развить понятие Банахова пространства. Для ее решения
используется внутренняя логика развития теории нормированных пространств.
Определение: Непустое
множество элементов называется линейным, если оно удовлетворяет таким условиям:
I. Для любых двух
элементов определен единственный элемент, называемый суммой и обозначаемый,
причем
3) в существует такой
элемент 0, что для всех;
4) для каждого существует
такой элемент, что.
II. Для любого числа и
любого элемента определен элемент, причем
1. Пространство
действительных чисел является линейным пространством по операциям сложения и
умножения.
2. – пространство,
элементами которого являются последовательности чисел, удовлетворяющих условию с
операциями,
3. Последовательности,
сходящиеся к 0, с теми же операциями сложения и умножения, также образуют
линейное пространство. Обозначаем его С0.
Нормированные
пространства объединяют структуры линейных пространств.
Будем рассматривать
некоторое линейное пространство.
Полунормой называют
функционал p, определённый на и удовлетворяющий следующим аксиомам:
3. для любого числа (абсолютная
однородность).
Нормой называют
функционал p, удовлетворяющий следующим аксиомам:
4. для любого числа (абсолютная
однородность).
Таким образом, норма -
это полунорма, на которую наложено дополнительное условие: норма равна нулю только
на нулевом элементе.
Определение:
Нормированным пространством называют линейное пространство с заданной на нём
нормой.
Норму элемента
линейного пространства обозначают.
Любое нормированное
пространство можно рассматривать как метрическое, если ввести в нём метрику
следующим образом
Такую метрику называют
метрикой, индуцированной нормой. Это означает, что на нормированные
пространства можно перенести все понятия и факты, относящиеся к метрическим
пространствам.
В частности,
сходимостью по норме называется сходимость в метрике, индуцированной данной
нормой.
Непрерывность линейных
операций и нормы.
В нормированном
пространстве сумма, произведение на число и норма непрерывны: если
последовательности {xn} и {yn} сходятся по норме соответственно к x и y: и, а
числовая последовательность {an} сходится к пределу a, то
Так как и, то правая
часть неравенства сходится к нулю, а значит, к нулю сходится и его левая часть.
Непрерывность суммы доказана.
Докажем теперь
непрерывность умножения вектора на число. Для этого нам нужно доказать, что
числовая последовательность сходится к нулю. Представим разность anxn −
ax следующим образом:
Согласно аксиоме
треугольника для нормы:
Рассмотрим каждое из
слагаемых по отдельности:
Таким образом, мы
установили, что непрерывность операции умножения на число доказана.
Наконец, докажем
непрерывность нормы. Каждый элемент xn можно представить в виде
xn = (xn − x) +
x, по аксиоме треугольника:
Аналогично можно
доказать, что объединяя два этих неравенства, получим:
1. Вещественная прямая
R1 является нормированным пространством, если в качестве нормы взять модуль
вещественного числа.
2. В действительном
конечномерном пространстве Rn норму можно ввести нескольким способами. Наиболее
широко известна Евклидова норма:
В комплексном n-мерном
пространстве норму можно ввести следующим образом:
3. В пространстве
непрерывных на отрезка [a,b] функций C[a,b] норму можно задать формулой
4. Пусть М –
пространство ограниченных числовых последовательностей
Подпространства
нормированного пространства
Рассматривая линейные
пространства (без нормы), мы называли подпространством непустое множество L0
обладающее тем свойством, что если этому множеству принадлежат два элемента x и
y пространства L, то любая линейная комбинация этих элементов также принадлежат
этому множеству:
Подпространством
нормированного пространства мы будем называть только замкнутое подпространства.
Определение: Линейным
замыканием системы элементов {xn} или подпространством нормированного
пространства, порождённым системой элементов {xn}, называется наименьшее замкнутое
подпространство, содержащее все элементы данной системы.
Произвольную (то есть
не обязательно замкнутую) совокупность элементов, содержащую вместе с x и y
произвольную их линейную комбинацию ax + by будем называть линейным
многообразием.
