Немного пи

Раз уж многие отмечают "день числа π", несколько слов о том, откуда оно берётся. Нет, не исторически, вся эта ерунда про окружности, а с т.з. более продвинутой и толковой математики.

Начать придётся издалека.

1. Есть разные числовые системы - числа натуральные, целые, рациональные и т.д. Самой "лучшей" по множеству причин оказывается система чисел комплексных - поле C. Хороша она тем, например, что там работают привычные законы сложения-умножения (все эти от перестановки" и "раскрытия скобок"), плюс там имеет решение любое алгебраическое уравнение.

Алгебраическое уравнение - это умножили неизвестное число на себя столько-то раз, умножили это на известное число. Получили блок. Потом умножили это же неизвестное на себя другое число раз, умножили итог на ещё какое-то известное число, получили ещё блок. Потом все такие блоки сложили, получилось то, что называется многочлен. Приравняли многочлен к нулю. Получили алгебраическое уравнение. Приснопамятные квадратные уравнения из школы - это частный случай, там они бывало "не имели решения", но это потому что нас заставляли ходить строем по действительной прямой, а не вольно бегать в поле комплексных чисел.

Корень, то есть число, которое обратит алгебраическое уравнение в верное равенство при подстановке вместо неизвестной, в поле комплексных числел найдётся всегда.

Это, кстати, значит, что все алгебраические операции там выполнимы - любые комплексные числа можно умножать, делить (ну кроме как на ноль), возводить в степени, извлекать корни и т.д., и получать опять же комплексный результат. Никакого "а мы так не умеем" не возникнет. Красота.

Кроме того, у комплексных чисел есть и ещё много свойств, очень удобных, о которых я тут не буду распространяться. Ну впрочем... как действительные числа геометрически удобно изображать точками числовой прямой, так комплексные удобно изображать на комплексной плоскости. Важно то, что "расширять" эо поле так, чтобы всё привычное работало, уже некуда. Можно сделать "гиперкомплексные числа", например, но там от перестановки множителей будет меняться произведение. Или ещё что-нибудь такое. То есть самая полная, универсальная и удобная система чисел с привычными свойствами - это C. В общем-то, их стоило бы изучать в школе как можно раньше, вместе (или даже вместо) действительных. Ну ладно.

2. Поскольку у нас две основные алгебраические операции - это сложение и умножение, то интересно, есть ли между ними "естественные" отображения. То есть, есть ли операции, превращающие сложение в умножение, и наоборот. Так, чтобы f(z+w)=f(z)*f(w) или g(z*w)=g(z)+g(w). И да, такие операции-функции есть. Первая называется "экспонента", вторая "логарифм". В этом их главный смысл и полезность и состоят. Зная одни их определения, можно много чего про них выяснить (например, что f(0)=1 и g(1)=0 ).

Функций-экспонент, подходящих под такое условие, бесконечно много разных, и кажой соответствует функция-логарифм, обратная к ней. С логарифмом, правда, дело обстоит сложно, поскольку определить такую функцию однозначным образом в комплексном мире нельзя - не в том смысле, что их много, а в том, что одному аргументу она будет ставить много разных значений в соответствие, и дальше будет ясно, почему. Придётся выбирать "главное значение". Но вот для положительных действительных ("обычных" положительных) чисел оно получается, и на этом была основана полезность логарифмической линейки - вместо умножения чисел можно было складывать их логарифмы, просто придвигая одну часть линейки к другой. Логарифм, врочем, нас сильно и не будет дальше касаться, нам нужна экспонента.

Экспонент разных много, но все они вполне однозначные, и среди них есть самая простая и важная. Какая?

3. Тут алгебра уступает место пресловутому "матану", то есть анализу. Анализ - это про всякие "предельные переходы", "окрестности", "близости" и т.д. В анализе есть понятие "производная" или "дифференциал". Проще всего суть этого улавливается так. Любая функция меняется ("зависит") от своего аргумента, и разумеется, если мы к аргументу что-то добавим, то функция тоже изменится. Вместо f(z) мы получим f(z+d). Аргумент изменился на d, а значение функции на Δ=f(z+d)-f(z). И d и Δ это отрезочки между точками на плоскости комплексных чисел, вообще говоря - то, насколько и куда сдвинулся аргумент, и куда переехало значение функции.

Теперь нас интересует характер этого изменения. Самое простое изменение - это прямая пропорциональность, оно же линейная функция. Если исходная функция очень простая, то Δ будет прямо пропроционально d, то есть Δ=k*d. А если нет? Оказывается, для огромного числа "хороших" функций оно будет хоть и не в точности, но почти прямо пропроционально. То есть Α = k*d+a (причём для разных z числа k и d будут разные), и вот эта добавка a будет очень быстро уменьшаться при уменьшении d. Иными словами, чем меньше мы шевелим аргумент, тем больше поведение исходной функции похоже на поведение "линейной". Кто помнит графики обычных функций (не комплексных), может понять это так: маленький кусочек хорошего графика очень похож на прямую, и тем больше на неё похож, чем меньше кусочек мы берём. Ну, кривую линию можно приблизить отрезками прямых, и тем лучше, чем меньше эти отрезки. В комплексных числах примерно то же самое, только график там не изобразить, ибо нужно четырёхмерное пространство (двумерная плоскость для аргумента и двумерная же плоскость для значения).

