Научная работа: Разбиение натурального ряда

👉🏻👉🏻👉🏻 ВСЯ ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻

Отдел образования администрации Центрального района
Муниципальное общеобразовательное учреждение
Средняя общеобразовательная школа № 4
доцент кафедры математического анализа
§2. Две последовательности. Их свойства
§5. Некоторые приложения (Палиндромы)
Целью данной работы является изучение вопроса о разбиениях натурального ряда на две непересекающиеся возрастающие последовательности.
Первый параграф посвящен понятиям и определениям, которые пригодятся нам в работе.
Во втором параграфе идет речь о построении двух последовательностей и о гипотезе Акулича.
В третьем параграфе приведены упражнения.
Четвертый параграф посвящен геометрической интерпретации построения последовательностей.
В пятом параграфе приведены некоторые приложения.
Определение 1. Целой частью числа x называется наибольшее целое число r, не превышающее x.
Целая часть числа x обозначается символом [x] или (реже) E(x) (от фр. entier "антье" — целый).
где r — целое число, то [x]=r, т.е. x находится на промежутке [ [x]; [x]+1). По свойствам числовых неравенств, разность x-[x] будет на промежутке [0; 1).
Определение 2. Число q = x - [x] называют дробной частью числа x и обозначают {x}. Следовательно, дробная часть числа всегда неотрицательна и не превышает 1, тогда как целая часть числа может принимать как положительные значения, так и неположительные. Таким образом {x} = x - [x], а, следовательно, x = [x] + {x}.
Рациональные и иррациональные числа и их свойства
Определение 3.Рациональным числом называется число, которое можно представить в виде дроби
где m – целое число, а n – натуральное.
Определение 4. Если число не представимо в виде , то такое число называется иррациональным.
Теорема 1. Любое рациональное число представимо в виде конечной или бесконечной периодической дроби.
Любое иррациональное число представимо в виде бесконечной десятичной непериодической дроби.
1,0123456789101112…-иррациональное число
Свойства арифметических действий над рациональными и иррациональными числами
1. Если - рациональные числа, то , , , , - рациональные числа.
2. Если r-рациональное число, -иррациональное число, то
3. Если ,то про ничего определенного нельзя сказать.
§2 Две последовательности. Их свойства
В этом параграфе речь пойдет о задачах, посвященных разбиению натурального ряда на последовательности и о теореме, доказывающей их.
Рассмотрим один из способов разбиения натурального ряда на две возрастающие непересекающиеся последовательности
которые при любом натуральном n удовлетворяют условию .
Двигаясь по натуральному ряду, можем последовательно вычислять члены обеих последовательностей.
Поскольку все , то наименьшее натуральное число, т.е. 1- должно равняться .
и так далее. Каждый раз, выбирая наименьшее неиспользованное натуральное число и считая его равным , затем, находя по формуле
В 1877 году в «Теории звука» лорд Рэлей писал: «если x есть некоторое положительное иррациональное число, меньшее единицы, то можно взять два ряда величин n/x и n/(x-1) где n = 1,2,3…; каждое число, принадлежащее к тому или иному ряду, и только оно одно, будет заключено между двумя последовательными натуральными числами”. Т.е.
заполняют без пропусков и перекрытий весь натуральный ряд, если
И.Ф. Акулич предложил гипотезу: отношение количества a-чисел к количеству b-чисел стремится к «золотому сечению»
(где a-числа – числа, принадлежащие последовательности , b-числа- числа, принадлежащие последовательности ).
Выведем из явных формул гипотезу Акулича.
Рассмотрим натуральное число N и выясним сколько a-чисел и b-чисел среди первых N натуральных чисел, если последовательности заданы формулами:
Неравенства равносильно, по определению целой части, неравенству 1, в последовательности никакое число не повторяется. Аналогично вследствие неравенства >1 строго возрастает и последовательность
Докажем теперь, что каждое натуральное число встречается ровно один раз.
Предположим, что некоторое натуральное число k вошло в обе последовательности т е k = , где m,n – натуральные числа. Тогда должны быть выполнены неравенства
сложим эти неравенства, не забывая про условие
Но такого для натуральных чисел не может быть. Значит, число k не могло войти в обе последовательности.
Теперь предположим, что k не вошло ни в одну из последовательностей. Тогда для некоторых натуральных чисел m и n должны выполняться неравенства
откуда m+nk-1
Такого для натуральных чисел тоже не может быть. Получаем противоречие, следовательно, теорема доказана.
В следующем параграфе рассмотрены упражнения о разбиениях натурального ряда, при решении которых используются результаты данного параграфа.
