Мультивходы в фэнтези: математика и мифы

За перевод благодарим @Meitanteikun97.

Турниры с гарантированным призовым фондом и возможностью множественных входов от одного игрока — основа современного дэйли фэнтези. Они в центре внимания маркетинга и занимают наибольшую долю игр на ежедневной основе.

Пусть эти турниры и стали центральными в дэйли фентези, я чувствую, что большинство людей плохо их понимают. Люди регулярно спорят и обсуждают достоинства ограничений на входы и турниров с одним входом. Однако во время дебатов я слышу больше нечеткой логики и откровенных мифов (с обеих сторон), нежели аргументов.

Эта статья объяснит, как турниры с мультивходами работают с математической точки зрения. Моя цель — развеять мифы и внести ясность в это дело.

Импульсом для написания статьи является скорый переход обсуждений из игрового пространства в общественную сферу. В ближайшее время с этими проблемами будут бороться политики и инспекторы. Например, недавно Массачусетс опубликовал предлагаемый набор правил дэйли фэнтези для штата, и эти предложения включали ограничения на входы.

Лично я ни за, ни против ограничений на входы, но уровень недопонимания вокруг данных турниров в настоящее время настолько серьезен, что без понимания обществом сути этих турниров, любые правила об ограничении входов, закрепленные в законе, обречены быть случайными и невежественными.

Основы

В турниры с мультивходами один игрок может заходить несколько раз, но максимальное число входов может быть ограничено. Для целей статьи рассмотрим турнир с бай-ином 10$ с 10 000 общих входов, призовой фонд в размере 90 000$ и лимит в 100 входов на игрока.

Начнем с одного входа. Вы проводите исследование и собираете лучший состав, который можете. Если вы тот самый «среднестатистический человек» в сборе состава, то ваш шанс выиграть 1 из 10 000. Рентабельность инвестиций в такой состав — -10% (ROI), где 10% — это рейк площадки. Если турнир имеет оверлей (в соревновании суммарно менее 9000 входов), вы (как средний игрок) имели бы положительный ROI.

Теперь предположим, что вы более квалифицированный игрок, но тоже делаете один вход и строите лучший состав, какой только можете. Ваш шанс выиграть выше среднего — 1 из 5000.

Теперь у вашего состава будет положительный ROI. Для простоты (хотя это предположение не совсем подходит для реальной игры), предположим, что ваше умение помогает в два раза чаще попадать на каждое призовое место в турнирах с гарантированным призовым фондом. Таким образом, вы в два раза чаще, чем средний состав, занимаете первое место, имеете вдвое больше шансов выиграть второй приз, и в два раза больше шансов выиграть 2000-е место (последнее призовое). И, естественно, в два раза чаще попадаете на любое место между ними.

Ваш ROI в этом турнире составляет +80%. Вы можете быстро определить это с помощью наших предположений. Средний игрок выигрывает в среднем 9$ (0,0001 призового фонда). Имея двойные шансы на победу, вы выиграете 18$ (0,0002 призового фонда). Вычтите вступительный взнос в размере 10$, и вы получите 8$ за турнир, или 80% от вашего вступительного взноса.

Если вы в два раза лучше, чем средний игрок, ваш ROI космически высок. Но что, если вы лишь немного лучше среднего? Допустим, вы на 11,1% лучше, чем средний игрок. Тогда вы выиграете в призах $ 9,99 в среднем за свои 10$, и вы будете приблизительно при своих.

Это первый момент, который я хочу отметить для турниров с мультивходами. Если используя свои навыки в игре вы можете собирать составы, которые примерно на 12% лучше, чем средние, у вас будет положительный ROI для игры в DFS. Это справедливо, даже если вы делаете только один вход в турниры, в которые каждый другой игрок входит по 100 раз.

В конечном счете, успешность вашей игры зависит только от умения собирать составы по сравнению с другими игроками. Дистанция. Вот и все. Создавайте превосходные составы — и у вас будет положительный ROI.

Основы мультивходов

Теперь поговорим о мультивходах в один и тот же турнир. Ключевая концепция заключается в том, что ваши составы независимы и самоконкурентны.

Допустим, вы входите двумя составами — состав A и состав B. Предположим, что составы из совершенно разных игроков. Также предположим, что они одинаково хороши, и оба средние.

ROI состава A составляет -10%. Это средний состав, введенный в турнир с гарантированным призовым фондом, как и в предыдущем примере. ROI состава B также составляет -10%. Это тоже средний состав, введенный в турнир. Общая сумма ROI для входа в оба состава составляет -10%, хотя средняя потеря доллара в два раза выше, потому что вы тратите вдвое больше комиссионных за вход.