Система элементов
нормированного пространства R называется полной, если её линейное замыкание
есть само R.
Фактор-пространства
нормированного пространства.
Пусть R — линейное
нормированное пространство, а R' — некоторое его подпространство. Рассмотрим
фактор пространство
Как известно,
фактор-пространство является линейным пространством.
В этом пространстве
можно ввести норму, положив для данного класса
Докажем, что все
аксиомы нормы действительно выполняются.
Так как, то и Нулевым
элементом з0 фактор-пространства R / R' является подпространство R'. Так как
всякое подпространство должно содержать нулевой элемент, то
Обратно, если, то из
непрерывности нормы следует, что в классе з можно указать последовательность
элементов, сходящихся к нулевому элементу, но так как в подпространство
линейного пространство замкнуто по определению, то замкнуты все классы
смежности, а значит
Для всякого элемента и
числа имеет место равенство
Возьмём слева и справа
нижнюю грань по з:
С другой стороны, в
силу того, что фактор-пространство является линейным пространством, имеет место
равенство
Рассмотрим два класса
смежности выберем в каждом классе по представителю
Тогда возьмём нижнюю
грань от левой и правой части этого неравенства:
Таким образом, все
аксиомы нормы действительно выполнены.
Определение:
Расстоянием (метрикой) между двумя элементами и называется вещественное
неотрицательное число, обозначаемое и подчиненное трем аксиомам:
Определение:
Последовательность точек метрического пространства называется фундаментальной,
если при
1. Если
последовательность сходится к некоторому пределу, то она фундаментальна
2. Всякая
фундаментальная последовательность ограничена
Определим расстояние в
нормированном пространстве, полагая для любых. Тогда означает, что . Это
сходимость по норме.
Фундаментальная
последовательность в нормированном пространстве в соответствии с определением
расстояния характеризуется условием, при
Определение:
Нормированное пространство называется полным, если всякая фундаментальная
последовательность его элементов имеет предел.
Определение: Полное
нормированное пространство называется банаховым пространством.
1. Колмогоров, А.Н. Элементы теорий
функций и функционального анализа / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. ¬¬– М.:
Физматлит, 1967.
2. Князев, П.Н. Функциональный анализ /
П.Н. Князев– Изд. 2, перераб. М., 1979.
3. Люстерник, Л.А. Элементы
функционального анализа/ Л.А. Люстерник В.И. Соболев– М., 1980.
Похожие работы на - Нормированное пространство. Банахово пространство Реферат. Математика.
Реферат по теме Функции денег как общего эквивалента
Волевые Качества Личности Реферат
Деструктивные Заболевания Легких Реферат
Контрольная работа по теме Этиленгликоль
Контрольная работа: Софисты и Сократ Мир идей Платона Этика Аристотеля. Скачать бесплатно и без регистрации
Реферат: Основи реформування гуманітарної сфери
Контрольная работа по теме Основная проблематика экономической мысли Древнего Востока
Бизнестің Түрлері Эссе
Слова Клише Для Сочинения Рассуждения
Эссе На Тему Каково Быть Учителем
Курсовые работы: Физика и энергетика
Почему Надо Служить В Армии Сочинение
Реферат: The Hammer Of Eden Essay Research Paper
Контрольные Работы По Химии Огэ 2022
Курсовая работа по теме Учёт финансовых результатов в торговле
Реферат: Маркетинговый анализ на примере компании Ozon.ru
Реферат: Brief Look At The Renaissance Essay Research
Контрольная работа по теме История государства и права России IX века
Доклад: Демут-Малиновский Василий Иванович
Курсовая работа по теме Торговля оружием в международном праве
Курсовая работа: Розробка схеми електричної принципової годинника-будильника-термометра з ІЧ ПК
Реферат: Палітычныя мадэлі журналістыкі
Реферат: Міжнародне право інформаційної безпеки