Пусть последовательность задана формулой
1 … 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48
Используя эту формулу, можно найти любое a .
постройте последовательности, которые заполняют весь натуральный ряд без пропусков и перекрытий
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
Найти явные формулы для возрастающих последовательностей и , заполняющих натуральный ряд без пропусков и перекрытий и удовлетворяющих соотношению при всех n= 1,2,3…
Итак, явные формулы для последовательностей доказаны.
Удивительно простое и наглядное доказательство теоремы из § 1 получаем, если рассмотрим геометрическую интерпретацию.
Пусть, как и ранее, α и β – положительные иррациональные числа.
Нарисуем на листе бумаги, как на координатной плоскости прямую l, заданную уравнением у=(α-1)x, которое можно записать так же в виде x=(β-1)y.
Занумеруем подряд все клетки, которые пересекают l, начиная с нулевой клетки, которой принадлежит начало координат (для … взято
Если мы обозначим числа, стоящие над линией за a- числа, а под линией за b – числа то получатся две последовательности, о которых мы говорили в §1.
Поскольку число α иррационально, прямая l не проходит через узлы сетки. Значит, l входит в очередную клетку либо слева, пересекая вертикальную линию сетки, либо снизу, пересекая горизонтальную линию.
Если l вошла в клетку слева и пересекла при этом вертикаль х=n, то номер клетки, в которую при этом вошла прямая равен n+[( α-1)n]=[ αn].
Если же прямая l пересекла снизу горизонталь y=m, то номер соответствующей клетки равен [(β-1)m]+m=[βm].
§5. Некоторые приложения. Палиндромы
Обозначим натуральные числа принадлежащие последовательности a буквой А, а принадлежащие последовательности - буквой В.построим последовательность.
АВААВАВААВААВАВААВАВААВААВАВААВААВАВААВАВААВАВАВА…
Рассмотрев последовательность повнимательнее, заметим, что ее можно разделить на палиндромы.
Определение: Палиндромы (перевертыш) – это слово, которое выглядит одинаково при чтении слова как слева направо, так и справа налево.
Рассмотрим задачу, связанную с палиндромами (аналогичную задачу решал в своей статье Акулич)
Из букв А и В составлено 2010-буквенное слово. Докажите, что его можно разбить менее чем на 900 более коротких слов, каждое из которых является палиндромом.
Возьмем произвольное 2010-буквенное слово и разобьем его сначала на 5-буквенные – их будет всего 402. Каждое из этих 5-буквенных слов, в свою очередь, может быть составлено не более чем из двух палиндромов. Поэтому произвольное 2010-буквенное слово можно составить не более чем из 804 палиндромов, т.е. меньше чем из 900, что и требовалось доказать.
Чтобы решать такие задачи в общем виде, введем функцию f(n).Через нее обозначим такое наименьшее натуральное число, что всякое слово длиной n, составленное из букв А и В может быть разбито не более чем на f(n) палиндромов.
Придумайте слово из букв А и В которое нельзя разбить менее чем на 3 палиндрома, но которое после приписывания к нему справа или слева любой из букв А и В можно разбить на два палиндрома.
Оказалось, что задачи можно решить в общем виде. Введем функцию f(n).
Через f(n) обозначим такое наименьшее число, что всякое слово длиной n, состоящее из букв А и В, может быть разбито не более чем на f(n) палиндромов.
Найдем f(6). Всего шестибуквенных слов но поскольку буквы А и В равноправны достаточно рассмотреть только слова начинающиеся на букву А
Восклицательными знаками отмечены слова, которые нельзя разбить менее чем на три палиндрома. Ясно, что всякое шестибуквенное слово можно разбить не более чем на три палиндрома. Ниже приведем 10 значений функции f
n/f(n) – это средняя длина палиндромов, на которые разбито самое трудно разбиваемое n- буквенное слово.
Для каждого n- 1,2,3,…10 укажите слово длиной n из букв А и В, которое нельзя разбить менее чем на f(n) палиндромов.
В статье А. Баабабоваприведена теорема:
При любом натуральном n имеем f(3n)=n+1, f(3n+1)=n+1, f(6n+2)=2n+2.при любом натуральном n>1 имеем f(6n+5)=2n+2, исключительное значение f(11)=5.
Каждое слово из n букв А и В может быть разбито не более чем на [(n+4)/3] палиндромов.
Итак, в каждом из случаев получаем один и тот же предел 3.
В процессе работы над темой нами были изучены вопросы о разбиениях натурального ряда на две непересекающиеся возрастающие последовательности, также были решены самостоятельно 6 упражнений, доказано следствие к теореме из § 3.
1. Акулич И.Ф. Ум хорошо, а пять лучше // Квант. – 1998. - №6
2.Баобабов А. «Пентиум» хорошо, а ум лучше // Квант.-1999. - №4,№5
3. Зайцев В.В., Рыжков В.В., Сканави М.И. Элементарная математика М.Наука, 1976
4. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра 8 класс. М. Просвещение, 1996