Составы независимы друг от друга. Состав A может выиграть деньги, а B может проиграть. Либо B может выиграть, а A может проиграть. Или как A, так и B могут выиграть деньги. Или они оба могут проиграть. Наличие состава B не помогает A, а также наличие A — не помощь B. Они вообще не заботятся друг о друге.

Вот ключевой момент для независимости: если состав A — это ваш лучший возможный состав, тогда вы не можете набрать другой состав B, который улучшит рентабельность составов в совокупности. В лучшем случае, A и B могут игнорировать друг друга. Каждый из них построен на своих достоинствах.

Составы также самоконкурентны. Это очень простая концепция со сложными подтекстом. Вот как они самоконкурентны — оба состава не могут выиграть первое место. Либо один выигрывает, либо выигрывает другой, либо они делят первое место (и разделяют призовой фонд).

Предположим, что первое место в нашем примере составляет 10 000$, а второе — 4000$. Мы вводим составы A и B в турнир, и они заканчивают первым и вторым. Мы выиграли 14 000$. Неплохо.

Теперь рассмотрим альтернативную вселенную, в которой вы можете клонировать турнир с гарантированным призовым фондом, т.е. теперь есть два одновременных и отдельных турнира с примерно одинаковыми полями и призовыми фондами. Вы вводите состав A в турнир 1 и состав B в турнир 2. Другими словами, вы не делаете мультивходы.

Поскольку состав A лучше, чем все остальные составы в поле, он выигрывает первое место. И так как состав A был удален из поля, состав B теперь тоже лучше, чем все остальные составы в поле, и он выигрывает первое место. Мы выигрываем 20 000$.

Это различие между победой в 20 000$ в альтернативной вселенной и победой в 14 000$ в реальной вселенной — это затраты на самоконкуренцию. Вы можете думать об этом как о налоге, который вы платите за вход в один и тот же турнир несколько раз, чем за несколько турниров с гарантированным призовым фондом с одним входом в каждом.

Частота, с которой вы заканчиваете с выигрышем как первого, так и второго места, определяет, насколько высок этот самоконкурентный налог.

То, как мы разработали составы A и B без каких-либо перекрывающихся игроков, делает крайне маловероятным, чтобы оба состава заняли первое и второе место. Фактически это блокировка, если состав A достаточно хорош, чтобы выиграть, кто-то другой будет играть составом, в котором есть некоторые ключевые игроки из A, и этот состав закончит вторым. Состав B, скорее всего, не пробьется даже в топ-10 лучших, поскольку мы знаем, что это невыгодно ни одному из крутых игроков в составе A.

Поскольку мы построили составы таким образом, если они оба средние, совокупный ROI остается на уровне среднего состава в -10%.

Теперь сделаем кое-что другое. Сделаем составы A и B идентичными. У них все игроки одинаковые. Эти два состава идеально самоконкурентны. Если один состав попадает в призы, другому гарантирован дележ приза. Самоконкурентность бьет по совокупному ROI обоих составов.

Мы можем оценить, что происходит с совокупным ROI при помощи небольшой уловки. Предположим, что составы заняли первое место (что является самым важным случаем для самоконкурентности). Поскольку составы набрали одинаково, они разделяют 14 000$ первого и второго места. Это происходит примерно один раз из 10 000. В остальное время, составы выступают как выступал бы средний состав, если бы первый приз был бы равен нулю. Таким образом, 99,99% времени совокупность составов будет иметь чистый выигрыш около 16$ (средний результат в 80 000$ призового фонда — при удалении приза за первое место). Другие 0,01% времени совокупность составов будет иметь чистый выигрыш в 14 000 $. Это дает ожидаемый выигрыш:

ОВ = 0.9999 x 16$ + 0.0001 x 14,000$ = 17.40$

Бай-ин для этих двух составов составляет 20$, поэтому ROI составляет -13%. Фактическое число немного хуже этого, потому что самоконкурентные эффекты также понижают призовую структуру, но этого анализа достаточно для наших целей.

Введя один и тот же средний состав дважды, ваш ROI упал с -10% до -13%. 3% разницы — это стоимость самоконкурентности. То есть, это расходы, которые вы платите за то, что ваши составы пытаются победить друг друга.

Вот суть независимости и самоконкурентности. Когда вы входите первым составом, вы устанавливаете ROI. Предполагая, что этот первый состав самый лучший, который вы можете сделать, каждый добавленный вами состав не может увеличить ваш ROI, поскольку составы независимы. Однако они могут снизить ROI за счет эффекта самоконкурентности. Чем больше сходны ваши составы, тем выше налог на самоконкурентность, который вы платите.

Зачем мультивходы?

Вы можете спросить: «Если это правда, что добавление входов может только сократить ROI, почему кто-то вообще это делает?»