4. Смысл этого самого k прост - это просто "скорость возрастания" функции в данной точке. В обычных функциях - чем круче наклонена приближающая график прямая (та самая "касательная"), тем круче и сам график, значит функция растёт быстрее. k - это как раз крутизна наклона. В комплексных примерно так же, только k будет уже комплексным числом, и геометрический смысл уже хитрее, но об этом позже.

Собственно, число k, которое, напомню, зависит от того в какой точке его считать ("наклон в разных точках разный") - это и есть пресловутая "производная". Поскольку она сама зависит от z, то это тоже функция, и её в школьные годы чудесные обычно обзывали f'(z).

Но мы посмотрим на это так: обычная функция из одних чисел делает другие (например, квадратичная z^2 превратит 3 или -3 в 9, а 2*i в -4), а тут у нас нарисовалась операция "взятия производной", которая из одной функции делает другую - например, z^2 она превратит в 2z.

Стало быть, производная это такая "мета-функция", её аргумент - это функция (вся целиком, а не какое-то её значение), и её результат - тоже функция. такие штуки принято называть "оператор". Мы оператор производной обозначим буквой D. D(f) это то что обычно обозначают f'. Например D(z^2)=2z

И тут может возникнуть вопрос: а есть ли такие функции, которые этот оператор не меняет? Так чтобы D(f)=f. Вот это последнее равенство - это так называемое "дифференциальное уравнение". И да, такие функции есть. Простейшая из них - это та самая экспонента, а все остальные будут просто экспонентой, умноженной на какое-то число.

"Физический смысл" уравнения этого, например, такой: скорость роста функции в любой точке равна самой функции (в комплексных числах опять интереснее, там тем же способом покрываются куда более интересные процессы, а не только "рост" и "уменьшение".) Представьте себе, например, что скорость роста популяции в любой момент пропорциональна численности популяции, и поймёте, откуда экспонента появляется в историях про мальтузианский коллапс или про распространение эпидемии, цепной реакции и много где ещё. Обратите внимание - теперь я предложил сделать скорость роста не равной, а пропроциональной значению. Решением тоже будет экспонента, только "масштабированная", и такие функции тоже называют "экспонентами" в широком смысле слова, и все они будут обладать свойством "превращать сложение в умножение". Но базовая, простейшая экспонента - та, у которой производная в точности равна самому значению, без всяких там коэффициентов. её мы обозначим e(z) а соответствующую ей логарифмическую функцию - Ln(z), помня про её многозначность.

5. И вот наконец волшебные числа. Во-первых, число e=2.718281....

Это просто значение e(z) в единице. e=e(1), ну и соответственно ln(e)=1. То есть это буквально "во сколько раз увеличится базовая экспонента при увеличении аргумента на 1 - см. свойство про сложение и умножение).

Во-вторых, с помощью "комплексного матана" можно установить, что функция e(z) в комплексных числах - периодическая. Это значит, что есть некое число Τ, прибавив которое к ЛЮБОМУ аргументу экспоненты, мы не изменим результат. То есть e(z+T)=e(z) для любых z.

Немного подумав, мы быстро сообразим, что такое число не одно - ну просто потому что если мы вместо Τ возьмем 2T, или вообще любое целое число этих T, то понятно что результат не изменится. Поэтому среди всех таких чисел нас интересует самое меньшее - оно называется "периодом функции".

Период комплексной экспоненты e(z) это число очень важное, оно мнимое и равно τ*i, где i - это мнимая единица, та, которая в квадрате даёт -1, а вот τ=6,283185... Вспомнив про свойство экспоненты (любой, и нашей базовой в том числе) e(z+w)=e(z)*e(w) и подставив вместо w число τ*i, мы увидим что e(z+τ*i)=e(z)*e(τ*i), ну а поскольку τ*i это период, то e(z+τ*i)=e(z), и отсюда e(τ*i)=1.

Теперь понятна и многозначность обратной функции - Ln(z). Раз экспонента периодичная, то её значению соответствует бесконечно много исходных аргументов z, это и есть "многие" значения комплексного логарифма.

6. Дискретная версия экспоненты известна нам под названием "геометрической прогрессии", и это просто значения экспоненты в точках x=1, x=2 и т.д. Давайте посмотрим. e(1)=e; e(2)=e(1+1)=e(1)*e(1)=e*e=e^2, и вообще e(n)=e^n. Для всех других экспонент та же история, только f(n)=f^n, где f=f(1) - то, что называется "основанием прогрессии". Поэтому по традиции обычно экспоненту вообще для любого аргумента записывают в виде степени, не e(x), а e^x. Как видно, выше мы получили простую штуку: e^(τ*i)=1.