Название: Разбиение натурального ряда
Раздел: Рефераты по математике
Тип: научная работа
Добавлен 03:48:26 09 февраля 2011 Похожие работы
Просмотров: 137
Комментариев: 15
Оценило: 2 человек
Средний балл: 5
Оценка: неизвестно   Скачать

Срочная помощь учащимся в написании различных работ. Бесплатные корректировки! Круглосуточная поддержка! Узнай стоимость твоей работы на сайте 64362.ru
Привет студентам) если возникают трудности с любой работой (от реферата и контрольных до диплома), можете обратиться на FAST-REFERAT.RU , я там обычно заказываю, все качественно и в срок) в любом случае попробуйте, за спрос денег не берут)
Да, но только в случае крайней необходимости.

Научная работа: Разбиение натурального ряда
Курсовая работа: Классическая политическая экономия
Курсовая работа по теме Разноообразие взаимоотношений между муравьями и растениями
Контрольная Работа По Теме Информационные Процессы
Реферат: Реставрация Стюартов и переворот 1688 г.
Подготовка К Сочинению Описание Памятника
Детский Массаж Дипломная Работа
Реферат Естественный Отбор В Современных Популяциях Человека
Зачем Нужны Устаревшие Слова Сочинение
Реферат На Тему Южная Корея
Дипломная работа по теме Автоматизация банковской отчетности '1С Предприятие'
Курсовая работа по теме pH в живых организмах
Отчет по практике по теме Удосконалення якості обслуговування та надання послуг у ресторані 'Шинок'
Рамки Для Реферата Формат А4
Курсовая работа по теме Менеджмент производства и управление персоналом
Доклад: Романтизм
Курсовая работа: Комплексный экономический анализ состояния и использования трудовых ресурсов организации
Реферат: Взаимоотношения ХАМАС и ООП в 90-х гг. ХХ века
Международный Банк Реконструкции И Развития Реферат
Практическая Работа Номер 3 9 Класс
Курсовая работа по теме Оценка принципов разработки ПО
Реферат: Психофізіологічні основи емоцій
Реферат: Багульник болотный
Контрольная работа: Налогообложение торговых предприятий