Потому, что если у вас есть достаточное преимущество над полем, вы зарабатываете больше денег, входя много раз с более низким ROI, чем меньше раз с более высоким ROI.

Давайте возьмем пример высококвалифицированного игрока, который выигрывает с одним составом в ​​два раза чаще, чем средний игрок. С одним составом его ROI составляет +80%.

Теперь предположим, что он делает 100 входов. При построении этих составов он использует множество комбинаций игроков, отобранных из относительно небольшого пула — определяя, что пул хороших игроков, которые используются, — это умение, которое он использует для создания этого преимущества в 80% ROI в первую очередь. Поскольку он использует много игроков из одного и того же пула, он должен страдать от самоконкурентного налога: если его игроки выстрелят, есть довольно приличный шанс, что он выиграет как первое, так и второе место. Также он будет расплачиваться за более низкие составы, которые также конкурируют друг с другом.

Кроме того, каждый дополнительный состав не так хорош, как первый, поэтому к тому времени, когда он доберется до состава номер 100, он выставит состав, который очевидно не так хорош, как первый, и который скорее всего, будет самоконкурентен с первым.

Скажем, этот эффект понижает его общий ROI до +20%. Это большая потеря в ROI, но легко понять, что выигрыш в 20% от 1000$ намного лучше, чем выигрыш в 80% от 10$. Вот почему топ-игрок делает мультивходы.

Суть

Конкретный игрок сокращает мультивходами свой ROI в турнире, по сути, без исключения. Это справедливо даже в идеальном мире, где мультивходящий игрок не ошибается. Реальность в том, что намного сложнее создавать и управлять 100 составами без ошибок, чем собирать только один состав, а мультивходящие игроки делают неудачные составы все время — например, составы с игроками, которые не начинают в стартовом составе, или для кого пришли поздние негативные новости.

Топ-игрок съедает эти недостатки, надеясь компенсировать их объемом. И в сейчас DFS легко компенсировать эти недостатки объемом.

Разрушение мифов

Теперь разрушу несколько мифов и наиболее распространенных ошибок в логике в дебатах по мультивходам.

Миф № 1. Мультивходы лишают DFS соревновательности умений

Мастерство в DFS состоит в сборе составов, которые выиграют чаще, чем средний. Существует несколько различных способов создать это преимущество, которые выходят за рамки этой статьи. Но абсолютно ничего в мультивходах не влияет на источник этого навыка. Как я продемонстрировал выше, игрок среднего навыка при мультивходах будет иметь максимальный ROI -10% — и это если игрок идеально справится с самоконкурентностью. В действительности игрок среднего навыка будет слишком сильно конкурировать со своими собственными составами, а его ROI будет ползти на несколько пунктов ниже -10%.

Проще говоря, средний игрок, входящий 100 раз, проигрывает (как минимум), в 100 раз быстрее. Совершенно невозможно повысить производительность (измеренную в ROI), просто добавив составы.

Миф № 2. Мультивходы делают DFS конкурсом "у кого самый большой банкролл".

Размер банкроллов ваших оппонентов не имеет к вам никакого отношения. Допустим, одним из ваших противников в вышеуказанном турнире станет топ-рег и он войдет 100 раз. Но он собирается дать вам выбор: он согласится не вводить ни одного состава, если вы убедите Дональда Трампа войти в тот же конкурс 100 раз.

Полагаю, что у топ-рега меньше денег, чем у Дональда Трампа. Хочешь, чтобы Трамп играл? Или топ-рег?

Надеюсь, ты выбрал Трампа. Зачем? Потому что я уверен, что Дональд Трамп сосет в турнирах с мультивходами — безусловно, по сравнению с топ-регами. Размер банкролла не имеет значения. Единственная важная переменная — это умение игрока собирать составы.

Плохой игрок с огромным банкроллом — идеальный противник. Эксперт с небольшим банкроллом — плохой противник. Турниры с гарантией ни в коем случае не являются конкурсом банкроллов.

Миф № 3. Мультивходы позволяют выигрывать одним и тем же игрокам раз за разом.

Если у вас есть один состав в поле с 10 000 входов, ваш шанс выиграть, если вы средний игрок, составляет один из 10 000. Если у вас 100 составов в поле с 10 000 входов, ваш шанс выиграть один из 100 — ровно в 100 раз больше (если вы можете полностью устранить последствия самоконкуренции). Ни один реальный игрок не устраняет эти эффекты, поэтому ваш шанс как среднего игрока, выиграть в поле с 10 000 входами, меньше 1 из 100.