Ну хорошо, а как вычислить экспоненту от какого-нибудь "хитрого" числа? Для этого служит представление её в виде "бесконечного ряда", которое выводится из её свойств и ещё некоторых предположений: e(z)=1+z+(z^2)/2! + (z^3)/3! +... +(z^n)/n!+.... Слагаемых тут бесконечное "количество", а n!=1*2*3*..*n - штука, называемая "факториал" и растущая очень-очень быстро, поэтому для любого, какого угодно z слагаемые довольно быстро станут маленькими, и вычисление можно останавливать. И да, подставив вместо z в этот ряд τ*i и применив правила комплексной алгебры и матана, мы получим единицу. А если вместо τ*i подставить φ*i, где φ - какое-нибудь произвольное число, то вспомнив что i*i=-1 можно разрезать ряд на два:

e(φ*i) = (1-(φ^2)/2!+(φ^4)/4!-..) +i*((φ^3)/3!-(φ^5)/5!+...).

Первая скобка называется cos(φ), вторая - sin(φ), и в этих обозначениях e(φ*i)=cos(φ)+i*sin(φ).

Да, это те самые синус и косинус. И да, оказывается, это просто куски экспоненты. И они периодические именно потому, что периодична комплексная экспонента. С тем же периодом, равным τ.

И вот, наконец, обещанное число π. Это просто половина числа τ, π=τ/2=3.141592...

Ну, а как же окружность, диаметр, вот это всё? Ну, примерно вот как.

Окружность - это множество точек плоскости, равноудалённых от одной конкретной, называемой "центром". А комплексные числа представляются точками плоскости. Модуль комплексного числа - это просто расстояние от соответствующей точки до нуля, так же как и у действительных чисел. Можно убедиться (хоть с помощью тех же рядов, хоть ещё как), что при умножении комплексного числа z на число e(φ*i) его модуль не изменится. Оно переместится, но останется на том же расстоянии от нуля. Значит, оно просто переползёт в другую точку окружности. Если в качестве φ взять число τ, то мы вернёмся в исходную точку, сделав полный круг. Если половину τ, то есть то самое π, то мы пройдём только пол-окружности, и окажемся в диаметрально противоположной точке, а значит наше z превратится в -z. И так далее. Получается, что число φ задаёт угол, на который повернётся точка z при умножении на e(φ*i), то есть величину, на которую изменится так называемый Arg комплексного числа (угол, под которым изображающая его стрелка наклонена к действительной оси). При этом τ соответствует полному обороту, то есть 360 градусов, π - половине оборота, то есть 180 градусов, и так далее.

И тут мы узнаем ещё кое-что о комплексной производной - поскольку при умножении z на комплексное число z изменится не только по модулю, но и повернётся, то комплексная производная показывает не только насколько пропорционально изменится функция при маленьком шевелении аргумента, но и как повернётся соответствующий отрезок между точками (то есть как будет повёрнут Δ по сравнению с d)

Ну а если мы хотим сосчитать длину окружости единичного радиуса, мы можем, да, разбить её на маленькие отрезки и найти предел суммы (интеграл), и он будет как раз и равен τ.

То есть появление τ в формуле длины окружости - это один из "побочных эффектов". А вот то что оно же (ну или более привычное π) появляется в статистике (нормальное распределение, например), во всяких других интересных и неожиданных местах - это следствие того, что оно - период комплексной экспоненты.

Точно так же возникают и "школьные" синусы и косинусы, представляемые как координаты на единичной окружности, и вся эта чудовищная лабуда с "формулами приведения", "произведениями синуса на косинус" и прочими - вместо которых достаточно знать, по сути, одно лишь свойство экспоненты. Да, и с логарифмами примерно та же история.

Ну а кому интересно, чем лучше использование τ вместо традиционного π - читайте соответствующий манифест. Вкратце - это намного удобнее, педагогичнее, мнемоничнее, да и просто красиво.

PS. Выше у нас мелькнула почти как тавтология формула e^(τ*i)=1. Смысл её, как мы видели, довольно прост - мы повернулись на полный оборот и вернулись в исходную точку. Там, конечно, скрыта вся прелесть матана (поскольку период комплексной экспоненты оттуда и можно найти), но суть именно такая.

Это и есть пресловутая "самая прекрасная формула математики", которую любят записывать вот так:

e^(π*i)+1=0

Зачем так? Ну, любите вы "пи", а не "тау", так напишите e^(π*i)=-1, так ведь? "Повернув на полоборота мы пришли в противоположную точку", верно?

Ответ прост. Обычно эта самая формула сопровождается многозначительной фразой: дескать, она "связывает пять самых главных чисел математики: e, π, i, 1, 0. Но тем, кто осилил вышеприведённую телегу, уже станет ясно, что подобные многозначительные фразы - это никакая не математика, а типичная нумерология. Наделение математических символов поэтическим смыслом. В математике всё прозаичнее, и формула эта, как видите, оказывается вполне тривиальной. Никакой мистики.

Ну и уж совсем не имеют отношения к этому всему "золотые сечения", спирали Фибоначчи и прочее. Извините, если разочаровал - впрочем, в математике есть намного более интересные, красивые и захватывающие дух вещи, без всякой нумерологии.