Montrer l'intérieur
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Montrer l'intérieur
S oit E un espace vectoriel normé, et A une partie de E. On dit qu'un point x est
intérieur à A si A est un voisinage de x, c'est-à-dire s'il existe un r>0 tel que la boule de centre x
et de rayon r est contenue dans A.
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Définitions : adhérence, point adhérent, partie dense
Wikipédia possède un article à propos de « Adhérence ».
Wikipédia possède un article à propos de « Partie dense ».
Pour la topologie usuelle sur
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
, on a
]
0
,
1
[
¯
=
[
0
,
1
[
¯
=
[
0
,
1
]
{\displaystyle {\overline {\left]0,1\right[}}={\overline {\left[0,1\right[}}=\left[0,1\right]}
et
Q
¯
=
R
∖
Q
¯
=
R
{\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}={\overline {\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }}=\mathbb {R} }
.
Dans une topologie discrète, seuls les points de
A
{\displaystyle A}
sont adhérents à
A
{\displaystyle A}
.
Dans une topologie grossière, toute partie non vide est dense.
Si
A
{\displaystyle A}
est une partie d'un sous-espace
X
{\displaystyle X}
de
E
{\displaystyle E}
, l'adhérence de
A
{\displaystyle A}
dans
X
{\displaystyle X}
(pour la topologie induite) est égale à
A
¯
∩
X
{\displaystyle {\overline {A}}\cap X}
(donc
A
{\displaystyle A}
est dense dans
X
{\displaystyle X}
si et seulement si
A
¯
=
X
¯
{\displaystyle {\overline {A}}={\overline {X}}}
).
A
⊂
A
¯
{\displaystyle A\subset {\overline {A}}}
, avec égalité si et seulement si
A
{\displaystyle A}
est fermé.
A
¯
¯
=
A
¯
{\displaystyle {\overline {\overline {A}}}={\overline {A}}}
.
A
∪
B
¯
=
A
¯
∪
B
¯
{\displaystyle {\overline {A\cup B}}={\overline {A}}\cup {\overline {B}}}
(donc
A
⊂
B
⇒
A
¯
⊂
B
¯
{\displaystyle A\subset B\Rightarrow {\overline {A}}\subset {\overline {B}}}
, donc
A
∩
B
¯
⊂
A
¯
∩
B
¯
{\displaystyle {\overline {A\cap B}}\subset {\overline {A}}\cap {\overline {B}}}
).
Définitions : point isolé, point d'accumulation
Wikipédia possède un article à propos de « Point d'accumulation ».
Wikipédia possède un article à propos de « Point isolé ».
Wikipédia possède un article à propos de « Intérieur ».
Pour n'importe quelle topologie,
int
(
∅
)
=
∅
{\displaystyle \operatorname {int} (\varnothing )=\varnothing }
.
Pour la topologie grossière sur
E
{\displaystyle E}
, l'intérieur de toute partie
A
⊊
E
{\displaystyle A\subsetneq E}
est vide.
Pour la topologie usuelle sur
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
:
l'intérieur de
[
0
,
1
]
{\displaystyle \left[0,1\right]}
est
]
0
,
1
[
{\displaystyle \left]0,1\right[}
;
tout singleton est d'intérieur vide ;
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
et
R
∖
Q
{\displaystyle \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }
sont d'intérieur vide.
A
{\displaystyle A}
est un ouvert si et seulement si
A
{\displaystyle A}
est voisinage de chacun de ses points.
Wikipédia possède un article à propos de « Frontière ».
La frontière d'un ensemble est un fermé.
La frontière d'un ensemble est égale à celle de son complémentaire.
Un ensemble est fermé si et seulement s'il contient sa frontière.
Un ensemble est à la fois ouvert et fermé si et seulement si sa frontière est vide.
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Soient
E
{\displaystyle E}
un espace topologique et
A
,
B
{\displaystyle A,B}
deux parties de
E
{\displaystyle E}
.
L'adhérence de
A
{\displaystyle A}
est le plus petit fermé contenant
A
{\displaystyle A}
.
x
∈
A
¯
⇔
{\displaystyle x\in {\overline {A}}\Leftrightarrow }
pour tout ouvert O contenant
x
{\displaystyle x}
, O rencontre
A
⇔
{\displaystyle A\Leftrightarrow }
pour tout fermé
F
{\displaystyle F}
ne contenant pas
x
{\displaystyle x}
,
A
{\displaystyle A}
n'est pas tout entier inclus dans
F
⇔
{\displaystyle F\Leftrightarrow }
pour tout fermé
F
{\displaystyle F}
contenant
A
{\displaystyle A}
,
x
∈
F
{\displaystyle x\in F}
.
Ainsi,
A
¯
{\displaystyle {\overline {A}}}
est l'intersection des fermés contenant
A
{\displaystyle A}
. Puisque l'intersection d'une famille quelconque (finie ou infinie) de fermés est un fermé, cette intersection est le plus petit fermé contenant
A
{\displaystyle A}
.
On peut partitionner l'adhérence d'une partie en deux types de points :
Dans un espace topologique, un point
x
{\displaystyle x}
est intérieur à
A
{\displaystyle A}
si
A
{\displaystyle A}
est un voisinage de
x
{\displaystyle x}
. On appelle intérieur de
A
{\displaystyle A}
l’ensemble des points intérieurs à
A
{\displaystyle A}
et on le note
A
∘
{\displaystyle {\stackrel {\ \circ }{A}}}
ou
int
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {int} (A)}
.