Если вы высококвалифицированный игрок, с одним составом в поле с 10 000 входами, ваш шанс выиграть может быть 1 из 5000. Если у вас 100 составов в поле с 10 000 входов, ваш шанс выиграть хуже, чем 1 из 50, поскольку высокий скилл собирания составов по существу делает невозможным идеальное управление самоконконкуренцией. Но очевидно, что шансы чуть хуже, чем 1 из 50, — это все равно намного лучше, чем шанс 1 из 10 000, но квалифицированный игрок платит в сто раз больше за эту привилегию.

Более того, какая вам разница, входит один опытный игрок 100 раз и выигрывает 1 из 50 турниров, или 100 опытных игроков входят по разу и каждый выигрывают 1 из 50 турниров? Ни один из сценариев не влияет на ваш шанс выиграть.

Имена на экране, прикрепленные к составам, не имеют значения. Что, если бы в DFS играли анонимно? Что, если вы бы не видели никаких имен на экране, а страница турнира показывала бы только составы и очки. Это была бы другая игра?

Может для вас было бы какое-то отличие, но с математической точки зрения это никак не повлияло бы на ваш ROI и шансы выиграть.

Аргументы против мультивходов

Я потратил большую часть статьи, доказывая, что «мультивходы — это ничего страшного». Теперь буду приводить аргументы против мультивходов.

Главная проблема мультивходов — они делают поле более жестким, что вредит тем, кто играет для удовольствия. Мультивходы повышают уровень среднего состава, ведь от 10% до 30% входов делаются мультивходящими игроками, которые стремятся построить более сильные составы, нежели средний игрок.

Если вы считаете, что для тех, кто играет для удовольствия, тяжелее выиграть турнир с гарантией и мультивходами, чем турнир с одним входом, вы правы. Это сложнее. Но дело не в том, что мультивходы дают преимущество игрокам с большими банкроллами. Это связано с тем, что турниры с мультивходами позволяют игрокам, которые уже квалифицированы, вводить больше составов в поле и тем самым поднимать силу среднего состава. Турнир с мультивходами позволяет более эффективно использовать навык качественного сбора составов.

В турнирах с мультивходами сложнее выигрывать, чем в турнирах с одним входом, но нельзя сказать, что это невозможно. Все, что необходимо, — это научиться собирать составы, которые в среднем на 12% лучше, чем средний по полю. Мультивходы немного увеличивают средний показатель, но 12%-й барьер все еще не так сложно преодолеть. Возможно, в один прекрасный день все изменится, когда топ-игроки станут более изощренными. Но сегодня вы можете выигрывать, используя только свой мозг и общедоступные инструменты.

Является ли игра с мультивходами хорошей политикой?

Турнир с гарантией позволяет опытным игрокам создавать большой ROI (из-за структуры призов турнира) и делать мультивходы, чтобы играющие для удовольствия потеряли значительно больше, чем среднее число в -10%. Не думаю, что в этом есть что-то несправедливое. DFS — это игра, а многие игры позволяют опытным игрокам постоянно выигрывать за счет менее квалифицированных игроков. Действительно, без умения собирать качественные составы немногие из нас найдут DFS привлекательным.

Если вы постоянно проигрываете, это происходит не потому, что другие игроки задавили вас банкроллом, или написали скрипт позволяющий обыгрывать вас, или построили магическую совокупность составов при помощи мультивходов, которые каким-то образом гарантируют победу. Это потому, что составы, которые вы создаете, средние или хуже среднего. Вот в чем причина. Я не думаю, что в этом есть что-то несправедливое.

Но с точки зрения отрасли и с точки зрения игрового дизайна, думаю, турниры с мультивходами проблематичны. Они дают квалифицированным игрокам многократно увеличивать свои сильные стороны, а со временем (квалифицированные игроки становятся лучше и их становится больше) это накопит болезненный опыт для игроков, играющих для удовольствия, а именно они являются жизненной силой игры. Переведя в термины этой статьи, средние составы в турнирах будут становиться все более сильными, поэтому тот, кто сегодня средний, может быть значительно хуже среднего в ближайшем будущем. Если это заставит слишком много игроков, играющих для удовольствия, уйти, поля иссохнут.

Шаги, которые предпринимают DFS-сайты для ограничения мультивходов, вероятно, хороши для долголетия дэйли фэнтези как времяпровождения, которым могут наслаждаться многие люди. Что касается ограничений по мультивходам в правилах штата по DFS, то, пожалуй, лучшее решение — позволить сайтам реагировать на изменения в экосистеме игры, чтобы соблюсти правильный баланс между веселой игрой с большими призовыми фондами и долголетием игры, которую мы любим.

Где играть в фэнтези на деньги

Перевод статьи Massive multi-entry GPPs: The math and myths behind daily fantasy’s top attraction от Эда Миллера, закончившего Массачусетский технологический институт, инженера и автора (либо соавтора) 9 бестселлеров по стратегиям в покере, включая «Курс: Серьезная стратегия для Холдема для умных игроков»