"Начала" Евклида

За время научной деятельности, о которой мы знаем, Евклид закончил 13 изданий «Начал», охватывающих широкий спектр вопросов, начиная с аксиом и утверждений и заканчивая стереометрией и теорией алгоритмов. Наряду с выдвижением различных теорий, Евклид начал разрабатывать методику доказательства и логическое обоснование идей, которые докажут предложенные Евклидом утверждения.

Известно, что за время существования «Начал» вплоть до XX века, было продано больше экземпляров этой книги, чем какой-либо другой, кроме Библии. «Начала», изданные и переизданные бесчисленное количество раз, в своей работе использовали разные математики и авторы научных трудов. Евклидова геометрия не знала границ, учёный продолжал доказывать всё новые теоремы в совершенно разных областях, как, например, в области «простых чисел», а также в области основ арифметических знаний. Цепочкой логических рассуждений Евклид стремился открыть тайные знания человечеству. Система, которую учёный продолжал разрабатывать в своих «Началах», станет единственной геометрией, которую будет знать мир вплоть до XIX века. Однако современные математики открыли новые теоремы и гипотезы геометрии, позволив разделить предмет на «евклидову геометрию» и «неевклидову геометрию».

Сам учёный называл свой метод «обобщённым подходом», основанным не на методе проб и ошибок, а на представлении неоспоримых фактов теории. Во времена, когда доступ к знаниям был ограничен, Евклид принимался за изучение вопросов совершенно разных областей, в том числе и «арифметики и чисел». Он заключил, что обнаружение «самого большого простого числа» физически невозможно.

Пусть нам дан конечный набор простых чисел. Покажем, что существует простое число, не входящее в этот набор. Перемножим числа из этого набора и прибавим единицу. Полученное число не делится ни на одно число из данного набора, потому что остаток от деления на любое из них даёт единицу. Значит, число должно делиться на некоторое простое число, не включённое в этот набор.

"Начала" содержат более 467 утверждений, касающихся планиметрии и стереометрии, а также гипотез и тезисов, выдвигающих и доказывающих его теории относительно геометрических представлений. Доподлинно известно, что в качестве одного из примеров в своих «Началах» Евклид использовал теорему Пифагора, устанавливающую соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Евклид утверждал, что «теорема верна для всех случаев прямоугольных треугольников».

В отдельный раздел отнесено такое понятие как "Аксиомы". Евклид говорил, что аксиомы – это утверждения, не требующие доказательств, но при этом он понимал, что слепое принятие на веру этих утверждений не может использоваться в построении математических теорий и формул. А потому учёный начал приводить логические заключения, подтверждавшие его геометрические аксиомы и теоремы. Для лучшего понимания этих аксиом, он разделил их на две группы, которые назвал «постулатами». Первая группа известна как «общие понятия», состоящие из признанных утверждений. Вторая группа постулатов является синонимом самой геометрии. Первая группа включает такие понятия, как «целое больше суммы частей» и «если две величины порознь равны одной и той же третьей, то они равны между собой». Вот лишь два из пяти постулатов, записанных Евклидом. Пять постулатов второй группы относятся непосредственно к геометрии, утверждая, что «все прямые углы равны между собой», и что «от всякой точки до всякой точки можно провести прямую».

Известно множество случаев, когда математики пытались оспорить и опровергнуть геометрические и математические теории Евклида, но все попытки неизменно оканчивались провалом. Итальянский математик Джироламо Саккери стремился усовершенствовать труды Евклида, но оставил свои попытки, не в силах отыскать в них ни малейшего изъяна. И лишь столетие после новая группа математиков сможет представить новаторские теории в области геометрии.

Не переставая трудиться над теорией математики, Евклид успел написать ряд работ и на другие темы, которые используются и на которые ссылаются по сей день. Эти труды были предположениями, основанными на неопровержимых доказательствах. Учёный продолжил изучение и открыл новую область оптики – катоптрику, в значительной мере утверждавшую математическую функцию зеркал. Его работы в области оптики, математических соотношений, систематизаций данных и изучения конических сечений затерялись в глубине веков. Известно, что Евклид успешно окончил восемь изданий или книг по теоремам, касающимся конических сечений, но ни одна из них не дошла до наших дней. Он также сформулировал гипотезы и предположения, основанные на законах механики и траектории движения тел. По-видимому, все эти работы были взаимосвязаны, и высказанные в них теории произрастали из единого корня – его знаменитых «Начал». Он также разработал ряд евклидовых «построений» – основных инструментов, необходимых для выполнения геометрических построений.

О смерти Евклида известно мало: произошло это около 300 г . до н.э. До самой смерти Евклид преподавал в академии, писал научные труды, передавал свои знания будущим поколениям.

Вот что значит Евклид для нас, его труды, без сомнения, опередили время на тысячелетия. Учения Евклида до сих пор актуальны, например, физик Стивен Хокинг назвал Евклида «величайшим энциклопедистом математики всех времён», а сочетание «Евклидова геометрия» по сей день известно каждому школьнику.