L'intérieur de
A
{\displaystyle A}
est le plus grand ouvert inclus dans
A
{\displaystyle A}
.
x
∈
A
∘
⇔
x
{\displaystyle x\in {\stackrel {\ \circ }{A}}\Leftrightarrow x}
appartient à un ouvert inclus dans
A
{\displaystyle A}
. Ainsi,
A
∘
{\displaystyle {\stackrel {\ \circ }{A}}}
est la réunion des ouverts inclus dans
A
{\displaystyle A}
.
Puisque la réunion d'une famille quelconque (finie ou infinie) d'ouverts est un ouvert, cette réunion est le plus grand ouvert inclus dans
A
{\displaystyle A}
.
On appelle frontière de
A
{\displaystyle A}
, et l’on note
∂
A
{\displaystyle \partial A}
ou
F
r
(
A
)
{\displaystyle \mathrm {Fr} (A)}
, l’ensemble des points adhérents à la fois à A et à son complémentaire.
D'autres définitions sont possibles :
Verbe du 1er groupe - Le verbe montrer est transitif direct Le verbe montrer peut se conjuguer à la forme pronominale : se montrer Le verbe montrer se conjugue avec l'auxiliaire avoir montrer au féminin | montrer à la voix passive | montrer à la voix passive féminin
je montr e tu montr es il montr e nous montr ons vous montr ez ils montr ent
j'ai montr é tu as montr é il a montr é nous avons montr é vous avez montr é ils ont montr é
je montr ais tu montr ais il montr ait nous montr ions vous montr iez ils montr aient
j'avais montr é tu avais montr é il avait montr é nous avions montr é vous aviez montr é ils avaient montr é
je montr ai tu montr as il montr a nous montr âmes vous montr âtes ils montr èrent
j'eus montr é tu eus montr é il eut montr é nous eûmes montr é vous eûtes montr é ils eurent montr é
je montr erai tu montr eras il montr era nous montr erons vous montr erez ils montr eront
j'aurai montr é tu auras montr é il aura montr é nous aurons montr é vous aurez montr é ils auront montr é
je montr erais tu montr erais il montr erait nous montr erions vous montr eriez ils montr eraient
j'aurais montr é tu aurais montr é il aurait montr é nous aurions montr é vous auriez montr é ils auraient montr é
que je montr e que tu montr es qu'il montr e que nous montr ions que vous montr iez qu'ils montr ent
que j'aie montr é que tu aies montr é qu'il ait montr é que nous ayons montr é que vous ayez montr é qu'ils aient montr é
que je montr asse que tu montr asses qu'il montr ât que nous montr assions que vous montr assiez qu'ils montr assent
que j'eusse montr é que tu eusses montr é qu'il eût montr é que nous eussions montr é que vous eussiez montr é qu'ils eussent montr é
aie montr é ayons montr é ayez montr é
Verbes ayant une conjugaison similaire à montrer
montrer ➔ to show montrer ➔ mostrar montrer ➔ mostrare
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On appelle intérieur de l'ensemble des points qui lui sont intérieur, on le note ou . Propriété caractéristique — L'intérieur d'une partie est le plus grand ouvert contenu dans cette partie. Démonstration Voici quelques propriétés des intérieurs faciles à établir : une partie contient toujours son intérieur
En mathématiques, l' intérieur (abrégé en int) est une notion de topologie appliquée à une partie d'un espace topologique . Soit X un espace topologique et A une partie de X.
Intérieur S oit E un espace vectoriel normé, et A une partie de E. On dit qu'un point x est intérieur à A si A est un voisinage de x, c'est-à-dire s'il existe un r>0 tel que la boule de centre x et de rayon r est contenue dans A.
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Topologie générale : Adhérence, intérieur Topologie générale/Adhérence, intérieur », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Synonyme du verbe montrer afficher, apprendre, arborer, communiquer, décrire, démontrer, dépeindre, désigner, dessiner, dévoiler, dire, enseigner, établir, étaler, exhiber, exposer, exprimer, extérioriser, imprimer, indiquer Plus de synonymes montrer Verbes ayant une conjugaison similaire à montrer
1.2 Intérieur,adhérence Chapitre 1 1.2 Intérieur,adhérence Définition 1.2.1 Soit (X;d) un espace métrique. Pour AˆX;on définit l'intérieur de A; Apar A= [Uouvert;UˆA U et l'adhérence de A;A;par A= \ F fermé;F˙A F: Exemple 10 Dans R muni de la distance usuelle, tout intervalle ouvert est ouvert, tout intervalle fermé est fermé.
Lorsque l'on parle, lorsque l'on embrasse ou encore lors d'une relation sexuelle, que se passe t-il à l'intérieur de notre corps ? Les images d'un scanner IRM nous montrent. Le corps humain...
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ce dispositif, qui a mobilisé chaque semaine jusqu'à 6 000 membres de la sécurité civile pour réaliser les tests, des garde-frontières pour vérifier les justificatifs sanitaires des voyageurs et des forces de sécurité intérieure pour contrôler les mesures d'isolement ou de quarantaine décidées par les préfets, a été régulièrement adapté à …
En mathématiques, l'intérieur est une notion de topologie appliquée à une partie d'un espace topologique. Wikipedia (FR) Mehr bei Wikipedia (FR)
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